2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Подставляя (22.22) и (22.23) в (22.9), для интенсивности напряжений получим выражение Рвс. 22.10 а (Ь вЂ” аг) (Рг Рг)г ~ЗЬ? (22.25) Нетрудно проверить, что согласно критерию Треска— Сен-Венана условие появления пластических деформаций будет иметь вид ег (Ь' — и') (Рг Рг) = 2вг ,Л(р, — р,) а'ь' (22.24) — (Ьг а?) с? Знак в этом равенстве зависит от знака разности между давлениями. В дальнейшем будем полагать, что р, >рг, и тогда выражение (22,24) следует считать положительным. Очевидно, что наибольшего значения о; достигает на внутреннем контуре трубы при г=а.
Именно здесь и возникнут первые пластические деформации. Используя условие (22,14), найдем величину разности давлений, соответствующую этому условию с, о,.= —,+С„ Г' (22.26) 2 о „= — о, !п г+ С е„ ,Гз с, свв = — —,+Сг, г' или 2 Г о, = — сг,~1 -+С /3 гг с (22.29) 2 Г г сгвр — — — о, ~!и-+ Сз+1 з ~, с (22.30) Выражения (22.26), и пластической зонах Сг, Сз и с.
Для их условиями о„р= — р,; рг г=а, г=Ь, (22.27) ст„= па. сг,р= ст„,; г=с„ 2 ( а — ое 1и-+С, = — р,; ,л '~ ° о,р =- + — (о в — сс,р). с, р+ Сг = — Рг; (22.31) 2 2 ст, — о, =+ — ов =+ — „ст,. /3 /3 (22.28) С, 2сг, —,+ Сг= — Сз „~3 С, сг, с ~3 С увеличением разности между давлениями пластическая зона будет увеличиваться (рис. 22.11). Обозначив через с радиус окружности, разделяющий упругую и пластическую зоны, найдем решение для каждой из этих зон.
В упругой зоне решение может быть записано в виде 6 18.5) где С, и Сг — произвольные постоянные„подлежащие определению. Индекс «е» означает отношение к упругой зоне (от английского слова е!аз1!с). Решение в пластической зоне будем искать, считая, что материал подчиняется диаграмме Прандтля (рис.
22.1,6). В этом случае в пластической зоне справедливо равенство о; =о,, Здесь «р» означает отношение к пластиче- ской зоне (от английского слова р1азйс). Ряс. 22.11 Перейдя в (22.18) к цилиндрическим коор- динатам г, О, г, и положив в третьем равенстве ее = 0 (условие несжимаемости), а также се = 0 (условие плоской деформации), получим Из формулы для среднего напряжения о«=(с3„+ст,+сг,)/3 с учетом (22.27) найдем а„в+авг ст, = 2 Подставляя полученное равенство в (22.9), записанное в цилиндрических координатах, приходим к следующему выражению для интенсивности напряжений: Используя это равенство, получим Полагая, как и ранее, р, >рг, возьмем в последнем равенстве знак плюс.
Справедливость этого будет подтверждена в дальнейшем. Рассматривая уравнения равновесия плоской задачи в полярных координатах (18.3), убеждаемся, что второе уравнение удовлетворяется тождественно, а из первого с учетом (22.28) следует Ы<т„„2 а, й ГЗ Интегрируя полученное уравнение, найдем Из (22.28) получим выражение для сг,р (22.29), (22.30) для напряжений в упругой трубы содержат четыре неизвестных: С„ определения воспользуемся граничными 2 Ове Сгге Сгт. ,„~З Последнее равенство соответствует условию перехода материала из упругого состояния в пластическое.
Подставляя в эти условия соответствующие выражения для напряжений, получим систему четырех алгебраических уравнений а,с~ С,= — р,+ /3Ь2' а с2 С,= — — ' ,3' Сз = — ' — +-1 —,— 1 .,/3 с 1/сс 2, 21Ь' а1 Рв — Рз= — '1 1 — —,— 21п- /3~ Ь с) (22.32) 2а, Ь (Р1 Р2)разр /"3 с заданных значениях или графически. Более $) бт в,в в(ев)=1 — — ' аа, (6;) Ее, (22.33) -6,В 0,5 -св 14 Ьв Ьв Я~ ЬО Ьв С4 56 66 ,в ь2 Рис. 22.12 511 510 Из этой системы найдем выражения для постоянных С„ С, и Сз через с: Для определения с из первого равенства (22.31) получим трансцендентное уравнение Из этого уравнения, в частности, следует, что поскольку 1п(а/с)~0, а с /Ь <1, то выражение, стоящее справа, положительно, что соответствует принятому выше условию р, >рз, В случае, когда рз>р„в равенстве (22.28) следует взять знак минус.
С помощью формулы (22.32) можно также найти разность между давлениями, соответствующую появлению первых пластических деформаций. Положив с=а, приходим к условию, совпадающему с (22.25). Формула (22.32) позволяет также найти предельную разность (р, — рз)„„, при которой вся труба переходит в пластическое состояние. Положив с = Ь, получим Решение уравнения (22.32) при р, и рз может быть получено численно Р Р о) удобно решать обратную задачу — найти разность (р, — р,), соответствующую заданному значению с. На рис.
22.12, а построен график зависимости (р,— р,) от с при Ь/а=2. По этому графику можно найти (р,— р,)„равное в данном случае 0,432 сг„(р, — рз)р равное 0,81 о'„а также определить радиус с при произвольном значении разности (р, — р з), лежащей в пределах между (р, — рз), и (рв — рз) „. Определив с и найдя постоянные йнтегрирования С„ С, и С, с помощью равенств (22.26), (22.29), (22.30), можно определить напряжения в упругой и пластической зонах трубы. На рис.
22.12сб показаны эпюры сг„и ов при трех значениях отношения с/а. й 22.4. Приближенные методы решения задач теории пластичности Как было отмечено выше, решение физически нелинейных задач, к которым относятся задачи теории пластичности, сводится к нелинейным дифференциальным уравнениям. Поскольку аналитическое решение таких уравнений удается получить лишь в простейших случаях, широкое рас- ' с пространение получили различные приближенные методы, основанные на линеаризации уравнений теории пластичности. Ниже рассматриваются три таких метода. 4Ь Метод упругих решений. Этот метод разработан А.
А. Ильюшиным. В основу метода положена постановка 1 задачи в перемещениях. Прежде чем Р .22.13 перейти к выводу разрешающих уравнений, аналогичных уравнениям Ламе в теории упругости 6 16.5), введем еще одну функцию в, характеризующую степень упрочнения материала (рис. 22.13) Здесь Е=вясв — модуль упругости. Эта функция является отношением отрезка СС, к отрезку ССз. Первый отрезок определяется разностью между напряжением Еаь соответствующим упругому состоянию, и напряжениями о; в пластическом состоянии.
Отрезок ССз равен напряжениям в упругом материале. Чем ближе кривая деформирования к прямой ОС, тем меньше функция в. В частном случае при упругом деформировании в=0, Используя функцию а и учитывая (22.17) и (22.19), преобразуем физические соотношения (22.18) к виду о„= 3.+-ба е+26(1 — а)е„; 2 3,+-6со е+26(1 — а)а„; 2 3 о,= Х+-6а е+26(1 — а)е,; 2 (22.34) т„,=6(1 — а)7„,; т,=б(1 — а)7„; т,„= 6(1 — а) 7,„.
6туги+(3+6) ~~ +Х вЂ” а(туги+! д" !+ дх 3 дх/ +6 — -е — 2 —, — — —.+ — — — — + — =О; 617г„(3 6) де у. (~7г ду ' ду/ +6 — -е — 2 — — — — + — — — — + — =О; 67~и+(3.+6) — +У вЂ” а(Чги+ .— ~)+ дг 1 3 д / +6 — -е 2 — — — + „- — + — =О.
(22.35) Нелинейность этих уравнений обусловлена тем, что функция а, определяемая равенством (22.33), нелинейно зависит от перемещений, входящих в выражение для еи Если в (22.35) положить а=О, то эти уравнения (с учетом С=!г) переходят в уравнения Ляме (16.12) для упругого материала. ди ди дп Здесь А и 6=!г — коэффициенты Ляме, е= — + — + — — объдх ду дг емная деформация.
Можно заметить, что при со=О равенства (22.34) переходят в уравнения закона Гука в форме Ламе (16.3,а). Подставляя полученные выражения для напряжений в уравнения равновесия (16.1) и выражая деформации через перемещения с помощью соотношений Коши (16.2), придем к следующей системе нелинейных дифференциальных уравнений Решение задачи теории пластичности, определяемое функциями и, и и я, должно удовлетворять системе уравнений (22.35) и граничнвгм условиям на поверхности. Выразив в (22.34) деформации через перемещения и подста- вив их в равенства (16.7), получим граничные условия в виде с А+-6а е+26(1 — а) — 1+6(1 — со) х дх) х — + — т+ 6(1 — а) — + — и =р,„; 6(1 — а) — + — 1+ ) +-6со е+ +26(1 — со) — т+6(1 — а) — + —.
п=р„; д.у ~ с дг ду/ 6( — )!7''— ""+Я +6( — )(д— '+ — '. ) + с дг дх/ 1 дк ду + )с+- С со е+ 26(1 — а) — и =р,„. 3 дг ) (22.36) 3 е+ 26 — 1+ 6 — + — „т+ 6 — + — п =Р„„+Р'„„; 6 — "+ — 1+ )се+26 — т+6 — + — п=Р „+Ру; 6 — + — 1+6 — + — т+ )се+26 — п=р +р" (22.38) Для решения задачи предлагается метод последовательных приближений, в котором на каждом шаге итерационного процесса используется упругое решение. Отсюда и происходит название — метод упругих решений.
Обозначим в первом из уравнений (22.35) все слагаемые, содержащие функцию а и ее производные, через Х*, а во втором и третьем уравнениях — соответственно через У~ и У*. Тогда систему уравнений (22.35) можно записать следующим образом: 6Чги+(3,+6) "+Х+Х*=О; дх 6ггг +() +6) ~е+ у+ уе д) 6 Ч г в + (3. + 6 ) — + У+ У * = О дг В свою очередь граничные условия (22.36) можно представить в виде 513 17 3923 512 а =сг — + ' — (о +о',) — — ' .
(22.39) Если ввести обозначения 1 ! 1 — 2чо. ЗŠ— = — + ',ч„= —" — 1, Е Е. 3Е0 2Е (22.40) то выражение (22.39) можно записать в виде а„= — [о„— ~„(!т„+ о,)3, ! п совпадающем по форме с уравнением закона Гука (16,3). По аналогии могут быть получены выражения и для остальных деформаций. В результате получим 514 Здесь через р'„„, р'„р",„обозначены слагаемые, содержащие в равенствах (22.36) функцию ш и ее производные. Положим на первом этапе решения Х* = У~ = г. * = 0 и р'„,=р',„=р',„=О, что соответствует в=О, то есть упругому материалу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
