2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Найдем решение ин1, ип1, в "1, удовлетворяющее дифференциальным уравнениям и граничным условиям. По этому решению можно вычислить е;(х, у, г), а;(х, у, г) и ш(х, у, г). Зная о7, найдем выражения Х~, У", У* и р"„„, р',„, р',„, которые на втором этапе решения можно рассматривать как дополнительные нагрузки в уравнениях (22.35) и граничных условиях (22.36). Рассматриваемый метод решения иногда называют методом дополнительных нагрузок. Решая повторно задачу теории упругости с новыми объемными силами (Х+Х~), (У+У*), (е,+У*) и поверхностными нагрузками (р„„+р'„„), (р,„+р"„), (р,„+р'„), находим второе приближение и'~1, и'г1, и "', которое в дальнейшем используется для вычисления новых значений Х*, У*, е,~ н р'„„, р",„, р',„и т. д. Последовательность решений и'"', и'"', 1е'"' должна сходиться к искомому решению упруго-пластической задачи.
Как показано в многочисленных расчетах, скорость сходимости итерационного процесса в значительной степени зависит от вида диаграммы о,-а;. При большом упрочнении, когда диаграмма не сильно отличается от линейной, часто достаточно трех, четырех итераций для получения результатов с удовлетворительной точностью. Метод переменных параметров упругости. Данный метод, разработанный И. А. Биргером, так же, как и метод упругих решений, является итерационным, но основан на другом представлении физических соотношений теории пластичности.
Преобразуем первое равенство (22.18), выразив из него деформацию а„с учетом (22.17) и а0=е/3, о0 — — (с1„+а,+!З,)/3 1 Зт„, с„= — [о„— к„(о,, + о,Я у„у = — "'; 1 Зт„, а, = — [<т, — ч„(о, + а„)3; 7„= — "*; (22.41) а, = — [о, — ~„(с1„+ а,)~; 7,„= Равенства (22.41) по своей сути существенно отличаются от уравнений закона Гука тем, что содержат не постоянные упругости материала, а переменные параметры Е„и ч„, которые в свою очередь зависят от секущего модуля Е,. Поскольку секущий модуль зависит от напряжений и деформаций в данной точке тела (рис.
22. 7), то Е„и ч„являются функциями координат, и, таким образом, равенства (22.41) как бы являются физическими соотношениями теории упругости для неоднородного тела. Задача дополнительно осложняется тем, что законы изменения Е„(х, у, г) и ч„(х, у, г) могут быть найдены лишь после решения задачи, когда по известным напряжениям и деформациям можно определить о;(х, у, г), а;(х, у, г) и затем Е,(х, у, г) и ч„(х, у, г).
Применяя для решения задачи теории пластичности итерационный метод, на первом этапе решают упругую задачу, когда модуль упру~ости и коэффициент поперечной деформации считаются постоянными и равными соответственно Е0 и чЗ. Вычислив напряжения и деформации, можно определить о', е!", а„следовательно, и Е',"=а!" /а!" в каждой точке тела. На втором этапе решается задача, в которой в качестве физических соотношений используются равенства (22.41), содержащие Е',", Е'„" и ч '„", при этом две последние функции вычисляются согласно (22.40). Полученное таким образом решение позволяет вычислить Е~~', Е'„', ч~~! и перейти к следующему приближению.
Последовательность решений сходится к искомому' решению задачи теории пластичности. Как показано в различных исследованиях, сходимость метода переменных параметров упругости, определяемая количеством итераций, необходимых для получения решения с требуемой точностью, как правило, выше, чем метода упругих решений. Однако, решение на каждом этапе итерационного процесса в методе переменных параметров упругости получается более сложным, так как требует решения задачи теории упругости неоднородных тел.
Таким образом, ответ на вопрос о том, какой из двух рассмотренных методов является более эффективным, может быть получен лишь при решении конкретной задачи. Метод последовательных нагружеиий. Расматриваемый метод, называемый также иагоеым методом, основан на решении ряда упругих задач при разбиении внешних объемных на, (то=г — '+(т. Условие совместности деформаций (22.43) 4 со со — с — + '=О, Й и (22.44) 516 б; и поверхностных нагрузок на Ф малых значений.
Если обозначить произвольную нагрузку через Р, то решение на каждом этапе ищется при нагрузке равной 12Р= =Р~И. На первом этапе в законе Гука используются постоянные ЕО и чо, а на последующих в качестве модуля упругости О берется касательный модуль (рис. 22.14) 1 да, Рис. 22.14 Е„= — =!яс(,. а коэффициент поперечной деформации вычисляется по второй формуле (22.40), в которую вместо Е„следует подставить Е„. Напряжения, деформации и перемещения при полной нагрузке вычисляются путем суммирования: о„= „'" о(„"), ...; а„= ,'~" е(„"), ...; и= ~ и'"', о=1 и=1 и=1 На рис.
22.14 показаны составляющие интенсивностей напряжений и деформаций, получаемые на одном шаге решения. Шаговый метод является весьма чувствительным к выбору шага по нагрузке ЬР, и для получения точного решения требуется брать большое значение Л(, что ведет к увеличению продолжительности итерационного процесса. Расчет толстостенной трубы. В качестве примера применения приближенных методов рассмотрим расчет толстостенной бетонной трубы, материал которой имеет нелинейную диаграмму деформирования, описываемую соотношением о;=Еоа! — А г.";.
(22.42) Здесь ЕО, А и !г †постоянн материала, определяемые из эксперимента. Рассматривая процесс активного деформирования, не будем делать различий между упруго-пластическим и нелинейно упругим материалом. Размеры трубы определяются радиусами внутренней и внешней окружностей а и Ь. Труба подвержена внешнему равномерному давлению р. Применим для решения задачи метод переменных параметров упругости. Считая, что труба находится в условиях плоской деформации, запишем исходные уравнения в следующем виде. Уравнение равновесия Закон Гука ч. (и) (22.45) ! — чо (и) Е„(г) Здесь в соответствии с (22.40) и (22.42) принято Е„= — '; Е,= — '=Š— Аа); ч„= —" — 1.
зЕоЕ, (г 1 — 1, зЕ ЗЕо ) Еи(! — 2чо) с, ' ' " 2Е, Подставив полученные выражения для деформаций а„и ао в (22.44) с учетом (22.43), придем к разрешающему дифференциальному уравнению относительно напряжения о, о,+ 3 — г ""+ —" а',— г," ч'„+ + — "! о„= О. ! — гч, Е'„! ,, Е.) " (22.46) На и-ном шаге итерационного процесса уравнение (22.46) решается для значений ч„и Епи определенных на (и — 1) шаге. При этом интенсивность деформаций, входящая в выражение для секущего модуля Е„вычисляется по формуле (п — ) Ч ( (и — 1) ~п — 1)]2 ! ( (и — 1)]2+( ~и — 1)]2 ,Гг Уравнение (22.46) в силу сложности коэффициентов решается на каждом шаге численно методом прогонки 6 21.1).
Сходимость метода существенно зависит от нагрузки. При малом давлении р, когда поведение материала близко к линейно упругому, для получения точных результатов достаточно двух — трех итераций. Если же значение давления таково, что а) приближается к а;, соответствующей максимуму на диаграмме сг( - а( (рис. 22.15), то для достижения достаточной точности (около 1%) необходимо сделать 12 —: 13 приближений. На рис. 22.16 приведены эпюры напряжений оо в трубе с размерами а=0,3 м, О Е;и Е( Ь=0,5 м, вычисленнъ)е для линейно упругого (пунктир) и нелинейно упругого Рис.
22Л5 517 которое получится, если из соотношений Коши а„=(1и,(с(г, ао — — и/г исключить перемещение и. -Лоо Рос, 22.16 Рис. 22.18 о Я= — +Е. с' (22.48) 519 518 -ло о О,ОО 0,04 О,ОЬ 0,42 О, 0 00 т, ЛЛ материалов с постоянными Ео = 3 10" МПа; А = 2. 10 МПа; к=1,5; чо — — 0,2 при действии внешнего давления р=50 МПа. Из приведенных графиков видно, что нелинейность материала существенно сказывается на напряженном состоянии трубы. Уменьшение напряжений оо вблизи внутреннего контура трубы при учете нелинейности составляет 9 более 25%. Рост напряжений вблизи внешнего контура обусловлен условием равновесия Хт'=О, которое должно выполняться для половины трубы (рис.
22.17): с ь — )р81пОЫΠ— 2~от,й =О. о о а в Поскольку первое слагаемое в Р о. 22.П этом равенстве постоянно и равно — 2РЬ„то интеграл от напряжений ов должен принимать одно и то же значение при любой функции о01г). Из последнего равенства также следует, что напряжения ого должны быть отрицательными (сжимающими). 8 22.5. Ползучесть и релаксация в твердых телах Ползучестью называется явление, заключающееся в увеличении деформаций при постоянстве нагрузок, действующих на тело. Свойством ползучести обладают многие материалы (бетон, полимеры и композиты, грунты, металлы при высоких температурах и пр.). Рассмотрим простейший опыт одноосного растяжения стержня, выполненного из материала, обладающего свойством ползучести (рис.
22.18,а). Пусть в момент времени 1=0 к телу приложен груз весом Р. Образец сначала удлинится на величину ЖО, а в дальнейшем со временем его удлинение Л( будет расти. При этом напряжения в образце а=Р1Е будут постоянны. Построим график зависимости деформаций О=ЫДО от времени 1 (рис. 22.18, б). На этом рисунке через сс обозначены мгновенные упру~не деформации, равные Жо/!о, а через а, †деформац ползучести (индекс «ел от английского слова сгеер), зависящие от времени. Диаграмма а (1), построенная на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
