2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Учитывая симметрию изогнутой срединной поверхности пластины относительно вертикальной плоскости Охг, удержим в выражении (20.109) частные решения, являющиеся четными функциями переменной у. Положив в (20.109) С,=О и Сз=О, получим следующее выражение для прогиба пластины: и«(х, у) =(С, с)«г,у+ Слсоз г,у) яп 2,„х.
(20.110) Использовав граничные условия на жестко защемленных краях пластины получим однородную систему двух алгебраических уравнений Эта система имеет ненулевое решение в том случае, когда ее определитель равен нулю. Составив определитель системы и приравняв его к нулю, получим следующее трансцендентное уравнение: С помощью этого уравнения можно определить значения критических нагрузок при конкретном соотношении длин ГЛАВА 21 477 476 сторон пластины, а также установить число полуволн синусоиды, образующихся в направлении действия сжимающих нагрузок при потере устойчивости пластины. Исследования показывают, что наименьшее значение критической нагрузки равно р„„= 6,97 —,, что примерно в 1,7 раза больше, чем для пластины с шарнирно опертыми продольными краями.
С помощью выражений (20.107) и (20.109) можно решить другие задачи устойчивости прямоугольных пластин при сжатии в одном направлении, когда края пластины, параллельные направлению действия сжимающих нагрузок, имеют различные условия опирания (напрнмер, один край шарнирно оперт, а другой свободен от закреплений). Решения многих задач устойчивости пластин и других конструктивных элементов приведены, например, в монографии А.
С. Вольмира.е * Вольмир А. С. устойчивость леформируемьж систем.— Мс Физмвттиз. ! 967. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ И ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С развитием вычислительной техники в механике деформируемого твердого тела получили широкое распространение численные методы. К числу наиболее используемых методов относятся методы конечных разностей, конечных и граничных элементов.
Эти методы основаны на различных способах приближенного математического описания поведения деформируемого твердого тела. й 21.1. Метод конечных разностей В методе конечных разностей (МКР) на область рассматриваемого тела наносится сетка линий, точки пересечения которых называются узлами. В случае стержня или балки сетка будет одномерной и узлы будут располагаться на их оси. Неизвестными в узлах считаются значения функций, относительно которых справедливы известные дифференциальные уравнения механики деформируемого твердого тела. Производные в дифференциальных уравнениях аппроксимируются приближенными алгебраическими формулами.
Эти формулы называются конечно-разностнылеи и неизвестными в них являются значения функций в узлах. Замена производных в дифференциальном уравнении конечно-разностными формулами приводит к системе линейных алгебраических уравнений. Граничные условйя, содержащие производные, с помощью конечно-разностных формул также заменяются алгебраическими уравнениями.
Решение системы линейных алгебраических уравнений позволяет найти распределение напряжений в теле и изменения его размеров и формы. Рассмотрим простейшие примеры приближенного решения краевых задач для деформируемого твердого тела методом конечных разностей. 2 — 1 0 ...0 ...0 ...0 — 1 2 — 1 0 — 1 2 — 1 (21.10) †! 2 — 1 0 — 1 2 (21.15) , — 4ио+ би, — 4иг+ из =Л ' ио — 4и,+би,— 4и,+и4=Е2; (21.16) о'4 и ЕŠ—,=9(х), (21.12) (21.! 3) х=О, и=О; и'(х1) — "1 ' 1+0(ьг) (21.18) Рис. 21.3 1б 3923 Этот процесс продолжается до предпоследнего уравнения, нз которого вычисляется и„,. Далее в обратном ппрзгдке вычисля ются и -г и -з Матрица коэффициентов при неизвестных в системе линей ных алгебраических уравнений (21.9) после исключения ио и и„является симметричной и трехдиагональной: Система (21.9) в матричной записи имеет вид Ай=~; (21.11) где вектор неизвестных прогибов О и вектор нагрузки Е равны 1 и1~ и2 из".
ип — 13 Ы зг Хз" зи — 1У' Здесь т — обозначает транспонирование. Пример 2Е.2. Изгиб статически неопределимой балки. Рассмотрим статически неопределимую балку постоянной жесткости (рис. 21.3). Дифференциальное уравнение четвертого порядка, описывающее изгиб балки, имеет вид 69.4) где д(х) †распределенн поперечная нагрузка. Условия жесткого защемления балки на левом конце заключаются в отсутствии вертикального смещения и угла поворота На правом конце отсутствуют вертикальное смещение и изгибающий момент: х=1, и=О; М=О. (21.14) Для аппроксимации четвертой производной конечно-разностной формулой в дифференциальном уравнении (21.12) воспользуемся формулой (21.7).
Считая аппроксимируемой функцию и" (х) и отбрасывая члены высокого порядка малости, получим и "(х;,) — 2и "(х,)+о "(х14,) Используя еще раз конечно-разностную формулу (21.7), окончательно получим 1о4 4 о,,— 4о1 1+бо,— 4и,41+и141 и (х)— 1 )— /4 Из этой формулы видно, что для аппроксимации четвертой производной используется пнтиточечный шаблон.
Подставляя конечно-разностную аппроксимацию (21.15) в уравнение (21.12) для выбранных узлов х; = 1й (1=1, 2, 3, ..., и — 1), получим систему линейных алгебраических уравнений и -з — 4и„,+би„, — 4и„+и„4, =Е„' где Е1 — — ег 4 д ( х;) ~ е3. В эту систему входят фиктивные значения функции и в законтурных точках 1= — 1 и 1'= и+! . Система состоит из и — 1 уравнения и содержит и+3 неизвестных. Число уравнений увеличивается до и+3 при использовании четырех краевых условий (21.13), (21.14). Равенство нулю прогиба на концах балки запишем в виде ио =0; и„=О. (21.17) Для аппроксимации второго краевого условия (21.13) вычтем почленно из ряда (21.5) ряд (21.6).
Пренебрегая слагаемым с и "', получим выражение первой производной через конечные разности Эта формула называется центрально-разноетной. Иногда при аппроксимации первой производной используются так называемые правые и левые конечно-разноетные формулы, которые Свободный край: дг зи д г гд — +33 =0; дхг дуг = дз дЗ 3+( ) 2 дхз дх'ду х=а, (21.26) д зи~ юг 3 г — 2и'я+зи~„з 3 2 дх'1л Ьг (21.28) д и3 иг;,— 23ия+33, 343 ~ 2 ~~ ~ ~ с г ~ ~ ~ 2 г ду Рассмотрим аппроксимации частных производных на прямоугольной сетке (рис. 21.5). Расстояние между двумя соседними узлами обозначим через 72„— по оси Ох, 72,— по оси Оу.
Координаты узла обозначим (хо у ), где 1=0, 1, ..., н„, 1'=О, 1, ..., л, (л„, и — число делений по осям дх и Оу соответственно). Координаты х; и у, равны х;=й„, у,=7733. В задаче изгиба пластины прогиб и (х, у) является функцией координат х и у. Значения функции и (х, у) н ее производных в узле с координатами (х;, у;) обозначим следующим образом: Ч " 2 ' - ' 3 ' 4 Для аппроксимации первых производных в узле (хо у,) по формулам центральных разностей воспользуемся трехточечным шаблоном по каждой из осей Ох и Оу (рис.
2!.6) < (21.27) дх/л 22„' 1 ду/;3 22„ Этот сеточный шаблон используется также для вычисления производных второго порядка ®)1 и в!1,ь1 ь1,~.! аиг ъ Ьу)111 (а~);.,! "', ©)зю 1 213 Рис. 21.8 Рис. 21Л Для вычисления смешанных производных второго порядка на рис.
21.7 приведен девятиточечный шаблон. Используя выражения (21.27), получим < -) <'-:). -<'-:),.иг <'-:)3„.-<-':)„., 22„ 33, 3 3 3 — зи, 3 2, 3 — 33,43 3 3-1-3и,43,3,3 4й„133 Для вычисления частных производных третьего и четвертого порядков используется сеточный шаблон, приведенный на рнс. 21.8.
Эти частные производные вычисляются по формулам <~) <'.")...-<: )., 1 2/~3 ' = — 3( — зуг г 1+2% 2 1 — 2и31.„1 3+и314г 3); ( д 1 дхду 1,дх'д (,, 22„ Й 21 1 343 1+2 (21.29) Ряс. 21.5 Рис. 21.б 8 1-1 )+1 142 ьг 1 822 2 г (и'-г 3+3 и33 — г, 3 — 1+2игь 3-2 2игс 3+3 у — и33+г,з-г+игг+г, 3+3)' ! Ь4 = —,(и; г,— 4и;, 1+би311 — 4и;41,,+иняз,з); ( —,) -г( —,) ( — ",) 12 1 + 28811+ 2, у+ г + — Игг+ 2,, =1цг а (21.32) где 62 У О ! 88,-8 !А+8 Рис.
21.9 1 г г(иг; 2 2-2 — 2и'; 2 у+иг; г у+г — 2иг8 у 2+4игз— 182 482 У вЂ” 2и;;+, +и;22,; 2 — 2и;+2,;+и,22,,22); (21.30) 1 =„—,(игз, 2 — 4иг; у, +биг;,— 4игзу+г+игг 1+2) (21 31) Точность этих конечно-разностных формул анализируется как и в приведенных выше примерах. Не учитываемые погрешности являются величинами второго порядка малости 0(Ь„), 0(Ь,').
Сеточные шаблоны, показанные на рис. 21.6 — 21.8, называются регулярными, так как шаг сетки в каждом из направлений по осям Ох и Оу постоянен. На область, занимаемую пластиной, нанесем прямоугольную сетку (рис. 21.9). Вводя обозначение Д=~ "У' Ь2Ьуг и подставляя формулы (21.29) — (21.31) в дифференциальное уравнение (21.22) для каждого внутреннего узла сетки, а также для узлов на свободном крае пластины (О), получим систему линейных алгебраических уравнений 1 / !'2 — и; 2,,+2иг; ...— 4~1+ — (иг;,,+2и1;,,;.„„+ 846 4-~, — — 4814- 1; г 4(-4846 ) га 18 — 4414 1 г,г„4 44,22 г„г —,-4(14 — 1+;„44 с8=Ь„'/Ь,', 1=1, 2, 3, ..., ~„.; 1'=1, 2, 3, ..., УУУ вЂ” 1. В число неизвестных системы (21.32) входят значения фиктивных прогибов в законтурных узлах, отмеченных звездочкой (8).
Число уравнений становится равным числу неизвестных, если учесть краевые условия (2!.23) — (21.26). Использование конечно-разностных формул приводит к дополнительным алгебраическим уравнениям. Из условий (21.23) получим иг42 =0; и'2 и'-2 =О. Условия (21.24) дают игсгг=О; и; 2 884; 2=0. Из условий (21.25) получим уравнения их, =0; и; „г+игг „+2 — — О. ь "у Более громоздкие уравнения следуют из условий (21.26): и „,; — 2 (1+ т с8) и „,, + и „4„,, + 282 (иУ„, ! 2 + и „, 14.
2 ) = О; — и„г;+2иг„,,— 2и„г 1+и„+2,+(2 — 2) /и( — и„г; 2+ +и„,,+,+2и„,,— 2иг„,4.„— и„гг. 2+и„„,,+,)=О. Решение полученной системы уравнений находится с использованием известных вычислительных методов или стандартных программ на ЭВМ. Решения конечно-разностных уравнений сходятся к точному решению краевой задачи при Ь„, Ь,— О. Скорость сходимости зависит от порядка аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий. Поэтому важно, чтобы погрешности аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий имели одинаковый порядок.
В рассмотренном примере погрешность решении равна Яир ~ и;, — и (х;, у,) ~ = О (Ь ~), Ь-60„ ! 2 где Ь=Яир(Ь„, Ь,); и (хгэ у,) — точное решение задачи. уг, уз Хг= —.,' у з= —, Е' у' (21. 33) и ез 0 е Рис. 21.10 Рис. 21.11 Однако, эта оценка погрешности имеет в основном теорети ческое значение, так как О(й~)= Сй~, где постоянную С прак тически трудно вычислить. При выполнении реальных расчетов используется сгущение конечно-разностной сетки. Например, выполняются два расчета: первый — с выбранными шагами Ь„и Ьу, второй с шагами Ь„у'2 и Ьу1'2 с последУющим сопоставлением численных значений в одинаковых узлах. Иногда сгущение конечно-разностной сетки выполняется только в области с большими градиентами вычисляемого неизвестного параметра.
Такой подход носит название метода адаптивных сеток. Отметим, что при очень сильном сгущении сетки могут накапливаться вычислительные погрешности округления на ЭВМ. Это приводит к неверным результатам при решении системы линейных алгебраических уравнений. й 21.2. Метод конечных элементов Появление ЭВМ стимулировало развитие метода конечных элементов (МКЭ), математические основы которого были сформулированы известным математиком Р. Курантом в 1943 г. Рассмотрим применение этого метода к расчету упругой пластины, находящейся в условиях плоского напряженного состояния, при использовании простейших треугольных конечных элементов. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
