2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 76
Текст из файла (страница 76)
В этой теории процесс деформирования рассматривается как течение вязкой жидкости. Теория течения применяется, как правило, при больших деформациях, возникающих, например, в таких процессах„как ковка, штамповка, волочение и т. д. При этом в теории течения процесс нагружения может быть сложным, когда нагрузки, прикладываемые к телу, изменяются независимо друг от друга. Как было отмечено, отличия в двух теориях пластичности заключаются в физических законах. Что касается двух других групп основных соотношений механики — уравнений равновесия и соотношений Коши, то они справедливы в обеих теориях пластичности и имеют тот же вид, что и в теории упругости (гл.
4 н 5). Наряду с общепринятыми обозначениями, используемыми в механике деформируемого твердого тела, в теории пластичности вводятся новые понятия. о,= — ~(ог — ог) +(ог оз)г+(оз су )г; (22,11) 1 2 (22.12) Интенсивности напряжений и деформаций используются в физических соотношениях теории пластичности. Процесс деформирования пластичных материалов может быть разделен на две стадии. Первая — упругое деформирование при малых деформациях. Компоненты тензоров напряжений н деформаций при этом связаны законом Гука (гл.
6). Прежде чем перейти к установлению физических зависимостей на второй стадии — пластического деформирования, следует определить условия возникновения пластических деформаций. В простейшем случае одноосного напряженного состояния это условие соответствует равенству напряжений пределу текучести о„при котором на диаграмме о е имеется площадка текучести. При сложном напряженном состоянии условие появления пластических деформаций устанавливается на основании двух критериев, соответствующих двум теориям прочности (8 1 2.5).
Критерий Треска — Сеуь-Венана, согласно которому материал переходит в пластическое состояние, когда наибольшее касательное напряжение т„в достигает предела текучести т, при сдвиге. Учитывая, что т,= о,12, а т„,=(о, — суз)/2, получим условие пластичности Треска — Сен-Венана в виде (22.13) су, — оз=о,. Критерий Губера — Мизеса, в соответствии с которым пластические деформации возникают, когда интенсивность напряжений су; достигает значения о,.
Используя соотношение (22.11), приходим к равенству (о,— ог)'+(ог — оз) +(оз — су,)'=2о",. (22.14) зоз сг.— суо=26.(е.— ео)' суу — по =26,(ау — ео)' о,— по=26,(е,— ео)' т„у=6,у„у; тут беууг тих бсУят (22.18) о;=о; е;= ( )с. (22.15) (22.19) (22.20) 1 е о = (ек+ ау+ е*) = О.
(22.16) (22.21) Б) то оо е= —. К (22.17) а Р .22Л Нетрудно заметить, что при некоторых видах напряженного состояния оба критерия дают один и тот же результат. Так, положив при одноосном растяжении о, = о; о, = су, = О, из (22.13) и (22.14) получим одно и то же условие су = о,. Наибольшие отличия между двумя критериями пластичности будут при чистом сдвиге. Если принять при этом, что о,=т, оз=О, аз= — т, то из (22.13) получим равенство т=су,/2, а из (22.14) — т=о,~ /3. Отличия между двумя значениями т не превышают 14%.
Перейдем к рассмотрению физических гипотез, положенных в основу деформационной теории пластичности. 1. Связь между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций не зависит от вида напряженного состояния. Из этой гипотезы следует, что зависимость су;=Де;) одна и та же при любых комбинациях напряжений и деформаций и может быть определена из любого опыта. Наиболее простым является опыт на одноосное растяжение, при котором о,=о, а, = су з — — О, е, = е, е, = е з — — — че. Подставив эти значения в (22.11) и (22.12), получим Имея зависимость о а, полученную при одноосном растяжении (см., например, рис.
22.1, а), по формулам (22.15) можно получить зависимость между о; и ео Как было отмечено в 9 3.5, значение коэффициента поперечной деформации 1 при переходе материала в пластическое состояние увеличивается до 0,5, что характерно для несжимаемого материала. Во многих расчетах для упрощения полагают о=0,5 и в упругой и в пластической зонах. Это позволяет использовать условие несжимаемости, записанное в виде Положив в (22.15) ч=0,5, получим при одноосном растяжении в;=е и, таким образом, диаграмма о е, полученная при одноосном растяжении, будет совпадать с диаграммой су;-а1 при любом напряженном состоянии.
2. Между обьемной деформацией е и средним напряжением оо существует линейная зависимость Здесь К= ' — модуль объемной деформации 6 62), 3(1 — 2чо) одинаковый в упругой и пластической зонах; Е, и мо — модуль упругости и коэффициент Пуассона, определяемые на начальном упругом этапе деформирования. Если считать материал несжимаемым, то, очевидно, что при ч- 0,5, К-+со и из (22.17) следует также условие (22.16), если учесть, что е=Зво. 3. Компоненты девиатора напряжений пропорциональны компонентам девиатора деформаций.
В теории упругости' компоненты девиаторов напряжений и деформаций связаны уравнениями (6.14). По аналогии с этими соотношениями запишем физические соотношения теории пла- стичности Здесь вместо модуля сдвига б введено обозначение 6,. Эта величина не является постоянной, а зависит от напряжений в данной точке тела. Подставив с~„, ..., т,„из (22.18) в формулу (22.9), получим с учетом (22.10) о;= 36.е;. Отсюда следует, что Смысл величины б, можно понять из рис. 22.7. Если ввести понятие секущего модуля Е„равного Е,= — ', Я~ то из (22.19) следует, что и. б = — '. з' Величина 6, является секущим модулем на диаграмме т;-у,. (рис. 22.7,б), где т;=о;~ /3 — интенсивность касательных напряжений, а у;= /Ъег — интенсивность деформа?1ий сдвига. При этом следует заметить, что диаграмма т,-у, совпадает с диаграммой чистого сдвига т-у.
Из формулы (22.19) следует, что поскольку коэффициент пропорциональности 6, не является постоянным, а зависит от напряжений и деформаций, то соотношения (22.18) являются нелинейными и, таким образом, задача теории пластичности также является нелинейной. Задачи теории пластичности сводятся к нелинейным дифференциальным уравнениям, что значительно усложняет их решение по сравнению с задачами теории упругости, являющимися линейными. Все рассмотренные выше соотношения относятся к так называемому активному деформированию, при котором в процессе нагружения во всех ~очках тела каждое последующее значение интенсивности напряжений о; больше предыдущего. Во многих задачах, особенно при сложном нагружении, когда нагрузки, действующие на тело, прикладываются не одновременно, в отдельных частях тела может произойти разгрузка, при которой о; уменьшается или остается постоянной величиной.
Такой процесс называется пассивным деформированием. В качестве примера можно рас- Р, Р смотреть балку, показанную на рис. 22.8. Если сначала приложить силу Р„ то балка изогнется по я кривой 1, После приложения силы Р, прогибы (кривая 2) в пролете Рис. 22.8 уменьша~ся. Если под действием силы Р, в балке появятся пластические деформации, то после приложения силы Р, напряжения в пролете уменьшатся, при этом разгрузка будет происходить по закону Гука 8 3.5). Таким образом, при решении задач теории пластичности необходимо следить за изменением интенсивности напряжений в каждой точке тела в течение всего процесса деформирования и при необходимости использовать соответствующие физические соотношения. Если процесс деформирования является активным, то решение задачи теории пла- 1 ем??аггее стичности совпадает с решением задачи для нелинейно упругого материала, диаграмма с?г е, которого также является нелинейной, но разгрузка идет не по линейному закону, как в случае упруго-пластического материала, а а по той же диаграмме, и при снятии нагрузки Рис.
22.9 деформации обращаются в ноль (рис. 22.9). й 22.3. Упруго-пластическое состояние толстостенной трубы Будем полагать, что труба, нагруженная внутренним и внешним давлениями р, и рг (рис. 22.!О), находится в условиях плоской деформации, то есть е,=0. Упругое решение данной задачи, полученное в 8 18.5, имеет вид о— (рг — рг)а Ь рга — р?Ь +— (Ьг ?)гг Ьг, г (22.22) (рг — р,)а?Ь? р,аг — р?Ь? гть= — ' — + (Ь* — а') гг Ь' — и' Предполагая, что материал является несжимаемым как в пластической, так и в упругой зонах (к=0,5), из соотношения (18.50) найдем — Р?Ьг Ь вЂ” и (22.23) Благодаря осевой симметрии задачи касательные напряжения равны нулю. Для определения условия возникновения пластических деформаций воспользуемся критерием Губера — Мизеса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
