2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Отметим, что формы потери устойчивости пластин в зависимости от характера действия нагрузок и условий закреплений пластины о~личаются большим многообразием. Будем рассматривать наиболее простые вопросы устойчивости прямоугольных пластин, не имеющих начальных искривлений и нагруженных строго в срединной плоскости. Будем также считать, что нагружение пластины происходит только в пределах пропорциональности материала, то есть в рамках справедливости закона Гука. Исследование устойчивости любых деформируемых систем обычно сводится к установлению форм потери устойчивости и к определению значений критических нагрузок.
При этом используются три основных метода — статический, энергетический и динамический. Статический метод исследования устойчивости основан на рассмотрении дифференциальных уравнений равновесия деформируемой системы в момент, соответствующий бифуркации форм ее равновесия, причем эти уравнения составляются для искривленной формы равновесия. Их решение позволяет установить форму потери устойчивости и определить величины критических нагрузок. Применим статический метод для исследования устойчивости прямоугольных пластин. В качестве дифференциального уравнения равновесия пластины в искривленном состоянии под действием нагрузок в срединной плоскости можно использовать уравнение (20.97), положив в этом уравнении 9(х,у)=0.
Таким образом, получим Ч2Ч уу=~х —,г+ Ц вЂ”,+25 —. (20,98) "дх ду дхду В качестве первого примера рассмотрим прямоугольную шарнирно опертую по краям пластину, находящуюся под действи- Рг ем нормальных сжимающих на- 6 грузок р, и р2 в срединной плоскости, равномерно распределенных по краям (рис.
20.46). Будем счи- Рг 4 ' Рг тать, что условия опирания пластины допускают возможность пе- 8 Рг ремещений в срединной плоскости, то есть сближения краев. примем, Р4 м(х,й) что величины нагрузок связаны между собой параметром с: Ряс. 20.46 р,=р; р,=ср„=ср. При таком нагружении напряженное состояние в пластине является однородным, и внутренние усилия равны Ф„= — р; М„= — ср; о=0 Положим, что сжимающие нагрузки достигли критических значений и рассмотрим равновесие пластины в искривленном состоянии. Для этого используем дифференциальное уравнение (20.98). Раскрыв операторы Лапласа и подставив в (20.98) значения внутренних усилий Лг„, Л', и о, получим / дггг, дги д4и г г' дги дгиг 'г 19~ — +2 + — )= — р~ — +с' — ).
(20.99) дх4 дхгдуг ду4) ~ дхг дуг) (20.100) где величины пг и и характеризуют число полуволн синусоиды в направлениях координатных осей Ох и Оу. Такое задание прогиба позволяет точно удовлетворить всем граничным условиям на шарнирно опертых краях пластины. Подставляя выражение (20.100) для прогиба в дифференциальное уравнение (20.99) н сокращая обе части уравнения на произведение синусов, получим 27я4А — +2 — — + — =рг0~А — +с— Полученное алгебраическое уравнение позволяет определить величины сжимающих нагрузок р, действие которых соответствует равновесию пластины в искривленном состоянии; Обозначим отношение длин сторон пластины ~)=а~6 и приведем полученную формулу к следующему виду: пггу р=70— (20.101) где (20.102) 0г пгг4сРгпг Естественно предположить, что потеря устойчивости пластины произойдет при наименьшем значении величины р, что в свою очередь соответствует наименьшему значению коэффициента 70 как функции величин пг„п и р.
Таким образом, величину критических нагрузок можно представить в следующем виде: Предположим, что, как и для сжатого стержня, форма искривления пластины при потере устойчивости является синусоидальной. Тогда прогиб пластины можно представить в следующем виде: агпх ппу и (х,у)=Аып — 01п а Поскольку т и и являются целыми положительными числами, коэффициент 70 будет иметь наименьшее значение при пг=п=1: Отсюда следует, что прп любом соотношении между длинами сторон пластины потеря ее устойчивости произойдет по одной полуволне синусоиды в направлениях осей Ох и Оу, что соответствует следующему выражению для прогиба: и (х, у)=А ып — ып —.
пх . пу и Ь Величина критической сжимающей нагрузки может быть определена по формуле гр 1 |рг (20.104) Построим график зависимости коэффициента 70 от отношения длин сторон пластины р=а1й, Этот график представляет собой гиперболу (рис. 20.47), имеющую две асимптоты— вертикальную ~)=0 и горизонтальную 70=1. Для квадратной пластины (1)=1, 10=2) критическая нагрузка равна 7»г1г Ь Для пластины, имеющей значительную протяженность в направлении оси Ох (а»1г), получим п'47 Р Ь Сжатие пластины в одном направлении.
Рассмотрим случай равномерного сжатия шарнирно опертой пластины в направлении оси Ох (рис. 20.48). В этом случае в формуле (20.102) надо 0 ! и 3 4 5 р Рис. 20.47 ,пг„рг„г /с= »и г Рис. 40.48 470 471 Р 0=70» (20.103) Рассмотрим частные случаи нагружения пластины. Равномерное сжатие пластины в двух направлениях. В этом случае с=1 и формула (20.102) для коэффициента 70 принимает следующий вид: р4 ~4~ щг+2Рглг+Р" ) (20.105) Ряс. 20.49 = — '(~3г+2~3г+)Зг) =4. тхх . яу и (х, у)=А ап — ьйп —. и Ь 5 )з- а/о Р .2О.ВО 473 472 положить с=О. Приведем выражение для коэффициента 1г к еле дующему виду: Определим наименьшее значение коэффициента к в завися мости от чисел т и л. Поскольку и стоит в числителе формулы (20.105), наименьшее значение 1г в зависимости от и будет при л = 1.
Это означает, что при любом соотношении между длинами сторон пластины при потере ее устойчивости образует ся одна полуволна синусоиды в направлении, перпендикулярном к направлению сжатия. Приняв и=1, исследуем величину 1г на экстремум как функцию и: — = — г~2ри — 2 —,/=О. ~~с 1 г 1~'~ Отсюда находим, что при т = ~3 коэффициент 1г имеет минимальное значение, равное При этом оказывается, что величина критической нагрузки не зависит от отношения сторон пластины и определяется по формуле 4х го Ро= Нетрудно видеть, что величина критической нагрузки для квадратной пластины при сжатии в одном направлении в два раза больше, чем при одинаковом сжатии в двух направлениях. Исследуем формы потери устойчивости пластины при сжатии в направлении оси Ох. Прогиб пластины описывается следующим выражением: При т = ~3 число полуволн синусоиды в направлении действия сжимающих нагрузок равно отношению сторон пластины.
На рис. 20.49 показаны формы потери устойчивости пластины при ~3=1 и ~=2. Если отношение длин сторон пластины ~3 не равно целому числу, то для определения критических сил надо построить графики зависимости )г от ~3 при различных значениях гл. Эти графики приведены на рис. 20.50. Все кривые имеют минимальные значения юг=4 при целы~ значениях ~3 = т. Эти кривые позволяют также определить значения коэффициента 1г при нецелых значениях р. Ои" соответствуют точкам пересечения смежных кривых при т и гл+1 и превышают минимальное значение юг=4 для целых ~3. Кроме того, эти точки позволяют установить значения ~3, при которых происходит смена числа полуволн синусоиды, образующихся в направлении действия сжимающих нагрузок. Для этого приравняем выражения для Й при смежных значениях числа полуволн синусоиды -',( *-~20*-~ — '.)= — ',[~ «-~)*'20*»- Из этого равенства находим ~- ~ 1Г+и Для гл=1 смена числа полуволн синусоиды происходит при )3=а/Ь= Г2=.1,41, для т=2 — при ~3= lб=2,45 и т.
д. Таким образом, если соотношение длин сторон пластины меньше 1,41, то при потере устойчивости пластины образуется одна полуволна синусоиды в направлении действия сжимающих сил'. Если это отношение лежит в пределах 1,41 ( ~3 ( 2,45, то пластина теряет устойчивость по двум полуволнам синусоиды и т.д. 82 Р 2«' р„4л 21« ь ьь' ' (20.106) Ь ди у=+-, «р=О; «р = — =О, 2 ду г«Ь «2 Ь Сг с)1 — + Сл сов — =0; 2 2 г,ь 22Ь Сгг, з)г — — Слгг Яп — =О.
2 2 г,Ь г ь г,111 — +г 18 — =О. 2 2 (20.111) 475 474 Разделив величину критической нагрузки на толщину пластины, можно определить критические напряжения в пластине. Например, при сжатии шарнирно опертой пластины в одном направлении и при 7с=4 критические напряжения равны Полученные решения справедливы в пределах пропорциональности материала пластины, то есть при выполнении условия о„,(о„„. Из этого условия можно определить предельное отношение толщины пластины л к одному из размеров в плане. Выполним ~акой расчет для стальной пластины, приняв Е=2,1.10' МПа, о„„=210 МПа и 1«=0,3. 4л22« 4л«ЕЬз лгЕ (' Ь')2 о„— — — <о„„ ЬЬ2 12ЬЬ2(1 л«) 3(1 чг) «2Ь~ 3 «1 — «(3 210« -0.3 «1 Ь л Е л~/ 2,1 102 60 Таким образом, формулу (20.106) можно использовать для определения критических напряжений только при 7«,«6 ( 1««60.
При большем отношении 7«76 потеря устойчивости пластины произойдет за пределом пропорциональности материала. Определение кри- 8 тических нагрузок и напряжений в этом случае представляет значительно более сложную задачу. х Р Р В качестве второй задачи исследу- ем устойчивость прямоугольной плал стивы, два противоположных края а которой шарнирно оперты, а два Р ««(х,з) Р других края являются жестко защемленными.
К шарнирно опертым краям приложены равномерно расРис. 20.51 пределенные сжимающие нагрузки (рис. 20.51). Зададим прогиб пластины при ее равновесии в искривленном состоянии в следующем виде: ««'(х, у)=у(у)яп™~. (20.107) Такое задание прогиба обеспечивает удовлетворение граничным условиям на шарнирно опертых краях пластины при х=О и х=а. Функция «(у) характеризует распределение прогибов в поперечном направлении и подлежит определению. Подставим выражение (20.107) в дифференциальное уравнение (20.99), приняв с=О. При этом получим 20 (1'~ — 2Х ' 1 "+ Х" ~) зш 1.„,х = р~)г зш 2. х, л«л где Х а Сократив обе части этого уравнения на з(пХ„х и введя обозначение получим однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно функции у(у) ~«2" — 2Хг 7 "+Хг (Х' — 8')~=0. (20.108) Можно показать, что корни характеристического уравнения г4 — 2Хггг+Х'(Хг — бг)=0 равны +г, и +«гг, где ., =,«2.«2~-Х.~; Таким образом, решение уравнения (20.108) можно представить в следующем виде: У (У ) = С, з)г «, У+ Сг с)г «', У+ Сг Яп гг У+ С4 соз г, У, (20.109) где С,, Сг, С, и С4 — постоянные интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
