2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 67
Текст из файла (страница 67)
лу Д„= — сов — яп —. о+ о 439 задание функции прогиба также по одной полуволне синусоиды вдоль координатных линий: где ив=А„— величина прогиба в центре пластины. Выражение 120.42) соответствует первому члену ряда 120.35) Величина я о может быть определена по формуле (20.39), в которой надо положить ул=1, в=1: Определив соответствующие производные от прогиба, можно получить выражения для внутренних усилий и напряжений в пластине.
Например, изгибающий момент М„, крутящий момент Н и поперечная сила Д„определяются по формулам Характер изменения изгибающего момента М„и крутящего момента Н (эпюры этих величин) показан на рис. 20.24, и, б. Изгибающие моменты достигают наибольших значений в центре пластины при х= и1'2, у=и/2, а крутящий момент — в ее углах. На опертых краях пластины действуют распределенные опорные реакции, равные значениям приведенных поперечных сил ~'„и )'; при х=О, х=и, у=О, у=6. Выражения для распределенных реактивных сил можно получить с помощью формул 120.22) и (20.42). Например, распределенные опорные реакции вдоль края х=О определяются следующим выражением: Аналогичные выражения характеризуют распределение опорных реакций на других шарнирно опертых краях пластины. Направление этих реакций противоположно направлению действия поперечной нагрузки.
В углах пластины действуют сосредоточенные реактивные силы Т, равные удвоенному значению крутящего момента Н в угловых точках. Эти силы имеют одинаковую величину и направление во всех четырех угловых точках. По абсолютной величине они равны Поскольку направление этих реактивных сил совпадает с направлением действия нагрузки, можно сделать вывод, что углы пластины имеют тенденцию отрыва от опор.
Характер распределения опорных реакций на шарнирно опертых краях пластины показан на рис. 20.24, в. Можно убедиться в том, что пластина а под действием нагрузки (20.41) и распределенных и сосредото- 6 ченных опорных реакций нахо- в, х дится в равновесии и для нее точно выполняется уравнение статики ХЕ=О. Действие равномерно распределенной нагрузки. При дей- а о~= солвС ствии по всей поверхности пластины равномерно распределенной нагрузки ц=сопя (рис. 20.25) выражение для про- а гиба пластины имеет вид бесконечного ряда (20.40).
Опреде- Рио. 20.25 лим входящие в это выражение коэффициенты д „по формуле (20.38). Вынося постоянную величину д из под знака интеграла и выполняя интегрирование, получим а ь д „= — яп с/х яп дуаа 4а (, тлх ) . ллу 1ба аЬ ) а ~ Ь л' где т, и=1,3,5,... При вычислении определенных интегралов учтено, что они равны нулю при четных значениях индексов т и и.
Окончательное выражение для прогиба пластины имеет следующий вид. тих, илу ' "'.-"-'-Ю' Ы' (20.47) С помощью (20.47) можно получить выражения для внутренних усилий в пластине. Использовав, например, формулу (20.14), получим следующее выражение для изгибающего момента М..: ' "'" '-Ю' Ф'1' ' Для других внутренних усилий можно также получить выражения в виде тригонометрических рядов по синусам или косинусам. Отметим, что сходимость рядов для внутренних усилий хуже, чем сходнмость ряда (20.47) для прогиба пластины. Например, для значения максимального изгибающего момента М„в центре квадратной пластины со стороной а н ч=0,3 при четырех членах ряда (20.48) получим М „'" = 0,0469да г в то время как точное значение равно М „'" = 0,0479да'. 440 В соответствии с нечетными значениями индексов т и и синусоиды, характеризующие изменение прогибов пластины, являются симметричными по отношению к линиям х=а,'2, у=/г/2, что соответствует физическому смыслу задачи.
Ряд (20.47) быстро сходится при любых значениях координат х и у. Например, для максимального прогиба в ценэре квадратной пластины (а=6) уже прн четырех членах ряда получаем точное значение, приводимое в справочной литературе и „,„= 0,00406 ~ Ряды для поперечных сил схо- а дятся еще медленнее. Частичное нагруженне пластнны. Рассмотрим действие нагруз- ,х ки, равномерно распределенной у~~ по площади прямоугольника со с сторонами с и а1 (рис. 20.26). Обозначим координаты центра о ~ ~! грузового участка через и и 13. Равнодействующая нагрузки равна Р=с/сс/.
р х Прогиб пластины по-прежнему определяется выражением (20.40). Вычислим коэффициенты Рис. 20.2б разложения нагрузки в тригонометрический ряд по формуле (20.38), в которой интегрирование надо произвести в пределах участка нагружения. В результате получим аьа1г 11ад1г 4а ~ . тих ~ . плу д „= — яп с/х яп — с/у= аЬ а а — аг 11 — 41 г 1ба . тли . пп0, тпс . пха' яп ып — яп — яп —. (20.49) л~тп а Ь 2а 2Ь Если нагрузка симметрична по отношению к линиям х=а/2, у = 6/2, то соответствующие индексы т и и должны быть нечетными числами. При произвольном расположении нагрузки индексы т и и должны принимать значения всех целых положительных чисел.
Рассмотрим, например, нагружение левой половины пластины. В этом случае в формуле (20.49) надо положить с=а/2, Ы=/), и=а/4, р=/г/2, и она приме~ следующий внд: 1бч . 1тл . гпл а 2 Б1п Б1п лгтп 4 2 где т принимает произвольные значения, а и — только нечетные значения, поскольку изогнутая срединная поверхность пластины при таком нагружении должна быть симметричной относительно вертикальной плоскости, проходящей через линию у=/г/2. Действие сосредоточенной силы. При малой площади распределения нагрузку можно считать сосредото- Рис. 20.27 ченной в точке с координатами хр — — а, ур — — !3 (рис.
20.27) В этом случае для получения решения надо в формуле (20.49) устремить размеры с и с! к нулю, сохраняя конечное значение Р=с1сй. Положив в (20.49) у=Р~(ась) и перейдя к пределу, получим 4Р, риихр . ииур Чти = — ЗП! — а1П— аЬ а Ь (гО.5О) Для определения прогиба пластины коэффициенты д „надо подставить в выражение (20.40). Если, например, сила приложена в ЦентРе пластины (хр — — а/2, Ур — — 111'2), то ее пРогиб определяется следующим выражением: 1ИИ ИИ ""'.-"-'й (Л' где индексы т и и должны быть только нечетными числами. Ряд (20.51) достаточно хорошо сходится в любой точке пластины, в том числе и в точке приложения силы.
Составим, например, ряд для определения прогиба в центре квадратной пластины. Положив в выражении (20.51) а = К х =у = а!2, получим 4Рах 1 2!их ~ ~ (1их+и')' (20. 52) Удержав в разложении (20.52) первые четыре члена ряда, соответствующие значениям т = 1, 3 и л = 1, 3, находим 4Ра !' ! 1 1 1 ! 0,0112!Рах .0и~ ( 4 100 100 324/ 1! Это значение примерно на 3% меньше точного значения прогиба 0,01160Ра 11 тах 2! Составив выражения для внутренних усилий также в виде рядов, можно убедиться, что их сходимость значительно хуже, чем сходимость ряда для прогиба. В самой точке приложения силы ряды для внутренних усилий оказываются расходящимися.
Такой результат связан с характером сосредоточенного воздействия на тело. Как уже отмечалось, любая поверхностная нагрузка всегда имеет площадь распределения, пусть даже очень малую, но имеющую конечное значение, В силу этого переход к сосредоточенным нагрузкам в задачах теории упругости всегда приводит к появлению так называемых особенностей— бесконечно больших значений напряжений или внутренних усилий.
8 20.10. Расчет прямоугольных пластин с помощью одинарных тригонометрических рядов и (х, у)= ~~~ и1 (у)яп —, (20.53) т=! где т=1, 2, 3, ... Представление искомой функции прогиба в ряд по синусам в направлении, перпендикулярном к шар- Рис. 20.28 нирно опертым краям пластины, позволяет точно удовлетворить граничным условиям на этих краях: ахи х=о, х=и, и =0; — =О. их х Функции и: (у) в разложении (20.53) характеризуют изменение прогиба в направлении оси Оу и подлежат определению. Для этого разложим заданную распределенную поперечную нагрузку также в тригонометрический ряд по синусам: д(х, у)хх ~~, д (у)яп™~.
т=! (20. 54) Коэффициенты этого разложения, являющиеся функциями переменной у, могут быть определены с помощью известной из теории рядов Фурье формулы 2Г риих дт(у)= — ~ а(х, у)ап Нх. а~ а о (20.55) Использование одинарных тригонометрических рядов эффективно при расчете прямоугольных пластин с двумя противоположными шарнирно опертыми краями. Два других края пластины могут иметь различные условия опирания или могут быть свободными от закреплений. Рассмотрим, например,,прямоугольную пластину, шарнирно опертую по краям х = 0 и х = а и нагруженную распределенной нагрузкой д(х, у) (рис. 20.28). Край у=о жестко защемлен и край у=6 а свободен от закреплений.
Зададим функцию прогиба пластины в виде следующего ряда: Рис. 20.29 (20. 56) Подставив выражения (20.53) и (20.54) в дифференциальное уравнение (20.12), получим )9 ~~, (и1т 2Лги'"+Л4и' )з!пЛ х= ~~ 9 (у)з!пЛ х, Юй где принято обозначение Л а Приравняв между собой члены рядов с одинаковыми индексами т н сократив обе части этого выражения на з!и Л„,х получим обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно функции и (у) Общее решение уравнения (20.56) имеет вид о( )+ 4( (20. 57) где и о (у) — общее решение однородного уравнения 2~ г, +Л5я, 0 (20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
