2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 65
Текст из файла (страница 65)
20.9„б). Поперечную нагрузку в пределах элемента в связи с его малостью можно считать равномерно распределенной. Для выполнения условий равновесия выделенного элемента используем уравнения статики. Нетрудно видеть, что уравнения ХХ=О, Хг'=0 и ХМ,=О удовлетворяются тождественно. Составим уравнение статики ХЛ=О: — Д„ау+ Д„+ — "ггх г7у — Д с(х+ Д,, + — 'Иу Ах+ с)Ахну = 0, При составлении этого уравнения поперечные силы умножены на соответствующие длины сторон элемента Ых и с1у, а распределенная нагрузка — на его площадь Ыхс(у.
Аналогично можно составить уравнения статики ХМ„=О и ХМ,=О. д«2„д«2, — "+ — ' = — «7(х,У); дх ду х=О, и =0; «р„=- — =0; ди дх (20.17) дМ„дН вЂ” "+ — =0„; дх ду (20.15) дк ,0~ «г 01 «Ру 0 д« дМ, ди — '+ — = О,. ду дх ЫД ЫМ вЂ” = — «7 (х); — = Д. Ых ««х х= О, к=О; М„=«п„; у=О, и=О; М =О. у (20.18) /д ~ д~„,'1 д«„, «' ~х дх' дэх) д ' / д~~ д~~ 1 д~~ — 271 —, + х« —,) = — Ю вЂ”, = О. 1 ду' дх') ду' х=О, М„= (20.19) у=О, М,= д» 'Р. 1К «Р» = — *' дх* (20,! 6) дв «р, гя«р,— 420 427 Приведя подобные члены и сократив эти уравнения на «7хд> получим три дифференциальных соотношения Полученные уравнения можно считать обобщением диффе ренциальных соотношений при изгибе балки Подставив в первое уравнение системы (20.15) выражения для поперечных сил из (20.14), получим выведенное в 0 20,3 дифференциальное уравнение изгиба пластины: — *+ —" = — Ю( —, + —,~7 ~= — «7(х,У); д12„~ 2„«' д' дх ду ( дх ду / В«Р2172и/ = «7 (х, у).
й 20.5, Граничные условия на контуре пластины Функция прогиба пластины и (х,у) должна удовлетворять дифференциальному уравнению (20.12) и условиям опирания пластины на краях (по контуру), то есть граничным условиям. Эти условия так же, о как и в теории изгиба стержней, могут быть кинематическими (геометрическими), статическими и смешанными.
Приведем 01(х 11) примеры постановки граничных 12 условий для трех основных слуРис. 20.10 чаев опирания пластины. Защемленные края. На защемленных краях пластины должны быть равны нул«о прогиб и углы наклона касательной к изогнутой срединной поверхности, которые определяются по формулам Например, на защемленных краях к=О и у=О (рис. 20.10) надо поставить следующие кинематические граничные условия: Шарнирно опертые края. Шарнирное опирание препятствует прогибу пластины, но допускает свободный поворот опертого края в перпендикулярном к нему направлении.
Рассмотрим, например, граничные условия «««» на шарнирно опертых краях х=О и у=О (рис. 20.11). Вдоль края х=О действуют распре- 01(х,~) деленные изгибающие момен- 1У ты т„. На рис. 20.11 и в даль- Рис. 20.11 нейшем используется принятое в литературе изображение шарнирно опертых краев (контуров) с помощью пунктирных линий. Граничные условия на краях х=О и у=О ставятся относительно прогиба и изгибающих моментов (смешанные граничные условия): Для постановки граничных условий относительно изгибающих моментов используем выражения (20.14) Вторые слагаемые в выражениях для изгибающих моментов отброшены, поскольку опертые края остаются прямыми и вторые производные от прогиба по направлению, совпадающему с направлением опертого края, равны нулю.
Таким образом, при постановке граничных условий на шарнирно опертых краях пластины используются выражения для прогиба н второй производной от прогиба по направлению, перпендикулярному к опертому краю. Свободные от закреплений края. На свободных краях, как правило, ставятся статические граничные условия относительно интегральных величин — внутренних усилий в пластине. Таких усилий на каждом крае пластины может быть три — крутящий мо мент и соответствующие изги бающий момент и поперечная сила.
Следовательно, граничные условия на свободных краях должны ставиться относительно трех внутренних усилий и этих условий должно быть также три, Однако, в соответствии с порядком дифференциального урав пения изгиба пластины (20.12) па каждом крае можно удовлетворить только двум граничным условиям. Несоответствие между числом граничных условий и чисН+ ах "ох лом статических величин на сво- Н бодных краях является следствием введенных гипотез 8 20.1). Для устранения этого противоречия можно произвести на свободных краях объединение двух внутренних усилий — крутящего момента ЗВ и соответствующей поперечной силы.
При этом крутящий момент надо представить в виде поперечРнс. 20.12 ных сил, распределенных вдоль рассматриваемого края. Рассмотрим, например, действие крутящего момента вдоль края пластины, параллельного оси Ох (рис. 20.12,а), В произвольной точке края крутящий момент, прнходящийся на длину Их, может быть представлен парой вертикальных сил Н с моментом Нйх. На бесконечно малом приращении йх крутящий момент получит приращение и будет равен Н '"= Н+ — Их.
дх Его также можно представить в виде пары вертикальных сил (рис. 20.12„6) с моментом Н+ — йх йх. Такую замену крутящих моментов вертикальными силами можно произвести по всей длине края пластины. Произведя сложение противоположно направленных сил в каждой точке края, получим в итоге такого преобразования распределенную дН поперечную нагрузку с интенсивностью — (рис. 20.12,в). Эту дх а) о нагрузку можно объединить с поперечной силой Д„действую- щей вдоль рассматриваемого края. В итоге получим обобщен- ное внутреннее усилие — так называемую приведенную попереч- ную силу )~,: (20.20) Произведя аналогичное преобразование крутящего момента на контуре пластины, параллельном оси Оу, получим приведенную поперечную силу 1г; р„=а„+ — '".
(20.21) ду Поде~авив в эти формулы соответствующие выражения из (20.14), получим —, +(2 — ~) —., ~(~ ), ду' дх'ду ~ (20.22) Произведенное объединение поперечных сил и крутящего момента позволяет рассматривать на свободных краях пластины два граничных условия относительно соответствующих изгибающего момента и приведенной поперечной силы. При этом, естественно, граничные условия на свободных краях будут удовлетворяться приближенно. Однако на основании принципа Сен-Венана такое преобразование вызывает изменение характера напряженного состояния пластины только вблизи края, где оно выполнено.
Для всей остальной части пластины замена крутящих моментов статически эквивалентными им вертикальными распределенными силами практически не приводит к изменению характера напряженного состояния и в этом смысле она вполне допустима. Следует также отметить, что при рассмотренном выше преобразовании в углах пластины появляются сосредоточенные силы, равные удвоенным значениям крутящего момента в угловых точках (рис.
20.13). В силу этого при постановке граничных условий на краях пластины угловые точки, ан„ как правило, исключаются А В из рассмотрения. я "с х Если свободный от закреплений край пластины является ненагруженным, то С статические граничные уело- о ян вия на этом крае будут однородными (нулевыми). Рис. 20.13 429 х=О, и2=0; хр„= — =0; д22 дх дх и =0; — =0; д„2 у=О, д'и х=а, и =0; —,=0; дк' ( дъ22 д~~ 1 Гдъ„ дх. 1 у=Ь, а На нагруженных свобод- О ных краях внутренние уси.-,е лия должны быть равны интенсивностям распреде ленных линейных нагрузок и2"( Ф (сил или моментов).
х Р Рассмотрим в качестве примера постановку гра ничных условий для прямоугольной пластины, у которой края у=О и х=а шарнирно оперты, край х=О жестко защемлен и край у=Ь свободен от закреплений (рис. 20.14), На свободном крае действует равномерно распределенная нагрузка с интенсивностью р=сопзп На рисунке показан характер изменения прогиба пластины вдоль линий х=а12, у = Ь1'2. На краях пластины надо поставить следующие граничные условия: жений и формулы для соответствующих внутренних усилий. После несложных преобразований получим Онб 2. 6М У 62 6М„ о" = — "; Х /2 (20.23) 622 ХУ у2 нб 312„хк 3Ду хх 2д 22 <у,й. (20.24) Подставив в условие прочности (20.24) формулы (20.23) для наибольших напряжений, получим — /М„'+М' — МхМ +3Н <у,К (20.25) Из этого условия можно определить требуемую толщину пластины При расчете пластин на прочность наибольшую опасность представляют нормальные напряжения ох и о, и касательное напряжение т„,.
Напряжения т,х, т„ и а„ как правило, значительно мейьше напряжений 23„, о, и т„, и мало влияют на оценку прочности пластины. Если не учитывать напряжение о„ то напряженное состояние вблизи внешних поверхностей пластины можно считать двухосным, что показано на рис. 20.15. Поскольку напряжения о„, о, и тх, могут иметь в опасной точке один порядок, для оценки прочности пластины необходимо использовать соответствующую теорию прочности. Если, например, использовать энергетическую теорию прочности, то условие прочности по методу предельных состояний можно записать в следующем виде: й 20.6. Наибольшие напряжения в пластинах. Расчет пластин иа прочность Нормальные напряжения ох и о, и касательное напряжение т„, достигают наибольших по абсолютной величине значений при г=+Ь/2 (рис.
20.4). Касательные напряжения т,х и т „имеют экстремальные (максимальные или минимальные) значения в точках на уровне ~х срединной поверхности при г = 0 (рис. 20.5). Выразим значения наиболь- 'Г„' ='Ь522 ШИХ НаПРЯжЕНИй ЧЕРЕЗ ВНУТРЕННИЕ УСИ- лия. для этого надо рассмотреть сов- Ряс. 20.15 местно формулы для наибольших напря- (20.26) Следует отметить, что расчет пластины на прочность должен производиться для нескольких точек пластины, в которых изгибающие и крутящий моменты Мх, М, и Н имеют достаточно большие значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
