2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 61
Текст из файла (страница 61)
--Ь 1п--а !и -у Ь 2 Ь а Г е 1п — — Ь 1п — — а 1п -+Ь вЂ” а у 2 Ь 2 Г 2 2 е и (18.54) На рис. 18.17 показан характер распределения напряжений сг, и ое по высоте сечения. В отличие от прямого стержня напряжения ае при изгибе кривого бруса изменяются по высоте сечения нелинейно. При этом нулевая линия не проходит через центр тяжести сечения, а смещена по отношению к нему в сторону центра кривизны. Наибольшие по абсолютной величине напряжения возникают у внутренней поверхности бруса. Второй отличительной особенностью является то, что при чистом изгибе кривого бруса имеется взаимное давление между продольными слоями бруса (о „ее 0).
Подставив формулы (18.54) в геометрические уравнения (18.4) и проинтегрировав последние по переменным г и О, можно определить радиальные и и окружные и перемещения. При этом оказывается, что распределение перемещений в отличие от напряжений не является осесимметричным. Исследование перемещений показывает, что при чистом изгибе кривого бруса справедлива гипотеза плоских сечений. Заметим„что введение гипотезы плоских сечений и гипоте'зы об отсутствии взаимного давления между продольными слоями позволяет получить достаточно простое приближенное решение задачи о чистом изгибе кривого бруса.
Полученное таким образом решение в сопротивлении материалов для нормального напряжения о, весьма мало отличается от точного решения (18.54) даже при значительной кривизне бруса. , +- — + —,',= 7'"+- 7' — —, 7' яп9„ ДГ2 г ЬГ Г1 882 ( г Г2 уравнение (18.20) примет вид ++11/'"+-1' — —,1'з!п9 = 0.(18.56) Производя операции дифференцирования в этом уравнении, получим дифференциальное уравнение четвертого порядка типа Эйлера. Решение этого уравнения будем искать в следующем виде (см.
8 18.4): Г= г1 (18.57) Подстановка (18.57) в (18.56) приводит к характеристическому урав- / нению (Х2 — 1)(л — 3)(Х вЂ” 1)=0, корни которого равны Рис. 18.18 1 ~ 2 ~ "3 ! 4 Согласно изложенному в 8 18.4 общее решение уравнения (18.56) имеет вид 7(г) = С1г'+ — + С, г+ С4г 1и г. (18.
58) Г Подставляя это решение в (18.55), получим для функции напряжений 1р следующее выражение: 1р = С, г + — + С, г+ С4г 1п г яп О. з Напряжения определяются по формулам (18.21) (18.59) Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении пропорционален яп О, поэтому функцию напряжений Гр примем в виде Гр=1(г)япО. (18.55) С учетом равенства (18.60) 396 8 18.7.
Изгиб кривого бруса силой, приложенной на конце Пусть один торец бруса защемлен, а на другом торце действует сила Р в радиальном направлении (рис. 18.18). В этом слУчае все тРи напРЯжениЯ сГ„, ое и т„е отличны от нУлЯ и функцию напряжений 4р, зависящую от г и 9, нужно определять из уравнения (18.20). о„= 2С,г —, + — (з!пО; 2С1 С4 ! Г Г ( 2С1 С4 сГе= 6С,г+ —,+ — ~япО; Гз Г 2С1 С4 ! т„, = — 2 С, г — —, + — (сох О. г г / г=а, г=Ь, 8=0, гс, с, 2С,а — —,+ — =0; й й Рис. 18.19 где /с= а' — Ь~+(а'+Ь~)!п —. а (о„)„=» — — о„сов'0=Р (1+со820); (ое)„=ь —— о,яп'8=~ (1 — со820); 2 (18.62) (т.в).=ь= — —" яп20= — -яп28. 2 (18.63) о'Ь вЂ” 1+ т!в'=О.
Для определения постоянных С„С2 и С„имеем следующие граничные условия: о„=О; т„,=О; ь 1 т,ейг= Р. й Удовлетворение этим граничным условиям приводит к следующим уравнениям: Сь(Ь а )+С2 С41п Р 2 2 Ь вЂ” й Ь еье й Решая эту систему уравнений, получим р рйеье р С,= —; Се — — — ', Сй= — — (а +Ь ), 2Ь' 21 Ь Подставляя полученные значения постоянных в формулы (18.60), окончательно находим / д ь Ь ~ й е + Ь т о,— г+ яп 8 l гз р / гье е Ье'1 гге= — ~3г —— (яп0; .з г ( Р / 2Ь2 е+Ье 1 т„в= — — ( г+ — — ) сов 8. Ь( г' г 8 18.8.
Растяжение пластины с круговым отверстием (задача Кирша) Рассмотрим неограниченную пластину с небольшим круговым отверстием радиуса а (рис. 18.19, а), находящуюся под действием равномерно распределенных растягивающих сил интенсивностью р в направлении оси Ох.
Мысленно выделим из этой пластины кольцо достаточно болыпого внешнего радиуса Ь(Ь))а). Напряжения в области г ) Ь фактически будут такими же, как и в пластине без отверстия, то есть (о ).=ь=р' (о ).=ь=О' (т ).=ь=О (1861) Переходя к полярным координатам, с учетом (18.8) получим Эти напряжения будем рассматривать как внешнюю нагрузку для кольца.
Она состоит из двух частей. Первая часть соответствует равномерно распределенной нагрузке р/2 в радиальном направлении. Напряжения в произвольной точке кольца от этой нагрузки получим с помощью решения Ляме (18.47), в которое надо подставить р, = О, рг — — р~2. В результате получим Учитывая, что Ьле а, получим ,2) „2 Вторая часть «нагрузки» (18.65) (<з,),=е -— ~ сох 28; (о,)„е — — — ~ сов 20; 2 (т„)„=е — — — Р з)п 20 2 Постоянные ффСз и Се определяются из условий (18.65) для внешней границы кольца (г=Ь) и из условия, что край отверстия (г = а) свободен от внешних нагрузок. Эти условия дают 6С2 4С4 р, 2С,+ + — = — —; Ь Ьг 2' 6С, 2С. 2С<+6СзЬ Ь4 Ь2 2 не является равномерной и создает напряжения, которые можно получить с помощью функции напряжений <р = 1'(г) сох 2 О.
(18.66) Подставляя это выражение в уравнение (18.20), приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению типа Эйлера для определения г(г): ";+' "-", ",'+' "Х-', Х =О. Решение этого уравнения ищем в виде 7' = гг. Подстановка его в (18.67) приводит к характеристическому уравнению .7=С<г + —,+Сзг +Се. Подставляя это выражение в (18.66), получим (18.68) <р = С, г'+ — '+ Сзг" + С4 сох 20. По формулам (18.21) находим напряжения <з„= — 2С<+ + — соз28; сп <г 6С2 4С4 1 г4 гг ) аЬ"= 2С,+12С,г'+ —,' соз28; т„, =~ 2С,+6С,г — — — — ~яп20.
<г< 6С2 2С4 1 г ) (18.69) ).(7,— 4)() 2-4)=О, корни которого равны 7 <=2, ) г= — 2, )»з=4, 14=0. Следовательно, общее решение уравнения (18.67) имеет вид Принимая в этих равенствах Ь-+<2о, получим р й й С< = — —, Сг= — — Р Сз=О; Се= — р. 4' 4 ' ' 2 Подставляя эти значения в (18.69) и учитывая (18.63), получим окончательные выражения для напряжений в пластине с круговым отверстием: гг „4 „2 <те=с<е +ае =- 1+ — — 1+ — соз20 „ <<> <г> рГ й < Зй 22 (, 24 ) (18.70) т.е =т4е +т.е = — 1 —,+, з<п 20. <2> <г< р <' зй4 2«2 1 Г4 Г2 Слагаемые, содержащие (а,<г)г и (а,<г)4, быстро убывают с удалением от отверстия.
Поэтому возмущение однородного поля напряжений, вызванное отверстием, носит локальный характер. Это хорошо видно из эпюр ое, показанных для линий 0=0 и 0=90". В декартовой системе координат это будут эпюры напряжений соответственно <г, и с<„(рис. 18.19, а).
На краю отверстия г = а получим ое=р(1 — 2сое20); а„=т„е=О. Распределение напряжений ое по контуру отверстия показано на рис. 18.19, б. Эти напряжения достигают наибольшего значения се†— Зр при 0=90" и 0=270'. Таким образом, наличие отверстий в пластине приводит к резкому увеличению <'концентрации) напряжений на краю отверстия. Концентрация напряжений представляет большой практический интерес при оценке прочности конструкции, так как именно в местах концентрации напряжений возникают трещины, которые в конечном итоге приводят к разрушению конструкции. ГЛАВА 19 ОСНОВЫ ТКРМОУПРУГОСТИ 9 19.1. Уравнение теплопроводности Предположим, что трехмерное упругое тело нагревается или охлаждается в результате изменения температуры окружающей среды. При этом очевидно, что в общем случае в различных точках тела температура будет различной и переменной во времени. Согласно теории теплопроводностн температура Т(х, у, г, г) в какой-либо точке тела в момен~ времени 1 определяется из уравнения '~=,У Т+~ д2 с (19.1) Здесь 2 д2 д2 д2 = — + — +— дк' ду' дг (19.2) -т=аггг Т.
(19,1, а) д( Уравнения (19.1) и (19.1, а) описывают неетационарные температурные поля. В Случае стационарного (не зависящего от времени) температурного поля уравнение теплопроводности принимает вид К2Т=О. (!9,1, б) оператор Лапласа, а=1,2е †коэффицие температуропроводности, характеризующий теплоннерционные свойства тел, г.— коэффициент теплопроводности, с — удельная объемная тепло- емкость, 5' — мощность источника тепла, то есть количество тепла, которое производится в единице объема за единицу времени источником тепла, расположенном внутри элементарного объема 2212.
Если в теле отсутствуют источники тепла (Иг=О), уравнение теплопроводности (19.1) принимает вид Для нахождения однозначного решения уравнения теплопроводности в общем случае необходимо его дополнить начальным н граничными условиями. В качестве начального условия задается распределение температуры тела в начальный момент времени (1=0), Это распределение обычно принимается равномерным: Т(х, у, г, 0) = То = сопзг, (19.3) Если под Т подразумевать приращение температуры, начиная от начального значения То, то условие (19.3) можно представить в виде Т(к, у, г, 0) = О.
(19.3, а) В теории теплопроводности чаще всего используются следующие граничные условия, 1. Задается распределение температуры по поверхности тела Я: Т(хг, уг, г5, г) =) (хг, уг, гг, ~), (19.4) где ) (хг,уг, гг, () — заданная функция. 2. Задается плотность теплового потока через поверхность тела Я: дТ(хг, уг, гг, 2) 5 дЧ А (19. 5) 3. Задается температура окружающей среды Т, и закон конвектнвного теплообмена между поверхностью тела и средой: дт( 5 уг 25 2) Й(Т Т) д5 Х где Й вЂ” коэффициент теплоотдачи, который зависит от термических и физических характеристик поверхности тела и окружающей среды; Т5= Т(хв, уг, г5, г) — температура на поверхности тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
