Главная » Просмотр файлов » 2-4_vardanyan_sopromat1995

2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 62

Файл №772708 2-4_vardanyan_sopromat1995 (Учебник Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности (Г.С.Варданян, В.И.Андреев, Н.М.Атаров, А.А.Горшков)) 62 страница2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708) страница 622016-11-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

Для решения уравнений теплопроводности применяют методы разделения переменных, интегральные преобразования, численные методы и др. В качестве примера определим стационарное осесимметричное распределение температуры в длинном цилиндре, на внутренней поверхности которого задана постоянная температура Т„а на внешней поверхности — Тг. Поперечное сечение цилиндра показано на рис. 19.1. где 22 — внешняя нормаль к поверхности тела; д — количество тепла, протекающего через элемент поверхности. В частном случае, когда отсутствует тепловой поток через поверхность (для тела с теплоизолированной поверхностью) имеем дТ(к„уг, гг, г) д5 Рассмотрев данную задачу в полярной системе координат (г, 9), нетрудно заметить, что температура в произвольной точке сечения буде~ лишь функцией координаты г (полярно-симметричная задача) Поэтому, учитывая выражение оператора Лапласа Ч ' в рассматриваемом случае (9 18.4) вг Рпс.

19.1 г(г~ г г(г г и' ( Йг) получим следующую краевую задачу теплопроводности — г — = 0; (19.8) г=а, Т= Т,; гххЬ, Т= Тз. (19.9) Интегрируя уравнение (19.8) дважды по г, получим его общее решение Т= С, 1п г+Сз. (19.10) Используя граничные условия (19.9), определим постоянные С и С: Т, — Т, Т, 1и Ь вЂ” Тх!и а С,=; С,= 1и— Ь Ь 1п— а а Подставляя найденные значения постоянных в общее решение (19.10), получим решение краевой задачи (19.8), (19.9) в окончательном виде а,= — ~а„— м(ах+а,)]+и Т; у„= — тх„; 1 1 сг = — ) аг — 1 (а,+ ах)]+ и Т; У„= — т„; (19.13) е,= — (а,— (г(о„+аг)]+иТ; у,„= — тхх.

Эти равенства называются соотношениями Дюгамеля— Неймана. Выразив из этих равенств напряжения через деформации, получим а„=2)(а„+г е — (Зг.+2)()иТ; а, = 2 1(се+ Хе — (3 г. + 2 1() и Т; а, = 2)(е, + Хе — (3 Х+ 2 1() и Т; тху НУхг) т„= 1(у„; (хх )(ухх (19.14) где и — коэффиииент линейного теплового расширения. Если упругое тело нагревается (охлаждается) неравномерно, или какие-либо участки его поверхности закреплены, то элементы тела не могут свободно расширяться (сокращаться), и в нем возникают термоупругне напряжения.

Окончательная деформация каждого элемента тела складывается из тепловой деформации (19.12) и упругой деформации, связанной с напряжениями законом Гука (16.3). Следовательно, связь между термоупругими напряжениями и деформациями выражается следующими равенствами: (19.11) Т= — Т) 1и — — Тз 1п— а В заключение отметим, что задача определения температурных полей в элементах конструкций и машин составляет обширный и хорошо изученный раздел математической физики. 8 19.2. Основные уравнения термоупругостн Если элемент упругого тела, свободного от закреплений, нагреть (охладить) до температуры Т, то это приведет к всестороннему увеличению (уменьшению) его линейных размеров. При этом относительные тепловые деформации элемента в декартовой системе координат согласно гипотезе Неймана выразятся следующими формулами: а(~) г(~) е(т) = и Т.

х у х у(з) — у( ) — (з) — 0 В равенствах (19.13) и (19.14) постоянные упругости Е, 6 и 1), связанные между собой формулой (6.5), а также коэффициенты Ляме г. и 1(, связанные с Е„б и () формулами (6.13), считаются не зависящими от температуры. В общем случае изменение температуры тела происходит не только вследствие подвода тепла от внешних источников, но и в результате самого процесса деформирования.

При деформировании тела от механических или тепловых воздействий, протекающих с большой скоростью, возникает так называемый эффект связанности, который обусловлен взаимодействием полей деформаций и температуры. В связанной задаче термоупругости уравнение теплопроводности (19.1) должно быть дополнено членом, зависящим от поля деформаций. Ограничимся рассмотрением только несвязанной статической или квазистатической задачи термоупругости, в которой не учитываются эффект связанности температурного поля и поля деформаций, а также силы инерции, обусловленные нестационарным температурным полем.

(19.17) (19.18) дТ Еа дТ Х= — (Зу,+2р)а — = — —.—; дх 1 — 2у дх до„дх„у дх„, — "+ — *"+ — "* = 0; дх ду дг дТ Еа дТ У= — (Зу.+ 2р)а — = — — —; ду 1 — 2у ду (19.19) дх ду дх (19.15) У= — (32 +2р)а — =— ду 1 — 2у дх дх, дх„да, р„„=(32 + 2 р)а Т1= — 1; и граничные условия о„1+т„ут+т„,л=О; тух1+ Оут+ ту~ п = О, т,„1+ т„т+ о,п =О. р„=(37.+2р)аТт= т; 1 — 2у (19.20) (19 16) р„=(32 +2р)а Тп= л. При решении статической и квазистатической задачи термоупругости сначала с помощью соответствующего уравнения теплопроводности при заданных тепловых начальном и граничных условиях Я 19.1) определяют температурное поле Т.

После этого определяется термоупругое напряженно-деформированное состояние тела. Для упругого тела„испытывающего тепловые воздействия, остаются в силе все уравнения изотермической теории упругости кроме уравнений закона Гука, которые заменяются соотношениями Дюгамеля — Неймана (19.13) или (19.14). Следовательно, постановка задачи термоупругости отличается от постановки изотермической задачи теории упругости для того же тела только дополнительными температурными слагаемыми в равенствах (19.13) или (19,14), При решении задач термоупругости в качестве основных неизвестных удобно принимать перемещения или напряжения.

В соответствии с этим различают, как и в изотермической теории упругости, постановку задачи термоупругости в перемещениях и постановку задачи термоупругости в напряжениях. В первом случае в качестве основных неизвестных принимаются перемещения и, и, уу, а во втором — напряжения а, о„о„ т„„т„, т,„. Постановка задачи термоупругостн в перемещениях.

Пусть напряженно-деформированное состояние в трехмерном упругом теле, свободном от закреплений и внешних механических воздействий (объемные силы также не учитываются), обусловлено неравномерным его нагревом или охлаждением. Будем считать, что соответствующая задача теплопроводности решена 6 19.1), и для тела известно температурное поле Т.

Требуется найти перемещения и, и и и. Для определения трех перемещений имеем: уравнения равновесия Подставляя в (19.15) и (19.16) формулы для напряжений из (19.14), а затем выражая деформации через перемещения по соотношениям Коши (16.2), после несложных преобразований (см.

9 16.4), получим р7'и+(2.+р) — — (32.+2р)а — =О; рху и+(2.+р) — — (32.+2р)а — =0; р7хи,+(2„+р) ~ — (3)„+2р)а =О, < 2. е+ 2 р — 1+ р — + — т+ р — + — л = (3 2 + 2 р) а Т1; дх у 1ду дх у 1 д дх,( 1 да ди 1 1У ди 1 /ди ди '1 р~ — + — )1+~ ).е+2р — )т+р~ — + — ) п=(32.+2р)аТт; [ду дх) < ду) ( дх ду) /ди дп ~ 1Уди ди: 1 1 дю р ( — + — „) (+ р ~ — + — ) т + ~у. е + 2 р — ) и = (3 2 + 2 р) а Тп. ( дг дх) < дг ду) дг) В уравнениях (19.17) и (19.18) е — объемная деформация; 2., р — коэффициенты Ляме; а — коэффициент линейного теплового расширения; 1, т, п — направляющие косинусы внешней нормали т к поверхности тела.

Сравнивая постановку задачи термоупругости в перемещениях (19.17) и (19.18) с соответствующей постановкой для изотермической задачи теории упругости (16.14) и (16.15), получим Здесь ч — коэффициент Пуассона. Таким образом, для перемещений и деформаций можно установить следующую аналогию с действием внешних сил: в нагретом теле возникают такие же перемещения и деформа!!ии, как в ненагретом теле той же формы и из того же материала, если на ненагретое тело действуют эквивалентные обьемные и поверхностные силы, определяемые выражениями (19.19) и (19.2О) Если напряжения в нагретом теле (19.14) обозначить с индексом Т наверху, а в ненагретом теле (16.

3, а) — с индексом р, то нетрудно установить связь между ними: о !т! = а!У! — Т т1тг =т!У х х ! 2 ху ху (19.21) а!у!=а!У' — Т; т!11=.т'У'; 1 — 2ч а!г! аов " Т. т!Т1=т!У! х ! 2 хх Постановка задачи термоупругостя в напряжениях. Рассмотрим упругое тело, свободное от закреплений и механических воздействий. Допустим, что напряженно-деформированное состояние тела обусловлено неравномерным температурным полем Т.

Требуется найти напряжения ах, а„а„т„,, т„, т,„. Для определения шести напряжений к трем уравйениям равновесия (19.15) и граничным условиям (19.16) нужно присоединить шесть уравнений сплошности (16.4) и (16.5). Переходя в уравнениях сплошности (16.4) и (16.5) от деформаций к напряжениям с помощью (19.13), после некоторых преобразований получим дгу ' 1-1-ч дг Т г (1+ч)Чгах+ — ',+ЕВ~ Ч1Т+ —,)=О; дх' (1 — ч дх') дг ' 1 д'Т! ду' ! — у ду') д'Т~ (19.22) (1+ ч) Ч' т + + Есс = О; дхду дхду дгу дгТ (1+ч)Чгт„+ — -+Еа =О; ду дг ду дг (1+ ч) Чгтхх+ + Еа — — = О. дгдх д:дх Здесь в — сумма нормальных напряжений.

8 19.3. Плоская задача термоупругости В длинных цилиндрических телах с продольной осью Ог (рис. 19.2) при действии температурного поля Т(х, у, 1) возникает плоское деформированное состояние, для которого характерны перемещения и=и(х,у, 1); о=о(х,у, 1); (19.23) и'=О, При этих перемещениях из соотношений Коши (16.2) Рис. 19.2 следует ди ди ди ди дх У ду' "" ду дх с,=у„=у, =О. (19.24) (19.25) Используя условия (19.25), из равенств (19.13) получим а,=ч(ох+а ) — ЕпТ; с,=т,х=О. (19.26) С учетом равенств (19.26) соотношения между напряжениями и деформациями (19.13) принимают вид —.'г' ч 1 сххх ( ах — — ау)+(1+ч)аТ= — (а„— чгау)+ссгТ; Е (1 1 — ч У) ! су= — ~а,— а„)+(1+ч) ссТ= — (а,— ч,а,)+!хгХ (19.27) 1 — ч ) 1 2(1+ч) ' 2(1+у,) Уху= ху= .

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее