2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Для решения уравнений теплопроводности применяют методы разделения переменных, интегральные преобразования, численные методы и др. В качестве примера определим стационарное осесимметричное распределение температуры в длинном цилиндре, на внутренней поверхности которого задана постоянная температура Т„а на внешней поверхности — Тг. Поперечное сечение цилиндра показано на рис. 19.1. где 22 — внешняя нормаль к поверхности тела; д — количество тепла, протекающего через элемент поверхности. В частном случае, когда отсутствует тепловой поток через поверхность (для тела с теплоизолированной поверхностью) имеем дТ(к„уг, гг, г) д5 Рассмотрев данную задачу в полярной системе координат (г, 9), нетрудно заметить, что температура в произвольной точке сечения буде~ лишь функцией координаты г (полярно-симметричная задача) Поэтому, учитывая выражение оператора Лапласа Ч ' в рассматриваемом случае (9 18.4) вг Рпс.
19.1 г(г~ г г(г г и' ( Йг) получим следующую краевую задачу теплопроводности — г — = 0; (19.8) г=а, Т= Т,; гххЬ, Т= Тз. (19.9) Интегрируя уравнение (19.8) дважды по г, получим его общее решение Т= С, 1п г+Сз. (19.10) Используя граничные условия (19.9), определим постоянные С и С: Т, — Т, Т, 1и Ь вЂ” Тх!и а С,=; С,= 1и— Ь Ь 1п— а а Подставляя найденные значения постоянных в общее решение (19.10), получим решение краевой задачи (19.8), (19.9) в окончательном виде а,= — ~а„— м(ах+а,)]+и Т; у„= — тх„; 1 1 сг = — ) аг — 1 (а,+ ах)]+ и Т; У„= — т„; (19.13) е,= — (а,— (г(о„+аг)]+иТ; у,„= — тхх.
Эти равенства называются соотношениями Дюгамеля— Неймана. Выразив из этих равенств напряжения через деформации, получим а„=2)(а„+г е — (Зг.+2)()иТ; а, = 2 1(се+ Хе — (3 г. + 2 1() и Т; а, = 2)(е, + Хе — (3 Х+ 2 1() и Т; тху НУхг) т„= 1(у„; (хх )(ухх (19.14) где и — коэффиииент линейного теплового расширения. Если упругое тело нагревается (охлаждается) неравномерно, или какие-либо участки его поверхности закреплены, то элементы тела не могут свободно расширяться (сокращаться), и в нем возникают термоупругне напряжения.
Окончательная деформация каждого элемента тела складывается из тепловой деформации (19.12) и упругой деформации, связанной с напряжениями законом Гука (16.3). Следовательно, связь между термоупругими напряжениями и деформациями выражается следующими равенствами: (19.11) Т= — Т) 1и — — Тз 1п— а В заключение отметим, что задача определения температурных полей в элементах конструкций и машин составляет обширный и хорошо изученный раздел математической физики. 8 19.2. Основные уравнения термоупругостн Если элемент упругого тела, свободного от закреплений, нагреть (охладить) до температуры Т, то это приведет к всестороннему увеличению (уменьшению) его линейных размеров. При этом относительные тепловые деформации элемента в декартовой системе координат согласно гипотезе Неймана выразятся следующими формулами: а(~) г(~) е(т) = и Т.
х у х у(з) — у( ) — (з) — 0 В равенствах (19.13) и (19.14) постоянные упругости Е, 6 и 1), связанные между собой формулой (6.5), а также коэффициенты Ляме г. и 1(, связанные с Е„б и () формулами (6.13), считаются не зависящими от температуры. В общем случае изменение температуры тела происходит не только вследствие подвода тепла от внешних источников, но и в результате самого процесса деформирования.
При деформировании тела от механических или тепловых воздействий, протекающих с большой скоростью, возникает так называемый эффект связанности, который обусловлен взаимодействием полей деформаций и температуры. В связанной задаче термоупругости уравнение теплопроводности (19.1) должно быть дополнено членом, зависящим от поля деформаций. Ограничимся рассмотрением только несвязанной статической или квазистатической задачи термоупругости, в которой не учитываются эффект связанности температурного поля и поля деформаций, а также силы инерции, обусловленные нестационарным температурным полем.
(19.17) (19.18) дТ Еа дТ Х= — (Зу,+2р)а — = — —.—; дх 1 — 2у дх до„дх„у дх„, — "+ — *"+ — "* = 0; дх ду дг дТ Еа дТ У= — (Зу.+ 2р)а — = — — —; ду 1 — 2у ду (19.19) дх ду дх (19.15) У= — (32 +2р)а — =— ду 1 — 2у дх дх, дх„да, р„„=(32 + 2 р)а Т1= — 1; и граничные условия о„1+т„ут+т„,л=О; тух1+ Оут+ ту~ п = О, т,„1+ т„т+ о,п =О. р„=(37.+2р)аТт= т; 1 — 2у (19.20) (19 16) р„=(32 +2р)а Тп= л. При решении статической и квазистатической задачи термоупругости сначала с помощью соответствующего уравнения теплопроводности при заданных тепловых начальном и граничных условиях Я 19.1) определяют температурное поле Т.
После этого определяется термоупругое напряженно-деформированное состояние тела. Для упругого тела„испытывающего тепловые воздействия, остаются в силе все уравнения изотермической теории упругости кроме уравнений закона Гука, которые заменяются соотношениями Дюгамеля — Неймана (19.13) или (19.14). Следовательно, постановка задачи термоупругости отличается от постановки изотермической задачи теории упругости для того же тела только дополнительными температурными слагаемыми в равенствах (19.13) или (19,14), При решении задач термоупругости в качестве основных неизвестных удобно принимать перемещения или напряжения.
В соответствии с этим различают, как и в изотермической теории упругости, постановку задачи термоупругости в перемещениях и постановку задачи термоупругости в напряжениях. В первом случае в качестве основных неизвестных принимаются перемещения и, и, уу, а во втором — напряжения а, о„о„ т„„т„, т,„. Постановка задачи термоупругостн в перемещениях.
Пусть напряженно-деформированное состояние в трехмерном упругом теле, свободном от закреплений и внешних механических воздействий (объемные силы также не учитываются), обусловлено неравномерным его нагревом или охлаждением. Будем считать, что соответствующая задача теплопроводности решена 6 19.1), и для тела известно температурное поле Т.
Требуется найти перемещения и, и и и. Для определения трех перемещений имеем: уравнения равновесия Подставляя в (19.15) и (19.16) формулы для напряжений из (19.14), а затем выражая деформации через перемещения по соотношениям Коши (16.2), после несложных преобразований (см.
9 16.4), получим р7'и+(2.+р) — — (32.+2р)а — =О; рху и+(2.+р) — — (32.+2р)а — =0; р7хи,+(2„+р) ~ — (3)„+2р)а =О, < 2. е+ 2 р — 1+ р — + — т+ р — + — л = (3 2 + 2 р) а Т1; дх у 1ду дх у 1 д дх,( 1 да ди 1 1У ди 1 /ди ди '1 р~ — + — )1+~ ).е+2р — )т+р~ — + — ) п=(32.+2р)аТт; [ду дх) < ду) ( дх ду) /ди дп ~ 1Уди ди: 1 1 дю р ( — + — „) (+ р ~ — + — ) т + ~у. е + 2 р — ) и = (3 2 + 2 р) а Тп. ( дг дх) < дг ду) дг) В уравнениях (19.17) и (19.18) е — объемная деформация; 2., р — коэффициенты Ляме; а — коэффициент линейного теплового расширения; 1, т, п — направляющие косинусы внешней нормали т к поверхности тела.
Сравнивая постановку задачи термоупругости в перемещениях (19.17) и (19.18) с соответствующей постановкой для изотермической задачи теории упругости (16.14) и (16.15), получим Здесь ч — коэффициент Пуассона. Таким образом, для перемещений и деформаций можно установить следующую аналогию с действием внешних сил: в нагретом теле возникают такие же перемещения и деформа!!ии, как в ненагретом теле той же формы и из того же материала, если на ненагретое тело действуют эквивалентные обьемные и поверхностные силы, определяемые выражениями (19.19) и (19.2О) Если напряжения в нагретом теле (19.14) обозначить с индексом Т наверху, а в ненагретом теле (16.
3, а) — с индексом р, то нетрудно установить связь между ними: о !т! = а!У! — Т т1тг =т!У х х ! 2 ху ху (19.21) а!у!=а!У' — Т; т!11=.т'У'; 1 — 2ч а!г! аов " Т. т!Т1=т!У! х ! 2 хх Постановка задачи термоупругостя в напряжениях. Рассмотрим упругое тело, свободное от закреплений и механических воздействий. Допустим, что напряженно-деформированное состояние тела обусловлено неравномерным температурным полем Т.
Требуется найти напряжения ах, а„а„т„,, т„, т,„. Для определения шести напряжений к трем уравйениям равновесия (19.15) и граничным условиям (19.16) нужно присоединить шесть уравнений сплошности (16.4) и (16.5). Переходя в уравнениях сплошности (16.4) и (16.5) от деформаций к напряжениям с помощью (19.13), после некоторых преобразований получим дгу ' 1-1-ч дг Т г (1+ч)Чгах+ — ',+ЕВ~ Ч1Т+ —,)=О; дх' (1 — ч дх') дг ' 1 д'Т! ду' ! — у ду') д'Т~ (19.22) (1+ ч) Ч' т + + Есс = О; дхду дхду дгу дгТ (1+ч)Чгт„+ — -+Еа =О; ду дг ду дг (1+ ч) Чгтхх+ + Еа — — = О. дгдх д:дх Здесь в — сумма нормальных напряжений.
8 19.3. Плоская задача термоупругости В длинных цилиндрических телах с продольной осью Ог (рис. 19.2) при действии температурного поля Т(х, у, 1) возникает плоское деформированное состояние, для которого характерны перемещения и=и(х,у, 1); о=о(х,у, 1); (19.23) и'=О, При этих перемещениях из соотношений Коши (16.2) Рис. 19.2 следует ди ди ди ди дх У ду' "" ду дх с,=у„=у, =О. (19.24) (19.25) Используя условия (19.25), из равенств (19.13) получим а,=ч(ох+а ) — ЕпТ; с,=т,х=О. (19.26) С учетом равенств (19.26) соотношения между напряжениями и деформациями (19.13) принимают вид —.'г' ч 1 сххх ( ах — — ау)+(1+ч)аТ= — (а„— чгау)+ссгТ; Е (1 1 — ч У) ! су= — ~а,— а„)+(1+ч) ссТ= — (а,— ч,а,)+!хгХ (19.27) 1 — ч ) 1 2(1+ч) ' 2(1+у,) Уху= ху= .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
