2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Рассмотрим некоторые задачи расчета прямоугольных пластин и методы их решения. й 20.7. Цилиндрический изгиб пластин Цилиндрическим изгибом можно назвать такой случай изгиба пластины, при котором ее срединная плоскость искривляется по цилиндрической поверхности. При этом одна нз кривизн изогнутой срединной поверхности пластины равна нулю. 431 Рис. 20дб Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению изгиба балки, в котором изгибная жесткость Е3 заменяется цилиндрической жесткостью )9. В силу этого цилиндрический изгиб пластины можно рассматривать как изгиб множества балок-полос прямоугольного сечения единичной ширины, мысленно вырезанных из пластины в поперечном направлении (рис.
20.16,а,б). Расчет таких балок— полос производится обычными методами сопротивления материалов (построение эпюр внутренних усилий, определение напряжений и т. п.). Однако, цилиндрический изгиб пластины имеет отличие от изгиба балки. Оно заключается в том, что при изгибе балки ее поперечные деформации ничем не стеснены и могут происходить свободно. Это приводит к искажению Рис. 20.17 формы контура поперечного сечения балки, что 432 ц Цилиндрический иза) гиб имеет место, напри- 6 0 МЕР, В ДОСтатОЧНо ДлИн, х ной прямоугольной пла- стине при действии попе— ~-~4 речной нагрузки, не из- меняющейся вдоль длин- р =сопбг ной стороны. В качестве ъ)(х ) примера такой задачи на рис.
20.16,а приведена а) консольная пластина, жестко защемленная по р 1=Р 1 краю вдоль длинной сто- роны х=О и нагруженная ЦЯ ~ равномерно распределенной нагрузкой р вдоль свободного края х=п, При Ь>2а изогнутую срединную поверхность большей части пластины за исключением областей вблизи торцов можно считать цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной длинной стороне. Следовательно, прогиб пластины является функцией только одной переменной: 1у= 1у(х, у). Во всех полученных выше уравнениях и формулах, описывающих изгиб пластины, необходимо положить равными нулю производные от и~ по переменной у, что существенно упрощает решение задачи. Например, дифференциальное уравнение изгиба пластины (20.12) примет следующий вид; .0 —,=д(х). (20.27) для случая чистого изгиба показано ис=М =~М„ пунктиром на рис. 20.17 (в зоне ис= 8=У действия растягивающих напряжений ширина сечения уменьшается, Х а в зоне действия сжимающих на- $ пряжений — увеличивается).
Отметим, что задача определения перемещений точек поперечного сечения и искажения формы контура прямоугольного сечения балки при чистом изгибе относится к простейшим задачам теории упругости. При цилиндрическом изгибе пластины поперечные деформации выделенной балки-полосы невозможны за счет стеснения со стороны соседних балоК-полос. Следовательно, поперечную деформацию а, надо положить равной нулю (г.,=О), При этом нормальные напряжения в пластине будут определяться по формулам а,=,(а.+ус,) =— = Мй-УМ Рис. 20.18 (20.28) Е иЕс Ыи а = — (а +ус„)= — — -=уа„.
с ( у Этим напряжениям соответствуют изгибающие моменты Уси ~~в Мх ~ с Ми ВУ с Умх Нхс (20.29) Наличие в пластине изгибающего момента М, (в продольном направлении) весьма характерно. Отсюда следует, что цилиндрический изгиб пластины будет иметь место, строго говоря, в том случае, когда к боковым поперечным краям пластины приложены распределенные моменты т=М,=уМ„, (рис. 20.18). При отсутствии этих моментов форма изогнутой срединной поверхности пластины около коротких сторон будет отличаться от цилиндрической. 8 20.8.
Частый изгиб прямоугольных пластин 433 Чистым изгибом принято называть такой случай изгиба пластины, при котором поперечные силы отсутствуют. Чистый изгиб имеет место, например, в прямоугольной свободной от закреплений пластине при действии по ее краям равномерно распределенных изгибающих моментов т„= т „ т,=т, (рис. 20.19,а). Примем начало координат в середине пластины. Рассматривая действие моментов т, и тд раздельно и используя метод суперпозиции, получим следующие значения внутренних усилий Рис.
20.20 Рис. 20.19 д и тг — сгиг г дуг 1г(! — Уг) дггс ги г — ст, дхг гг(! — сг) Интегрируя эти уравнения при условии, что —.=О, дхау гиг — сгиг г гиг — нгиг г 2П(! Сг) 2П(! ггг) (20.30) и (х,у)= —— ,„( лг >уг) 2гэ (! + с) (20.31) Рис. 20.21 435 в пластине; М„=т,=сопя!, М,=т,=сопя!, Н=О, Д„=О, О =О, Использовав выражения для йзгибающих моментов из (20.14), находим получим следующее выражение для прогиба пластины: и (х У)= — г х, У +Сгх+Сгу+Сз 2П(! — сг) 2П(! — сг) Исключая жесткое смещение пластины, положим С, = О. Постоянные интегрирования С, и С2 определяются из граничных условий в середине пластины, характеризующих симметрию ее изогнутой срединной поверхности относительно плоскостей Охх и Оух: ди ,ди х=О, У=О, ср„= — =0; ср,= — =О.
дх ' ду Из этих условий находим С,=О, С,=О. Таким образом, изогнутая срединная поверхность пластины определяется следующим уравнением: Уравнение (2030) описывает поверхность второго порядк~ (параболоид). Характер изгиба пластины показан на рис. 20.19, б. Наибольшие значения прогибы имеют в углах пластины при х=+а/2, у=+Ь/2.
В частном случае при т, = т, = т изогнутая срединная поверхность пластины представляет собой параболоид вра щения .При т, =т, тг = — т (рис. 20.20, а) изогнутая срединная поверхность является гиперболическим параболоидом, описываемым уравнением щ(.г и (х,у)=— (20.32) Характер изогнутой срединной поверхности для квадратной пластины (а=/г) показан на рис. 20.20„б. Наибольшие значения прогибы имеют в серединах сторон пластины при У=О, х=+а/2 и х=О, у=+/у/2. Представляет интерес случай„когда один из моментов равен нулю, например, т,=т, т1 — — О.
Изогнутая срединная поверхность пластины в этом случае также представляет собой гиперболический параболоид, описываемый уравнением ги(хг — суг) 2гг(! — сг) Для того, чтобы осуществился цилиндрический изгиб пластины в направлении оси Ох, необходимо к ее краям у = +/у/2 приложить изгибающие моменты тя=ит (рис. 20.21,а). При этом прогиб пластины будет определяться следующим выражением: в(х) =— (20.34) Характер изгиба пластины для этого случая показан на рис. 20.21,б.
Изогнутая срединная поверхность пластины представляет собой цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Оу. гг) Е) й 20.9. Расчет прямоугольных пластин с помощью двойных тригонометрических рядов Рассмотрим прямоугольную шарнирно опертую по всем четырем сторонам пластину, нагруженную произвольной поперечной нагрузкой !7(х,у) (рис. 20.22). Функция прогиба х пластины должна удовлетворягь '1(оса) дифференциальному уравнению вг(х,о) (20.12) и граничным условиям на 2 краях.
( ,у) Поскольку получить точное аналитическое решение дифференциального уравнения (20.12) а в общем случае невозможно, буРис. 20.22 дем искать его в виде бесконеч- ного ряда. Для пластины с шарнирно опертыми по всем четырем сторонам краями удобно использовать разложение искомой функции прогиба и (х, у) в двойной тригонометрический ряд по синусам: и (х,у)= ~ ~~~, А „яп яп (20.35) т=!л=! где А „— коэффициенты ряда, являющиеся постоянными величинами; т и л — целые положительные числа, соответствующие номеру членов ряда и характеризующие число полуволн синусоиды в разложении (20.35).
Нетрудно показать, что задание прогиба в виде (20.35) позволяет удовлетворить всем граничным условиям на краях пластины, которые имеют следующий вид 6 20.5): д д2!с х=О, х=а, и =0; —,=0; дх! (20. 36) д'!с у=О, у=/!, и =0; —,=О. ду' Для определения неизвестных коэффициентов А „ряда (20.35) разложим функцию поперечной распределенной нагрузки !7(х,у) также в двойной тригонометрический ряд по синусам г/(х,у)= ~~ 2 д „яп — яп —. (20,37) т=!л=! Коэффициенты этого ряда могут быть определены по известной формуле теории рядов Фурье Подставляя выражения (20.35) и (20.37) в уравнение (20.12) и приравнивая между собой коэффициенты при одинаковых произведениях синусов в левой и правой частях уравнения, получим Π—" +2 —" "ь" + 6— ," А-=9- Отсюда находим (20,39) Юх~ — + Таким образом, выражение для прогиба пластины с четырьмя шарнирно опертыми краями имеет следующий вид: (20.40) ах .
ху 9(х, у) =!7о 31п — 31п —, а (20.41) Сходимость этого ряда зависит от характера внешней нагрузки д(х, у). Использовав выражение для прогиба (20.40), можно с помощью полученных выше формул определить внутренние усилия и напряжения в пластине. Выражения для них также будут иметь вид бесконечных тригонометрических ря- а дов по синусам или косинусам, 6 о сходимость которых всегда хуже, Х чем сходимость ряда для проги- х,у) бов, так как при дифференцировании сходимость рядов Фурье в' ухудшается.
Рассмотрим некоторые частные случаи нагружения пластины. Действие нагрузки, распределенной по полуволие синусоиды. Рас- Рнс. 20.23 смотрим действие нагрузки, распределенной вдоль координатных линий по одной полуволне синусоиды (рис. 20.23): (20.3О) 436 437 а Ь 4 Г Г . !ихх . иху 9 „= — 1 р(х,у)яп — яп — Ыхау, аь ~ а о о где до =!7г! — значение интенсивности нагРУзки в центРе пластины при х=а/2, у=/!/2.
Такое задание нагрузки соответствует первому члену разложения (20.37). Очевидно, что действию такой нагрузки соответствует лх . лу и (х, у)=ваял — яп —, а Ь (20.42) ла (20.45) Чо я'о = 2 2 (20.43) 29о(1 Т= ~~Ь 120.46) во 11 — о) лх лу Н = — — — --, сов — соз--; л~аЬ (20.44) Чо лх .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
