2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Метод Бубнова †Галерки основан на свойстве ортогональности функций. Система функций »рь(х), 1р,(х), ..., 1р„(х), ... образует на отрезке [а, о ) ортогональную систему, если при 1с~1 выполняется условие ь ) 1р„(х) <р,(х) Их=О. (20.69) Р Нетрудно показать, например, что система функции 1, 51пх, созх, ..., 51п1сх, со51сх, . ортогональна на отрезке [ — я, я), поскольку каждая пара этих функций удовлетворяет условию (20.69). Указанное свойство можно распространить на функции нескольких переменных. Если одна из функций системы равна нулю, то ее можно считать ортогональной ко всем без исключения функциям, поскольку в этом случае условие (20.69) выполняется тождественно.
В качестве такой функции в теории изгиба пластин можно принять функцию ф(х, у)» РЧ Чх»е — а, (20.70) которая должна быть равна нулю согласно (20.10). Следовательно, функция Ч(х, у) должна быть ортогональна к любым функциям, заданным в некоторой области. Если прогиб пластины задан приближенно в виде (20.67), то уравнение изгиба пластины не удовлетворяется и Ч(х, у) ~0. Однако, можно потребовать, чтобы эта функция была ортогональна к аппРоксимиРУющим фУнкциЯм 1Рц(х, У) в выРажении (20.67).
В результате получим следующее равенство: Ц»р (х, у) <рц (х, у ) 1хс(у = Г~~)(Р Ч 2Ч 2 ы — с1) р„,дну = О, (20 71) где интегрирование должно выполняться по всей площади о срединной плоскости пластины. Подставив в (20.71) выражение (20.67) и выполнив интегрирование, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно ац. Можно показать, что уравнение (20.71) выражает в интегральной форме условие равенства нулю работы всех внешних и внутренних сил в пластине на возможных перемещениях <рц(х, у). В этом смысле метод Бубнова — Галеркина, как и метод Ритца, исходит из принципа возможных перемещений Лагранжа. Применим метод Бубнова — Галеркина к расчету прямоугольной пластины, жестко защемленной по контуру и нагруженной по всей поверхности равномерно распределенной нагрузкой. 450 45! 15» Примем начало координат в .центре пластины (рис.
20.32): Искомая функция прогиба должна удовлетворять следующим кинематическим граничным условиям: а дп х=+-, и =0; ср„= — „=0; дх Ь дп у=+-, и =0; 4р = — =О. 2 ' " ду Кроме того, изогнутая срединная по- 32Г(л'з) верхность пластины должна быть симметричной по отношению к вертикальным плоскостям, проходящим через оси Ох и Оу. Данным граничным условиям и условию симметрии удовлетворяет функция прогиба в виде следующего выражения: / 214лх !! 21пу ! 24(х, у)= 2' 2, ап1~ 1+сов — )~ 1+сов — ), (20.72) 2=12=1 а )1 ь )' где индексы lс и 1 должны быть нечетными числами. Для определения коэффициентов аи надо использовать равенство (20.71), в котором следует принять 2/слх !! 21пу'! 2р„2 = 1+ сов — ) ! 1+ Сов — ).
а )1 ь )' Ограничимся первым членом выражения (20.72) 2лх 1( 2лу ! и!2 =а224р22 =агг 1+сов ) ~!+сов а )1 ь ) и подставим его в выражение (20.70). В результате получим (! !2 2. 2 2 212(х, у)=16Рп а„— сов + — + — ) сов — х 4 ! 2 ! 2 а 2пу ! 2лу ) х сов + — сов — )1-д. Ь Ьа Ь) Подставив функции 2!2(х, у) и 2ргг в равенство (20.71) «1г 21г и выполнив интегрирование, получим алгебраическое уравнение относительно коэффициента а„ (3 з 2 ! 4 4к а22 ~ — + — + — — — =О, 24 ! 4 2Ь2) !Э решив которое, находим ваа ! а„= —,.
4!Эл «4 24! ' Ьа 1,2) Таким образом, функция прогиба пластины, соответствующая первому члену выражения (20.72), имеет следующий вид: ! -1-со2 — ! -1-со2— И22 2 3+3 — +2— Максимальное значение прогиб имеет в центре пластины. Для квадратной пластины (а=12) он равен ва е«2 ВРл4 ' Эта величина незначительно отличается от точного значения. й 20.12. Основные соотношения прн изгибе круглых пластин Задачи изгиба круглых пластин удобно рассматривать в полярной системе координат, которую по-прежнему отнесем к срединной плоскости пластины. Начало отсчета координат (полюс) примем в центре срединной плоскости (рис. 20.33). В общем случае изгиба круглой пластины поперечная нагрузка и все величины, характеризующие напряженное и деформированное состояния пластины, являются функциями двух ( в) переменных г и О.
Для оператора Лапласа в полярной системе координат в В,18.1 была выведена формула 211(х, у) 1+сов — 1+сов — ~ с(х42у= О В соответствии с этой формулой дифференциальное уравнение (20.10) Р . 2В.ЗЗ -а12 -212 453 452 или в развернутом виде (20.76) П; 18 ди срг =— дг (20.77) Рис. 20.36 (20.78) Ряс. 20.35 455 изгиба круглых пластин в полярной системе координат имее.г следующий вид: ч'17' (.,9)='(г 0), (20.74) В круглых пластинах при изгибе действуют пять напряжений (рис.
20.34): два нормальных — радиальное сг, и окружное сзе и три касательных т,е = те„т„, т,е Напряжение сг, в соответствии с третьей гипотезой теории изгиба тонких пластин не учитывается. Напряжения сг„сге и т„, изменяются по толщине пластины по ! линейному закону и имеют наиболь- шие значения в точках вблизи внеш- 4 ' Г у 'гв е них поверхностей пластины при г = + Ь/2. Касательные напряжения 0 т,„и т,е изменяются по толщине по Ъву закону квадратной параболы и имеют наибольшие значения в точках срединРис. 20З4 ной поверхности.
Равнодействующими рассмотренных напряжений являются пять внутренних усилий, действующих в пластине в общем случае ее изгиба. Этими внутренними усилиями являются два изгибающих моменга— радиальный М, и окружной Ме, крутящий момент Н=М,в =Ме. и две поперечные силы — радиальная Д, и окружная Дв. Характер действия внутренних усилий по граням бесконечно малого элемента пластины показан на рис.
20.35. Выразим внутренние усилия в круглой пластине через ее прогиб. Как уже было отмечено в О 18.1, искомые величины (напряжения, внутренние усилия и т. п.) в полярной системе координат при 9=0 совпадают с соответствующими величинами в декартовой системе.
В силу этого выражения для М„, Мв~ Н, Д, и Дв можно получить с помощью выражений (20,14) для М„, М„Н, Д„и Д„если учесть равенства (18.14) — (18.16), заменив в них <р на й и положив 9=0. В результате получим — — + и' — —,+ !'! ди ! дси д~и'! Мв= — 13~ —. — + — — +~,); ( г дг ге дОв дг')' Н= — ~('- )(- /г! деи 1 д ! (г дгдО ге 00) д/дви 1 ди 1 деи! О,=-О. ~', + .
+,,)! дг( дг' г дг г' дО') ! дождю ! ди ! д~ю! 0в= 0-' ( + ' — + ' —,/. г д91 дге г дг гв дО ) Граничные условия для круглых сплошных пластин ставятся на закрепленном контуре при у=Я относительно прогиба и, угла наклона касательной к изогнутой срединной поверхности пластины и радиального изгибающего момента М„. Для постановки граничных условий на свободном от закреплений контуре вводится приведенная радиальная поперечная сила по формуле !г„= ~„+ — ' — = — 2г ! — У~!у+ (1 — ~~)— ! дН Гд д' Й ди'! ! г дО ~дг г дгд91,г дО) ~ Для кольцевых пластин граничные условия ставятся на внутреннем и внешнем контурах, соответственно прн г=Я, и г=Яс (рис.
20.36). Примеры постановки граничных условий рассмотрены ниже при решении конкретных задач. 8 20.13. Некоторые задачи изгиба круглых пластин Осесимметричиый изгиб. Задача изгиба круглой пластины называется осесимметричной, если нагрузка на пластину н условия закрепления ее краев (контуров) не зависят от полярного угла 9. При этом изогнутая срединная поверхность пластины будет представлять собой поверхность вращения осью которой является ось Ог. Следовательно, прогиб пласти ны также не зависит от полярного угла О и является функциеи только переменной г, то есть в = ю(г). Этот вывод распространя.
ется на все напряжения и внутренние усилия в пластине, При осесимметричном изгибе задача расчета круглой пластины существенно упрощается, поскольку во всех уравнениях и форму лах, описывающих изгиб пластины, производные по угловои координате О обращаются в нуль. Например, дифференциальное уравнение изгиба пластины (20.75) принимает следующий вид; н+ ' ~ + ' = —, (20.79) или в развернутом виде ~зн, 1 нг, ~ ~н, й(г) (20.80) Дгн г Дг' г' ~г' н Фг 22 Уравнение (20.80) является дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами типа Эйлера. Соответствующее (20.80) однородное уравнение аналогично по структуре дифференциальному уравнению (18.36), для которого получено общее решение в виде (18.41). По аналогии с решением (18.41) запишем и о(г) = С1+ Сг 1и г+ Сзгг+ Саго 1п г.
(20.81) Общее решение неоднородного уравнения (20.80) имеет вид я(г) = С, + Сз 1п г+ С,г'+ С4гг 1п г+ ы'(г), (20.82) где я*(г) — частное решение уравнения (20.80). Для нахождения частного решения можно, например, представить уравнение (20.80) в следующем виде: — — — — г— После четырехкратного интегрирования получим г г и г и*(г)= — — г — д(г) гйг юг й й.
(20.83) о о о о Для случая, когда пластина находится под действием равномерно распределенной нагрузки д = сопзг, после интегрирования получим (й ..) /1 ~н,,~ н н,'1 Мо= —,0~ — — +ч —,(; (,г Иг Ыт,) 41г4' 1 И '1 О,= — )9 ~ —,+- — ). Ыг(,Иг г Ыг) (20.85) Как видно из соотношений (20.76), крутящий момент и окружная поперечная сила при осесимметричном изгибе равны нулю: Н=О; До=О. Отметим, что радиальная г н поперечная сила 0, может быть опредео лена статически из уравнения равновесия пластины 2..г,=О. Действительно, в силу ~'Ч~~ осевой симметрии равнодействующая Ро осесимметричной нагрузки на пласти- Он х ну должна уравновешиваться равномерно распределенными по окружности радиуса г поперечными силами (рис. 20.37).
Составив уравнение статики ьг. =О, получим Ро — Ц,.2яг=О, откуда Ро О,=— 2кг (20.86) Если пластина нагружена равномерно распределенной нагРУзкой д=сопз1, то Ро=г1кг и попеРечнаЯ сила Равна чг 0 = —. н (20.87) При действии произвольной осесимметричной распределенной нагрузки ц(г) ее равнодействующая Ро определяется как интеграл по площади нагружения. Выразив наибольшие напряжения через внутренние усилия, как это было сделано в 520.6, получим следующие формулы: При осесимметричном изгибе в круглой пластине могут действовать только три напряжения о„, ао и т,„и три внутренних усилия М„М, и Д„, выражения для которых упрощаются и принимают следующий вид: г=+-, Ь 2 но 6"~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
