2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 68
Текст из файла (страница 68)
58) а и*(у) — какое-либо частное решение уравнения (20.56). Уравнение типа (20.58) было рассмотрено в 8 !7.8 при решении плоской задачи теории упругости. Общее решение этого уравнения имеет следующий вид: и' (у) = С, сЬ Л„у+ Сг~ з)1Л~У+ Сз~ус" Л~У+ Са~уз)гЛту. (20. 59) Для определения и *(у) надо использовать известные методы отыскания частных решений неоднородного дифференциального уравнения (например, метод Коши, метод вариации произвольных постоянных и др.). Подставляя решение (20.57) с учетом (20.59) в разложение (20.53), получим '(х у)= ~~' ~С, с)гЛ у+С з)гЛ у+С ус)1Л 55 = 1 + С455У з)3Лту+ и~55 (У)3 згп Л,„х, (20.60) где С,, С,, С, и С4„— постоянные интегрирования, подлежащие определению из граничных условий на краях У=О и у=-д. С помощью (20.60) можно получить выражения для внутренних усилий в пластине.
Рассмотрим более подробно расчет прямоугольной пластины с противоположными шарнирно опертыми и жестко защемленными краями, находящейся под действием равномерн~ распределенной нагрузки (рис. 20.29). Направления координатных осей по- казаны на рисунке. Подставив значение д=сопз1 в формулу (20.55) и выполнив интег- рирование, получим 2д ( . тих 49 д = — яп Ых= —, а ~ а а5е ' о где т=1, 3, 5, При этом частное решение неод- нородного уравнения (20.56) можно представить в виде и*= 44 т55Р Х~ В силу симметрии изогнутой срединной поверхности пластины относительно вертикальной плоскости, проходящей через ось Ох, в выражении (20.60) надо удержать только четные функции переменной у и отбросить нечетные функции, положив постоянные С, и Сг„равными нулю.
Таким образом, прогиб пластины определяется выражением и (х, у)= ) С„„с)г Л у+Са,„узЬЛ у+ з1пЛ,„х. 4д а555р 3„4 Постоянные интегрирования С,„и Са„подлежат определению из граничных условий на защемленных краях пластины ди у=+ — и =0' 5р = — =О. 2 ду Использовав эти условия, получим систему двух алгебраических уравнений относительно постоянных с одинаковым индексом т: Л,„С1 „зЬ (3,„+ С4, зЬ р,„+ — с!г (3,„= О, где (3 =-Л = 2 2а Решив эту систему и определив постоянные С1 и С4, получим следующее выражение для прогиба пластины: 49а5 5 Г х у535Х у53513,„— (53513 +33 с!5|3„)с!535„у 51пх„х р 5 !3 +5Ь8 сЬР т (20.61) где т=1, 3, 5, тл тл тл 5Ь вЂ” -+ — сЬ— 2 2 2 тл 51П— 2 4аа Рл' т=1 тл тл тл т' — +5Ь вЂ” СЬ— 2 2 2 Взяв только один член этого ряда (т=1), получим и,„= 0,00196 ~ что незначительно отличается от точного значения Полученный ряд сходится очень быстро.
Вычислим, напри мер, значение прогиба в центре квадратной пластины (а=6) Для этого положим в последней формуле х=а/2, у=О. Тогда получим В силу симметрии изогнутой срединной поверхности пластины относительно вертикальной плоскости, проходящей через линию х=а!2, в выражении (20.62) индексы т должны быть нечетными числами (т=!, 3, 5, ...). Очевидно, что при удалении от нагруженного края пластины прогиб и внутренние усилия должны уменьшаться (затухать). Для удовлетворения этому условию в выражении (20.62) надо удержать только затухающие частные решения, содержащие е '-', и отбросить возрастающие частные решения, положив С, =О, Сз =О.
Таким образом, получим и(х,у)= ,'1 (С, +С»„у)е "-'з!пХ х. (20.63) т=1, Для определения постоянных интегрирования Сз и С4 надо использовать статические граничные условия на нагруженном крае пластины: и „= 0,00192 ~ Ряды для внутренних усилий сходятся также достаточно хорошо. В качестве второго примера рассмотрим прямоугольную пластину, достаточно протяженную в направлении оси Оу (Р ~ а) со свободным от закрепления краем у = О, нагруженным равномерно распределенной по этому краю нагрузкой р= сопя! (рнс.
20.30). Такие пластины иногда называются полубесконечными. Края пластины х=О, х=а являются шарнирно опертыми. Прогиб пластины определяется выражением (20.60), в котором частное решение и*(у) надо положить равным нулю, йоскольку распределенная по поверхности пластины нагрузка отсутствует. При этом удобно перейти от гиперболических функций к экспоненциальным и представить выражение для прогиба в следующем виде: и'(х, У)= ~~ (Сг е~.з+Сз Уе».г+Сз е ~.1+С»,„Уе 1.1)ЯпХ х.
(20.62) у=О, М,= — 22 — „—,+х —, =0; (20.64) Газ Го и з 1; = — Р ~ — + (2 — з), ~ = — р. ~гауз дх ду Для того, чтобы использовать второе из приведенных граничных условий, разложим нагрузку р в ряд Фурье по синусам: ОЭ Ю тлх 4р р 51п — = 2 — 51п1 х. гп = 1 а тл т=1 Коэффициенты разложения р вычислены по формуле (20.55), где принято»! (у)=р и»1(х, у)=р. Составим выражения для производных от прогиба, соответствующего произвольному члену ряда (20.63). г —;= — Х'(Сз,„+С»,„у)е "-'ып2» х; Х Ьз» Сз (2 — з у)С» Зе -~яви х; ау —,"= — Х' (Х Сз — (3 — г» у)С» )е '-'япХ х; у' -,з,, ,— =Х ~Х Сз — (1 — Х у)С» 13е ~з»пз х.
0 04 00 !,я 5я ао уу Рлс. 20.31 + т=! Х й(у)= 1+ Х у е 2 л'(3+к) М„(у)= (1+9)+ — )!5у е тл 5! П 0ра! 73 лк(3-!- к) (! — к) т" ЯП— ла ЕРа(!4К) ~- 2 лк(3+ч) т! М „5 е ра ( ! -~- к) к П 4(35,)(! ) к 5(3 ) 7 92ра' „5 7,37!а (! +5) 23лк(3+к)(! — к) к л'(34к) !5 3923 Используя граничные условия (20.64), находим произво.п, ные постоянные Зт кн (3- )(1 — )~ 4т !зд (3+ после чего запишем окончательное выражение для прогиба пластины С помощью выражения (20.65) можно определить внутренние усилия в пластине.
Например, для изгибающего момепга М„получим следующее выражение: где по-прежнему индекс т принимает нечетные значения (!и= ), 3, ...). Наибольшие значения прогиб и изгибающий момент М„имеют в середине нагруженного края при у=О, х=п/2. Они определяются следующими выражениями: Взяв только по одному члену этих рядов (т=1), получим следующие значения: Точные значения, приводимые в справочниках, равны Нетрудно видеть, что даже первые члены рядов для наибольших прогиба и изгибающего момента М, дают вполне удовлетворительные результаты, особенно для прогиба. При четырех членах рядов полученные значения практически совпадают с точными значениями. Покажем характер изменения прогиба и изгибающего момента М„вдоль линии х=а/2. Ограничимся первыми членами в рядах (20.65) и (20.66) и примем коэффициент Пуассона равным 1!=0,3.
На рис. 20.31 показаны графики изменения безразмерных функций в зависимости от отношения у/а. Можно отметить, что уже при у/а=1,5 прогиб и изгибающий момент достаточно малы. Уточнение, связанное с удержанием большего числа членов рядов, очень мало влияет на быстроту затухания прогиба и внутренних усилий. Следовательно, полученное выше решение можно использовать для расчета пластин при Ь > 1,5а.
При этом характер опирания пластины по краю у = Ь практически не будет влиять на результаты расчета. $ 20.11. Понятие о расчете пластин с помощью вариационных методов В главе 16 показано, что задачи теории упругости сводятся к интегрированию дифференциальных уравнений при удовлетворении соответствующих граничных условий. В силу 'больших математических трудностей получение точных аналитических решений многих задач теории упругости в форме, доступной для практических целей, затруднительно или невозможно. В этом случае можно использовать вариационные методы, которые позволяют получать приближенные решения задач теории упругости в аналитической форме.
При этом приближенно удовлетворяются дифференциальные уравнения или граничные условия, а в отдельных случаях — и те и другие. В основе вариационных методов лежат вариацнонные принципы, например, принцип возможных перемещений Лагранжа. дп — =О. даи (20.68) В задачах расчета пластин вариационные методы позволяют получить приближенное выражение для прогиба пластины с точностью, достаточной для инженерной практики. При этом искомая функция прогиба задается в виде аналитического выражения, соответствующего характеру изогнутой срединной поверхности пластины и удовлетворяющего граничным условиям. Это выражение должно содержать неизвестные коэффициенты или функции одной переменной, для определения которых используется один из вариационных принципов.
Такой подход позволяет свести задачу интегрирования дифференциального уравнения в частных производных, описывающего изгиб пластины, к решению системы линейных алгебраических уравнений или системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, искомую функцию прогиба пластины можно задать в следующем виде: и (х, У)= " ~ ~ац1Ры(х, У), (20.67) ь=11=1 где/с=1,2, ...,т;1=1,2, ..., и. В этом выражении функции 1ры должны быть линейно независимыми и удовлетворяющими кинематическим граничным условиям; они задаются в начале расчета и называются аппроксимирующими функциями. Следует отметить, что от удачного выбора аппроксимирующих функций зависит точность решения и трудоемкость его получения.
Поэтому желательно, чтобы функции 1ры удовлетворяли не только кинематическнм, но и статическим граничным условиям. Коэффициенты ац в выражении (20.67) являются постоянными числами (параметрами) и подлежат определению. Рассмотрим определение коэффициентов ац с помощью вариационных методов Ритца и Бубнова — Галеркина.
Метод Ритца основан на использовании известной теоремы Дирихле — Лагранжа, на основании которой формулируется следующий принцип: потенциальная энергия упругого тела в состоянии устойчивого равновесия имеет минимальное значение. Для использования метода Ритца в задачах расчета пластин необходимо составить выражения для потенциальной энергии деформации пластины 11 и работы внешних сил А.
Полная потенциальная энергия пластины равна их разности (П= с1 — А). Можно показать, что при задании прогиба в виде (20.67) полная потенциальная энергия является квадратичной функцией параметров а„,: П=П(а~,). Выполняя условия минимума полной потенциальной энергии пластины, надо составить частные производные от П по всем параметрам ац и приравнять их к нулю: Соотношения (20.68) позволяют получить систему линейных алгебраических уравнений относительно ац. Определив эти параметры и подставив их в (20.67), получим искомое приближенное решение задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
