2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Таким образом, прогиб пластины определяется следующим выражением: 5 ), в)=(с, .вс,": '" ).„в. Рис. 20.42 192ЯП) Для определения постоянных интегрирования используются граничные условия на шарнирно опертом контуре пластины 1 сгв 'рг сг Гв 801 ~) Приведем окончательные выражения для прогиба пластины и радиального изгибающего момента ' л))рв )-)55 )р']~ в; 192(З-)-5Р) Р М„=— ~ '(5+52)р(1 — р2) сов В, 48 где р = г)Я вЂ” безразмерный радиус. Нетрудно показать, что М„имеет максимальное значение при 0=0 и го=Я/ '3, которое равно я(5 ) 72 уЗ Характер эпюры М„показан на рис.
20.42,в й 20.14. Изгиб пластины под действием поперечных нагрузок и нагрузок в срединной плоскости Рассмотрим прямоугольную пластину, находящуюся под действием поперечных нагрузок и нагрузок, расположенных в срединной плоскости (рис. 20.43). Нагрузки в срединной плоскости можно назвать продольными нагрузками в противоположность поперечным нагрузкам, перпендикулярным к срединной плоскости. Будем считать, что условия опирания пластины не препятствуют некоторым продольным перемещениям ее краев. Для жестких пластин (та- 1)(х,ч) ких, например, как стеновые Ч панели) действие поперечных Рис.
20.43 нагрузок и нагрузок в средин- ной плоскости можно рассматривать раздельно. При этом расчет пластины сводится к ре1пению двух не связанных друг с другом задач — изгибу пластины под действием только поперечных нагрузок и обобщенному плоскому напряженному состоянию. Суммарные значения напряжений и перемещений в пластине можно определить на основании принципа независимости действия сил. Однако, в инженерной практике часто приходится производить расчет тонких пластин с учетом их гибкости. К такой категории конструктивных элементов можно отнести стенки высоких стальных балок, металлические листы корпусов кораблей и вагонов, листы обшивки авиаконструкций и т.
п При расчете таких пластин на совместное действие поперечных нагрузок и нагрузок в срединной плоскости принцип независимости действия сил применять нельзя, поскольку продольные нагрузки могут оказать существенное влияние на изгиб пластины. Кроме того, действующие в срединной плоскости сжимающие и сдвигающие нагрузки могут вызвать потерю устойчивости пластины, что недопустимо для безопасной работы конструкции.
Расчет пластин на устойчивость составляет отдель- ную проблему теории тонких пластин; некоторые задачи устойчивости пластин будут рассмотрены ниже. Нагрузки, действующие в срединной плоскости, вызывают появление нормальных и касательных напряжений о„, о и т„у Если считать, что эти напряжения при продольном нагружении не зависят от 2 (как при обобщенном плоском напряженном состоянии), то их равнодействующие будут равны И2 иг 2У'„= ) о 12'2=а„Ь; Юу= ! оуЫ2=оу72; — Л!2 -иг (20.95) Кя ~ху ~ук ~ ) 2ху ~~2 2ху ~ — Ы2 где Ь вЂ” толщина пластины, Величины Ж, и 2у"у являются нормальными (продольными) силами, а 5 — сдвигающей силой. Они считаются действующими в срединной плоскости пластины (рис.
20.44) и в общем случае нагружения являются функциями двух координат х и у. Как было показано в з 20.4, при изгибе пластин под действием только поперечных нагрузок внутренние усилия Ф„, Фу и 5 равны нулю. Исключение составляют гибкие пла- н стины, края которых закреплены от О свободных перемещений в продольных направлениях. Задачи расчета ~х таких пластин являются нелинейны- х в ми и здесь не рассматриваются.
у! Рассмотрим задачу изгиба тонких дх гибких пластин при совместном действии поперечных и продольных на- Р е. гОА4 грузок. Решение этой задачи будем строить на основании введенных в з 20.! гипотез теории изгиба тонких пластин. Это означает, что искривление пластины при изгибе по-прежнему будет считаться весьма незначительным, а продольные перемещения — малыми по сравнению с прогибом. Для учета влияния нагрузок в срединной плоскости на ее изгиб необходимо составить дифференциальные уравнения равновесия элемента пластины в искривленном состоянии, то есть произвести так называемый расчет по деформированной схеме.
Ввиду малости углов наклона касательных к изогнутой срединной поверхности пластины примем З1П 1Ру Ц)х ! СОЗ 1Рх ! $1П (~у 1ру ° СОЯ фу Вырежем из срединной плоскости пластины бесконечно малый элемент (рис. 20.45) и рассмотрим его равновесие под действием внутренних усилий и поперечной нагрузки д(х,у).
< — "+ — '+д гггхИу. дД„дОг дх ду гׄ— "+<р„— ")ЫхИу. х ~ г х « ~~ д <р„д Ф„''г "дх дх) Рве. 20.45 )Ч,— "+<Рг — 'г) ИхИУ; с д (р„д Фг'г ду ду) 25 — "+~р,— +~р„— ') г1хИу. ~ г х ду„д5 д.гг ду дх " ду) дх ду ' дх ду (20.96) Можно показать, что в деформированном состоянии элемента при малом искривлении срединной плоскости пластины уравнения равновесия ХМ„=О и ХМ,=О дадут полученные в В 20.4 дифференциальные соотношенйя между поперечными силами Д„, Д„изгибающими моментами М„, М, и крутящим моментом Н. В силу этого на рис. 20.45 показаны только внутренние усилия Ж„, гЧг и 5, которые даны с учетом их приращений на длинах элемента Ых и Иу.
Также очевидно, что использование уравнений равновесия Х Х= О, Х г = 0 и Х М, = 0 позволит получить дифференциальные уравнения равновесия для внутренних усилий при отсутствии объемных сил и закон парности для сдвигающих сил: Я„,=Ь',„. Остается рассмотреть последнее уравнение равновесия ХЕ=О. Оно должно содержать рассмотренные выше проекции поперечных сил и распределенной поперечной нагрузки, а также включать проекции нормальных и сдвигающих сил. При этом надо учесть, что углы наклона касательных к изогнутой срединной поверхности ср„и ~р, также получат приращения на длинах Ых и Ыу.
Проекции поперечных сил и распределенной поперечной нагрузки на ось Ог при небольшом искривлении пластины останутся прежними Я 20.4), и сумма их составит следующее выражение: Для учета проекций усилий Ф„, )Ч, и 5 на ось Оз надо отнести их действие к 'деформированному состоянию элемента. Рассмотрим, например, проекцию нормальной силы Ф„(рис. 20.45). С учетом приращений Ж„и угла наклона <р„эта проекция равна — Х„йугр„+ М„+ — "Йх Ыу ~р„+ *Их . Упростив это выражение и отбросив величины третьего порядка малости, получим Аналогично можно получить выражения для проекций нормальной силы Ж, и сдвигающей силы о: Сложим проекции всех трех усилий. Выразив углы поворота касательных к изогнутой срединной поверхности пластины через ее прогиб по формулам (20.16) и произведя упрощения на основании уравнений (20,96), получим следующее выражение: Присоединив это выражение к проекциям поперечных сил и распределенной поперечной нагрузки и сократив сумму проекций на площадь элемента ЫхЫу, получим следующее дифференциальное уравнение: дЯ„дЯ„Н д ю Л, д в+25 д ю =О.
дх ду дхг г дуг дхду Подставив в это уравнение формулы (20.14) для поперечных сил, получим дгв дгх, дгц, РЧгЧ н=ц+Х„,+М~, +2о" дх' г ду' дхду Равенство (20.97) является дифференциальным уравнением изгиба тонкой пластины под действием поперечных нагрузок и нагрузок в срединной плоскости. При отсутствии последних уравнение (20.97) совпадает с уравнением (20.10), описывающим поперечный изгиб тонких пластин. 8 20.15. Некоторые задачи устойчивости прямоугольных пластин В главе 13 были рассмотрены задачи расчета сжатых стержней на продольный изгиб. Эти задачи включали определение величин критических сил и расчет стержней на устойчивость.
Аналогичные вопросы должны быть исследованы при нагружении пластины в срединной плоскости, поскольку при некоторых значениях продольных нагрузок пластина так же, как и сжатый стержень, может потерять устойчивость. Потеря устойчивости гибкой пластины может быть вызвана действием как сжимающих, так и сдвигающих нагрузок, а также может произойти при различном сочетании нагрузок в срединной плоскости.
Будем считать первоначальную плоскую форму равновесия пластины при нагружении ее в срединной плоскости устойчивой, если при небольшом вынужденном искривлении (поперечном отклонении) она стремится вернуться в первоначальное положение.
Когда нагрузки достигнут некоторых критических значений, первоначальная форма равновесия окажется неустойчивой; пластина может находиться в равновесии и при небольшом искривлении. Напомним, что одновременное существование двух форм равновесия называется бифуркаиисй (раздвоением). Таким образом, действию критических нагрузок могут соответствовать две формы равновесия †первоначальн плоская и искривленная. Если параметры нагрузок в срединной плоскости превысят, пусть даже и очень незначительно, критические значения, то устойчивой будет искривленная форма равновесия пластины, что можно рассматривать как потерю ее устойчивости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
