2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 70
Текст из файла (страница 70)
но бала. о" = "сгв — —— ~,т' ~,з' (20.88) нб з'.2 нн я=О, 457 456 и~*(г) = —. 64В Входящие в (20.82) постоянные интегрирования С„Сг Сз и Са подлежат опРеделению из соответствУющих гРаничных условий в каждой конкретной задаче. Расчет пластины на прочность про- изводится по величинам наибольших ч" нормальных напряжений с использоо ванием соответствующей теории проч- в:с ности. Этот расчет надо выполнять для точек пластины, где изгибающие г моменты М, и М, имеют наибольшие значения или достаточно велики.
8 В качестве первого примера рассмотрим задачу об изгибе круглой пластины, жестко защемленной по В' ! их(г) контуру и находящейся под действием ф 6 равномерно распределенной нагрузки (рис. 20.38). Прогиб пластины опреде® ляется выражением (20.82), где частс18 ф~82 ное решение игг(г) имеет вид (20.84). см~ В соответствии с физическим смыс- лом задачи в центре пластины при ()К г= 0 прогиб и внутренние усилия должны иметь конечные значения. Д Для удовлетворения этому условию надо в общем решении (20.82) отРис. 20.38 бросить члены, содержащие натура- льный логарифм (1пО= — со), положив равными нулю постоянные интегрирования С, и С4.
Таким образом, получим для прогиба пластины следующее выражение: 4У' и (г) = С, + Сзгз + —. 6444 Для определения постоянных С, и С, используем граничные условия на жестко защемленном контуре пластины: 464 г=Я, и =0; гр,= — =О. 4!У Использовав эти условия, получим два алгебраических уравнения относительно С, и С,: с,+с я + — =о; 2 4Я4 6412 2СзА+ — = О. 16Р Решив эту систему, найдем С, чя'. С, дя' 6422' ' 3222' Окончательное выражение для прогиба имеет вид (.) ч ф4 2д2 „2 1,4) У (я2 .2)2 64!У 6422 458 С помощью формул (20.85) полу- а) чим выражения для внутренних усилий в пластине: М„= — ~(1+ з) Я2 — (3+ ч) г2~1; $) Мс= ~ (!+ч)Я2 — (1+Зч)гз 6 чг 0= —— 2 Эпюры внутренних усилий приведены на рис.
20.38. В центре пластины изгибающие моменты равны по величине, поперечная сила равна нулю, а прогиб имеет максимальное значение, равное Рис. 20.39 Рассмотрим задачу о расчете круглой пластины, жестко защемленной по контуру и нагруженной в центре сосредоточенной силой Р (рис. 20.39,а). Для получения решения этой задачи необходимо вначале произвести расчет пластины на действие нагрузки д, равномерно распределенной по площади круга радиуса г=а (рис.
20.39, б). Этот расчет достаточно прост и сводится к определению постоянных интегрирования из граничных условий на контуре пластины и условий сопряжения участков 0<г<а и а<г<Рс. Затем в полученном решении надо произвести предельный переход, устремляя размер а к нулю и сохраняя конечное значение равнодействующей нагрузки Р=г1па . Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательное решение задачи и = — ~ 2г21п — +(Я~ — г ) 1бя22! я М,= — (1+ч)1п — — 1 РГ я 4с~ г М,= — ~(1+ч)1п — — 9 РГ я 4х~ г Р О,= —— 2сг 459 Прогиб в центре пластины имеет конечное значение и равен /7Л7 И/ 16217 ' «=Я, и=О; Дм /2+717)К' /а Дм Использовав эти условия, получим систему двух алгебраических уравнений относительно С, и С, 71 4 С,+С Я +~— =О; 6422 2Сз+ +ч~ 2Сз+ — /) =0 Забег // аЛ7 1 16/З ( 16/Э/) Ряс. 20.40 Определив постоянные интегрирования, запишем после несложных математических выкладок окончательное решение задачи д(Я' — «') ~ 5+ч г гг 64/Э ~1 /- ч М вЂ” / (З+ч)(яг «2).
М„= — ' ~(3+ ) яг — (1+ Зч) г~; а' 2 а« а внутренние усилия стремятся к бесконечности, что соответствует характеру натруженна пластины (как уже отмечалось, в точках приложения сосредоточенных сил появляются особенности). Эпюры М„н Д„приведены на рис. 20.39,а,г. В аналогичной постановке решаются задачи расчета круглых пластин, шарнирно опертых по контуру, Рассмотрим, например, действие равномерно распределенной нагрузки на такую пластину (рис.
20.40). Прогиб пластины по-прежнему определяется выражением (20.89). Для определения постоянных интегрирования поставим граничные условия на шарнирно опертом контуре «=Я„ 14 «Й// /2 /«7/7и 1 //7ч1 0 = — )9 — — +- — = — р ~„(ч,/«7 „~„) («7 „1„ Г Яг Использовав граничные условия с помощью выражения для прогиба, получим систему четырех алгебраических уравнений относительно постоянных С,, С„Сз и С4. После их определения задача расчета пластины по существу может считаться решенной. Подставив эти постоянные в выражения для прогиба и внутренних усилий в пластине, можно записать окончательные решения в виде замкнутых формул, которые, однако, имеют достаточно громоздкий вид и в силу этого не приводятся.
Общий случай изгиба круглых пластин. Если нагрузка на пластину или условия ее закрепления не являются осесимметричными, то прогиб пластины зависит от переменных г и 0 и должен удовлетворять дифференциальному уравнению Максимальное значение прогиб имеет в центре пластины, где он равен 54ч ал" l / 1+ ч 64/з а /х Эпюры изгибающих моментов приведены на рис. 20.40.
В центре пластины / радиальный и окружной изгибающие моменты равны по величине. Р Ч Рассмотрим кольцевую пластину, Р Р шарнирно опертую по внешнему контуру и находящуюся под действием нагрузки «за "- ---,/ Р, РаВНОМЕРНО РаСПРЕДЕЛЕННОй ПО ВНУТ- Я«71 реннему свободному от закреплений кон- ка туру (рис. 20.41). Поскольку в данной задаче распределенная по поверхности Ряс. 20.41 пластины нагрузка отсутствует, последнее слагаемое в выражении (20.82) нужно положить равным нулю.
Таким образом, прогиб кольцевой пластины в этом случае определяется выражением я/(г) = С, + С21п г+ Сзгг+ Сзгг 1п г. Для определения постоянных интегрирования необходимо использовать следующие граничные условия на внутреннем и внешнем контурах пластины: 461 (20.75). Чаще всего для получения решения прогиб пластины представляется в виде тригонометрического ряда по угловой координате О: и'(г, О)=иР))(г)+ ~ )с (г)совтО+ ~ ил(г)81плО, (20.90) л=1 где т,л=1, 2, 3 ФуяхцИИ 5СС(Г), Ир (Г) И )Сл(Г) ХараКтЕрИЗуЮт ИЗМЕНЕНИЕ прогиба пластины в радиальном направлении и подлежат определению.
Нетрудно видеть, что функция ис(г) описывает осесимметричный изгиб круглой пластины. Произвольную поперечную распределенную нагрузку, вызывающую изгиб пластины, также можно разложить в тригонометрический ряд, аналогичный ряду (20.90): 57(г, О) =579(г)+ ~ ~57„(г)совтО+ "~ 57„(г)81пп О. (20 91) яр= 1 л=1 Действие отдельно взятой нагрузки 579(г) вызывает рассмотренный выше осесимметричный изгиб. Коэффициенты разложений могут быть определены по известным формулам теории рядов Фурье: 2я 57о(г)ля — ) д(г,О)а)О; 2я д и=- ( 57(Г,О)соатО570; (20.92) "о 2я 57„(г)= — ) 51(Г,В)яплВс)О.
ио Подставив выражения (20.90) и (20.91) в дифференциальное уравнение (20.75) и приравняв между собой члены рядов с одинаковым индексом т, получим ~ 2 ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~~ ~~ ~ > т а ~ ~ ~ ~ л ~ 1 7 ~ ~~ ~ ~ ~ я ~ л ~ Ы Г срг 2 ) ( 51 с) ) 12 Дифференциальное уравнение относительно функции )с„(г) имеет такой же вид. Решение уравнения (20.93) позволяет определить вид функций ир (г) или 5с„(г) и тем самым получигь окончательное решение задачи. Входящие в решение постоянные интегрирования могут быть определены из граничных условий на контуре пластины.
При т=О уравнение (20.93) совпадает с уравнением (20.79) и описывает осесимметричный изгиб пластины. При т = 1 решение уравнения (20.93) можно записать в следующем виде: 1 и,(г)=С,г+С,г +Сз-+Сиг!лг+5с1"*(г), (20.94) Г где и *,(г) — частное решение, зависящее от вида функции 571(г).
Для целых и положительных чисел ГГ)>2 решение дифференциального уравнения (20.93) имеет следующий вид: )с (г) = С, г + С, г "+ С, — + Си, + и '" (г) . Г Г" Рассмотрим в качестве примера расчет круглой пластины, шарнирно опертой по контуру и находящейся под действием нагрузки со следующим законом распределения: 9(г О)="" .О. Я Характер изменения нагрузки по угловой координате О и по радиусу г показан на рис. 20.42, а, б. Поскольку задание нагрузки соответствует первому члену ряда (20.91) по косинусам (т = 1), прогиб пластины также можно представить как первый член ряда (20.90) по косинусам, то есть принять ир(Г,О)=и1(г)созО, где функция )с1(г) определяется выражением (20.94). Входящее в (20.94) частное решение, зависящее от функции 571=дсг/Я, имеет следующий вид: Гв 192 Г511 Учитывая ограниченность значений прогиба и внутренних усилий в центре пластины при г=О, положим С1=0; С4=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
