2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 74
Текст из файла (страница 74)
21,10 изображена плоская область, составленная из треугольников. Каждый треугольник является конечным элементом, имеющим свой порядковый номер. Общие вершины треугольных конечных элементов называются узлами, которые также нумеруются. Граница области представляет собой ломаную линию. Кинематические граничные условия задаются в узлах на границе. Нагрузки на границе заменяются сосредото- ченными силами в узлах, связь конечных элементов между собой осуществляется также в узлах.
В каждом узле неизвестными являются перемещения по осям Ох и Оу. Обозначим перемещения в узле с номером г через и; и о; (по осям Ох и Оу соответственно). Пусть и — число узлов в выбранном разбиении. Тогда общее число неизвестных будет равно 2п. Рассмотрим отдельно т-й треугольный конечный элемент с узлами 1, 1, 1с (рис.
21.11). Введем локальные номера узлов 1, 2, 3, показанные на рис. 21.11 в скобках. Локальная нумерация узлов выбирается против хода часовой стрелки. При выводе уравнений равновесия удобно использовать так называемую естественную систему относительных г;координат: где à — площадь треугольного конечного элемента; Г, „Г„Г,— составляющие площади треугольника; С вЂ” произвольная точка. Очевидно, что Е;координаты удовлетворяют условию г- г + ~ г + г- з = 1.
(21.34) Координаты произвольной точки С в декартовой системе выражаются через Ь-координаты следующим образом: х=хгЛг+хгг г+хзг-з у=уз~у+угЕг+уз~зу (21.35) где х„у, (1= 1, 2, 3) — координаты узлов треугольного элемента. Индексы 1, 2, 3 соответствуют номерам узлов г, 1', 1с. Соотношения (21.35) можно проверить, если в равенства хГ=хгГг+хгГг+хзГз' УГ=УгГг+УгГг+УзГз подставить выражения для вычисления площадей Г, Г,, Г„ Г, через векторные произведения: 1 Г=- [(х,— х,)е„+(уг — у,)еу] х [(х,— х,)е„+(уз — у,)е,]; 1 Г, =- [(хг — х)е„+(уг — у)е,] х [(хз — х)е„+(у, — у)еу]; Г, =- [(хз — х)е„+(уз — у)еу] х [(х, — х)е„+(у, — у)е„]; 1 Гз =- [(х, — х)е„+(у, — у)еу] х [(хг — х)е„+(уг — у)еу], где е„, е,— единичные орты координатных осей Ох и Оу. Из определения (21.33) г.-координаты в узле 1 равны: г., =1, г.г=Ьз=О; в узле 2: 2.,=0, 1г=1, г.з=О; в узле 3: г.,=г.г=О, Т.з=1.
Тогда, например, при совпадении точки С с узлом 1 ее координаты равны (х„уг). Выразим Е-координаты через декартовы координаты х и у, используя равенства (21.34) и (21.35): Ег = —. Иг узг хгз (21.36) где аг =хгуз хзуг' Угз=уг Уз' хзг=хз хг.
Выражения для остальных элементов матрицы преобразования получаются круговой перестановкой индексов. Поле перемещений в треугольном конечном элементе опишем линейной зависимостью, аналогичной (21.35): гг = 21 1 Е 1 + «г Е г + и 3 Е з,' 3 3 и=игЕ1+и2Е2+изЕз. (21.37) Покажем, что формулы г (21.37) обеспечивают одинакое вость перемещений не только 2 в общих узлах двух соседних конечных элементов, но также Рнс.
21.12 и на общей их границе (рис. 21.12). Рассмотрим перемещение и в произвольной точке С для двух соседних конечных элементов. Из (21.37) следует и с = и г Е г + 21 3 Ез,' 11СххлгЕ1+ИЗЕ З. Вычтем ис из ис, УчитываЯ, что из=и; и из=и;: ис — л(х иг(Ег Ег)+из(ЕЗ Ез) Из рис. 21.12 имеем Гг Г; ЬЬ12 Ь~ Ь12 Е,-Е",= — '- = — ' =О. Г Г' Ьа/2 Ь*а/2 Аналогично доказывается, что Ез — ЕЗ=О. Тогда ис — — ис на всей общей границе.
Точно так же можно показать, что ос= ис, то есть поле перемещений непрерывно на общей границе двух соседних конечных элементов. Выведем зависимость между усилиями и перемещениями в узлах отдельного конечного элемента, используя формулы линейной аппроксимации поля перемещений (21.37). Введем обозначения (рис. 21.11) для вектора внутренних усилий (вектора усилий в узлах конечного элемента) 1г Г=(Гх1> Гу1~ Гхг> Гуг~ Гхз~ ГГЗ) и вектора перемещений узлов (транспонированного) й'=(и„и„иг, иг ггз из). Работа усилий в узлах на их перемещениях равна 1 А =-(Г„, иг+Гуги, +Гхгиг+Г,2йг+Г 3223+ 2 — т- +Г Зиз)=- 1' 1' 2 (21.38) су=- Ще'аи(1', 2 (21.39) где е =(е„, е„, У„); 6=(О„, оу, т ) Соотношения Коши, связывающие деформации с перемещениями, имеют вид ди ди ди ди дх ау "~ ду дх Так как (21.40) и=и(Е1(х, у) Ег(х, у) Ез(х у))1 и=и(Е,(х, у), Ег(х, у), Ез(х, у)), то с учетом формул, следующих из равенства (21.3б), получим Угг ди Угг ди У!г ди е„= — — + — — + —.
2Г д2 г 2Г дг.г 2Г д2,г хзг ии х,г ди хг, ии + — ' — + — ' 2Г дг-1 2Г дг,г 2Г двг' хгг ди Угг ии х г ди уг, ии хг, ди угг ди у + — — + — — + — — + + —— 2Г дьг 2Г дгг 2Г юг 2Г дьг 2Г дтз 2Г дь, В соответствии с линейными зависимостями (21.37) соотношения Коши примут вид 1 (Узза!+У31122+Уггиз)' 2Г 1 ~ 32 11 1+ х13 и 2+к 21 11 3)1 2Г' (21.41) 1 1 (Х32и1+У2301+Х13из+ +У 31 и 2+х21113+У 12113)' 491 Потенциальная энергия при деформировании конечного элемента, равная работе внутренних сил, выражается формулой где матрица В, равная (угз 0 уз1 0 угг 0 В= — 0 хзг 0 хз 0 хгг 2Е х у х, у, х„ (21.43) называется матрицей градиентов.
Уравнения закона Гука для плоского напряженного состояния в обратной форме имеют вид (гл. 17) 15„=, (е„+3 е„); Е о,=, (316„+аз); Е (21.44) Е тх 2(!+ ) или в матричной форме В=Се, где (21.45) 1 3 0 (21.4б) 1 0 0 Подставим формулы (21.42) и (21.45) в (21.39), учитывая при интегрировании, что матрицы В и С содержат только постоянные. В результате интегрирования получим 17=- О'В'СВОЛ Г, -т т 2 (21.47) где Л Г= Ж вЂ” объем конечного элемента (Р— площадь, толщина пластины).
Приравняем работу внутренних сил в конечном элементе (21.47) работе, совершаемой усилиями в узлах и вычисляемой по формуле (2!.38) — О'В'СВОЛ к'=- О'г. 2 2 Отсюда получим КО= г. (21.48) Здесь К=Л РВ'СВ называется матрицей жесткосгпи конечного элемента. 492 В матричном виде формулы (21.41) запишутся следующим образом: 8=ВО, (21.42) Равенство (21.48) устанавливает связь между усилиями и перемещениями в узлах конечного элемента. Матрица К для треугольного конечного элемента имеет размерность бх6, Вычислив матричные произведения в выражении для матрицы жесткости с учетом (21.43) и (21.4б), получим Кгг Кгз К!4 К12 К22 К23 К24 Кгз Кгз Кзз Кз4 К14 К24 К34 К44 15 К25 35 К45 К16 К26 К36 К46 К15 К16 К25 К26 К35 К36 К45 К46 К55 К56 К56 К66 Эта матрица симметрична относительно главной диагонали и ее элементы равны Здесь приняты обозначения Ей 1 — т !+т а= 4Е(! — тт)' 2 ' 2 В качестве примера рассмотрим квадратную пластину толщиной 0=0,1 м, растягиваемую вдоль оси Ох равномерно распределенной нагрузкой р=2000 кН/м (рис.
21.13). С учетом симметрии относительно осей Ох и Оу расчетную схему строим для 1/4 пластины. Эту область разобьем на два треугольных конечных элемента. Распределенную нагрузку заменим сосредоточенными силами Р в узлах (рис. 21.14). Наложим ограничения на перемещения узлов, расположенных на осях симметрии, а именно и1 — — 0; о!=0; иг=О; из=О. 493 К!1=а(Рхзг+Угз)> К13 = й(РХ 31 х 32+ Угзу 31) К15 = й(йх ггх зг+ Узгу 2з)' Кгг = а(хзг+ !ЗУгз) К24=й(хгзхзг+()УгзУз1)' К26 = й(хггх зг+ ()У12Угз)' К34 617Х13У311 К36 й®х13У12+~Х21У31)~ К45 —— а (чхгз У!2+ РХ 2!У 31) К55 = а((3хг1+У12)~ К66 а(Х21+ 1тУ12)' К12 йу ~32У23! К14 й(~Х13Угз+( хзгУ31) К16 = й(11Х21Угз+ ()хзгУ1г)' Кгз = а(()'"'1зУгз+ихзгУз1)' Кгз = а(()хг1Угз+ихзгУ1г)' Кзз =й((3Х13+Узг)' К35 =а((3Х1ЗХ21+У12У31) К44 а(х13+ !3У31) К46 й(Х13Х21+5тУ12У31) К56=а"1'хггУ12' с\ (гв«' «(>1('~» «зх« гас( 24~ Ит 2'„",' 212) 1'4 (4 х» ооо — "" »н схн 1", ((з) п, 1;",' «1») н, гн З(С)(2, Г,»С Рнс.
21.13 Рнс. 21.14 Рнс. 21.15 Ряс. 21.16 Кроме того где К(1) 0 где 494 495 ()2 — 0 ()4 0 в силу условий на границе. Выпишем матрицу жесткости Кгн для конечного элемента ®. Учитывая, что для этого конечного элемента уз,— — — 1 м, уз, — — 1 м, у„=О, х„= О, х„= — 1 м, хз, =1 м (здесь индексы— локальные номера узлов, указанные в скобках), получим и 0 — и ои 0 -ои 0 и)3 и(3 -аб -ар 0 а(3 и ((3+ 1) — и ((3+ 1)) — и(3 ыа - а(3 — и ф+1) и ф+ 1) а(3 — и - и(3 - ир а(3 и(3 0 0 за — и 0 с( где элементы матрицы Ксо имеют размерность кН/м. Матрица Кгц связывает внутренние усилия в узлах с их перемещениями ).(1) К(1) й(1) (21.49) На рис.
21.15 показан конечный элемент ('!) с глобальной и локальной (в скобках) нумерацией его узлов. Для этого элемента вектор внутренних усилий равен Р(1) (г(» г(1) г(1),(1) г(п г()п. Гх(> )у( )хз Гуз )х4 )у«) Вектор перемещений узлов имеет вид — (1) ( )т (И1 1)1 ИЗ 1)3 И«> ()4! Положим в векторе перемещений первую компоненту и, =1, а остальные компоненты примем равными нулю. Тогда в равенстве ~21.49) элементы К(() ~1= 1, 2, ..., 6) первого столбца матрицы К' ' представляют собои усилия в узлах по направлениям осей Ох и Оу, вызванные единичным перемещением узла 1 в направлении оси Ох.
Для конечного элемента © нумерации узлов показаны на рис. 21.16. Пзои выбранной локальной нумерации матрица жесткости К' '=К"'. В этом случае имеем г»2) = К»2) й(2) Г(2)=(г(2) Г(2) Г(2) Г(2) Г(2) (2))т. х4> у4> х2> у2> х1 11) -а) ( )т 0 = (И4> ()4~ И2 ()2 И1 ()1) Покажем, как составить уравнения равновесия для узлов при разбиении пластины на два конечных элемента. В качестве примера рассмотрим узел 4. Этот узел является общим для обоих конечных элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
