2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Внутренние усилия г(„',,' и ГД равны г('4) = — ар()1 — и(3из+ а(3()3+ ари4; гх« = иИ4 — иИ2 +»)а()2 — иаи). Складывая г~„«) и г(24 и приравнивая внешней силе Р, получим (21. 50) Узел 3 принадлежит только конечному элементу ~®. Поэтому условие равновесия для него имеет вид Г(1) Р (21.51) г»13) = — ии1+ а(3()1+ и ((3+ 1»1 из — а ((3+ 1) из — а(3И4+ з и()4.
Учитывая, что и,=О, и(=0, и,=О, ()2 — — О, Из=О, ()4=0, из (21.50) и (21.51) получим а(3из + а ((3+1~)И4 — Р а ((3+ 1) из — а(3И = Р. ( (21.52) Сисзема линейных алгебраических уравнений, формируемая приведенным способом, всегда имеет симметричную матрицу Р из=ик=-. а !П )2) 2а 2Р з кН м' а) б ~ТТ 0Р Р« Рве. 22.1 497 коэффициентов при неизвестных. Эта матрица называется глобальной матрицей жесткости. Решением сформированной для всех узлов системы линейных алгебраических уравнений является вектор перемещений злов У 1Т '1и1 1)1 и2 ог Для вычисления тензора деформаций и тензора напряжений в каждом элементе используются формулы (21.42) и (21.45).
Решая систему (21.52), получим Из формул (21.42) и (21.45) при 9=0,3 следует о =ст = — и,= — =6.10 — =б МПа; (П (г) 2«а 2«Р . з кН Н а м т (1) = т(2) = 0 ХТ «Т Эти значения совпадают с точным решением рассматриваемой задачи. ГЛАВА 22 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ $ 22.1. Простейшие задачи теории пластичности В главе 3 были рассмотрены основные свойства пластичных тел, наблюдаемые в опытах при одноосном растяжении стального стержня. Напомним, что при напряжениях, равных пределу текучести о„на диаграмме тк- е имеется площадка текучести (рис. 22.1, а), соответствующая росту деформаций при постоянных напряжениях. Одной из наиболее простых аппроксимаций реальной диаграммы растяжения является диаграмма Прандтля (рис.
22.1, б), согласно которой площадка текучести считается бесконечной. Такое предположение является вполне оправданным, поскольку деформации е*, соответствующие концу площадки текучести на реальной диаграмме, для многих материалов в 30 —:40 раз превышают деформации е„соответствующие концу линейного участка. С помощью диаграммы Прандтля удается довольно просто решить многие задачи теории пластичности. Одна из таких задач, посвященная расчету статически неопределимой стержневой системы, была рассмотрена в 9 3.7.
В данном параграфе приводятся решения еще двух простых задач: упруго-пластический изгиб балки и упруго-пластическое М о= — у. У (22.1) Наибольшие нормальные напряжения и„, имеют место в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси (у=+Ь~2).
На рис. 22.3, а показана соответствующая эпюра напряжений. При чистом изгибе момент М является постоянным по длине балки и элюры напряжений во всех сечениях одинаковы. Прн решении задачи в упруго-пластической постановке будем полагать, что при сжатии также справедлива диаграмма Прандтля и пределы текучести при растяжении и сжатии равны. Увеличение момента М веде~ к увеличению напряжений и при определенном значении М=М, в крайних волокнах они достигнут значения о, (рис.
22.3„6). Подставив в (22.1) о=о„ у=Ь1'2, найдем соответствующее значение изгибающего момента М,=2о,1~Ь. Учитывая, что для прямоугольного сечения У=ЬЬз~12, получим (22.2) Б) а) Рис. 22.3 498 кручение круглого стержня. При этом во второй задаче используется диаграмма Прандтля для чистого сдвига (рис. 22.1, и). Ч Упруго-пластический изгиб Рис. 22.2 балки. Простейшее решение рассматриваемой задачи получается для случая чистого изгиба балки прямоугольного сечения (рис. 22.2). При чистом изгибе в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. Решение данной задачи в упругой постановке приведено в 8 7.5 и имеет вид Полученное значение момента соответствует состоянию, при котором в балке возникают первые пластические деформации.
При дальнейшем увеличении нагрузки напряжения в крайних волокнах в соответствии с диаграммой Прандтля остаются постоянными, а рост момента компенсируется увеличением напряжений в средней части балки ( ис. 22.3, и). При этом материал во внутренних слоях ~~у~<у, находится в упругом состоянии, а в крайних слоях (~у~>у, — в пластическом. Предельное состояние наступает, когда напряжения во всех волокнах в нижней и верхней частях балки достигнут значения о, (рис. 22.3, г).
Соответствующий этому состоянию изгибающий момент называется предельным или разрушающим моментом, который можно вычислить по формуле М „=Цоус(Г. Учитывая, что интегралы по верхней и нижней половинам сечения равны, и вынося из под знака интеграла постоянное значение о=о„получим М„„=2о, Ц у~Ж г~г Интеграл, входящий в это выражение, равен статическому моменту половины сечения и обозначается Вп2.
Таким образом, для разрушающего момента получим М... =2о,5"'. (22.3) Для прямоугольника 5"2=ЬЬ'/8. Подставив это выражение в (22.3), найдем е ьй1 4 Отношение 13 = М .„~М,= 1,5 характеризует запас прочности балок по отношенйю к состоянию, при котором в балке возникают первые пластические деформации. Для прокатных двутавров 13=1,15 —:1,17. Это существенно меньше, чем для прямоугольного сечения, что объясняется рациональностью двутаврового сечения по сравнению с прямоугольным. Рассмотренный способ расчета балок может использоваться и в случае поперечного изгиба, если учесть, что влияние сдвигов на величину нормальных напряжений незначительно.
На рис. 22.4, а показана балка, нагруженная в середине сосредоточенной силой Р. Наибольший изгибающий момент возникает в среднем сечении балки. При достижении моментом величины М, (эпюра 1) в точках А и В (рис. 22.4, б) появятся первые пластические деформации. С увеличением силы Р до некоторого значения Р, момент в среднем сечении достигает величины М, (эпюра 2), а в сечениях О и Е моменты достигнут Рис. 22.5 (22.7) М „и=с~, И;, (22.4) где И' =25п2 (22.5) лАЭ М =т —. т т (22.8) /'ч'= Ц сЫГ= О.
(22.6) Рис. 22.6 а) Р величины М,. Прн этом пластические зоны распространятся в глубь балки (на рис, 22.4, 6 и заштрихованы). Предельным состоянием будет такое, при котором пластические зоны сомкнут- Я 1 ся (показаны пунктиром). При этом в среднем сечении балки в к М образуется так называемый пла) Ми стический шарнир. Эпюра напряжений, соответствующая образованию пластического шарнира, показана на рис. 22.3, г.
Образой ванне пластического шарнира в статически определимых балках ведет к их разрушению, а в статически неопределимых— к понижению степени статической неопределимости на единицу. Для вычисления изгибающего момента, соответствующего образованию пластического шарнира, можно использовать формулу (22.3), которую перепишем в виде называется пластическим моментом сопротивления. Для прямоугольного сечения И;=ой'/4. Формулы (22.4), (22.5) могут использоваться для расчета любых балок, сечение которых симметрично относительно горизонтальной оси.
Так, например, для круга о ь 2 = 2Я '/3 и Иг, = 4Я з/3. Если сечение балки несимметрично относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести сечения, то нейтральная ось при развитии пластических деформаций смещается. Положение нейтральной оси при образовании пластического шарнира может быть найдено из условия Учитывая, что при образовании пластического шарнира напряжения в сжатой и растянутой зонах сечения равны по абсолютной величине о„ из (22.6) получим о,(à — Г,)=0, где Г, и Г,— соответственно площади зон растяжения и сжатия. Отсюда найдем условие, определяющее положение нейтральной оси: г; —,' вь Г,=Г,. Например, для равнобедренного треугольника (рис. 22.5) площади частей сечения, лежащих выше и ниже оси, "'"" "" ги Гв проходящей через центр тяжести, не в равны (Г, ~Г,) и при образовании пластического шарнира нейтральная ось сместится вниз.
Упруго-пластическое кручение круглого стержня. При кручении круглого стержня отличными от нуля являются напряжения (здесь ось Ог направлена по оси стержня). которые в упругой задаче 6 8.2) определяются формулой Соответствующая эпюра напряжений показана на рис. 22.6, а. Увеличение крутящего момента М„ведет к росту напряжений до тех пор, пока наибольшие напряжения вблизи контура сечения в соответствии с диаграммой Прандтля не достигнут предела текучести при сдвиге т, (рис.
22.6, б). Соответствующее значение момента может быть определено из (22.7). Учитывая, что т,=М,Я/,/е, а / =яЯ4/2, найдем В этом состоянии на контуре сечения появляются первые пластические деформации. При дальнейшем увеличении момента напряжения вблизи контура в соответствии с диаграммой Прандтля (рнс. 22.1, в) остаются постоянными, равными а приращение момента компенсируется увеличением напряжений во внутренних кольцевых слоях сечения (рис. 22.6, в).
При этом внутренняя часть стержня, где напряжения не превышают т,(г<г,), находится в 'упругом состоянии и называется упругим ядром. а) б) Ь) г) Предельное состояние наступает, когда напряжения во всем сечении достигнут предела текучести т, (рис. 22.6, г). Крутящий момент в этом состоянии равен гк я Мрут Ц у,~ у1Р= ) с10 з1 т,у 1у=-ггК т' у о о Разделив полученное выражение на значение крутящего момента, определяемого формулой (22.8), получим (3 = =М„„/М,=4/3. Интенсивность напряжений су;= — (су„— о,)г+(о„— о,)г+(о,— о„)г+6(тг,+тг,+тг„).
(22,9) ,Г2 Интенсивность деформаций е1 = (ех еу) + (еу ет) + (ет ех) + !г (уху+ туев + у~~~). (22. 10) Эти же величины могут быть выражены соответственно через главные напряжения и главные деформации: 9 22.2.Основы деформационной теории пластичности В настоящее время существуют две теории пластичности. Первая — деформациониая теория пластичности, называемая также теорией малых упруго-пластических деформаций, получила свое развитие в многочисленных работах А. А.
Ильюшина. В основу этой теории положены физические соотношения, связывающие напряжения и деформации. Как показывают экспериментальные исследования, деформационная теория пластичности справедлива при относительно небольших пластических деформациях при осуществлении простого нагружения.
Последний термин определяет такое нагружение, при котором все внешние нагрузки изменяются пропорционально одному параметру, например, времени. Вторая теория — теория течения, в которой физические соотношения связывают напряжения с приращениями деформаций илн скоростями деформаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
