2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 63
Текст из файла (страница 63)
ху. т =, 'т 1 Здесь Е . у Е1 =, , 'ч1 = —,' й1 = (1+ ч) (х 1 уг' 1 ч' (19.28) Обратные равенства имеют вид Е= ', Ег', ч= '; и= ' аг. (19.28,а) (1+уг)' 1-ууг 1+2уг Плоское напряженное состояние при температурном поле Таким образом, для отыскания шести неизвестных функций ах, а„а„тх„т„, тхх необходимо решить систему из трех уравнений равновесия (19.15) и шести уравнений сплошности (19.22).
При этом должны быть удовлетворены граничные условия (19.16). Т(х,у, г) имеет место в тонкой пластине толщиной й, срединная плоскость которой расположена в плоскости Оху„а плоскости г = + й/2 свободны от внешних сил (рис. 19.3). Без существенной погрешности можно принять, что в этом случае о., = т„, = т,„= О, (19.29) 9 а напряжения а„, о„и т„, распределены Рис.
19.3 равномерно по толщине пластины. С учетом (19.29) соотношения между напряжениями и деформациями (19.13) принимают вид е„= — (гу — чту,)+ ъ Т; ! 1 ау = — (с!у — лтх)+ иТ; 2(1+ у) У»у (19.30) Деформация е, определяется с помощью с» и а, по формуле с»= — — -(с»+е )+ и?. ! — и 1 — и (19.31) Соотношения (19.30) для плоского напряженного состояния имеют такую же структуру, как и соотношения (19.27) для плоской деформации. Только в последние вместо Е, ч и и входят Е,, ч, и п,, связанные с Е, к и и соотношениями (19.28).
Чтобы перейти от плоской деформации к плоскому напряженному состоянию надо в соотношения (19.27) вместо Е, ч и и подставить их значения из равенств (19.28,а), затем Е,, к, и п, заменить иа Е, к и и. Для обратного перехода от плоского напряженного состояния к плоской деформации надо в соотношениях (19.30) вначале Е, ч и е! заменить на Е!, х, и и,, затем вместо Е„!», и е1, подставить их значения из равенств (19.28).
При решении плоской задачи термоупругости в перемещениях в качестве неизвестных принимаются перемещения и и о. В случае плоской деформации, принимая в соотношениях (19.17) и»=0 и учитывая, что все производные по г равны нулю, получим следующие два уравнения: (19.32) (Х+ р) — ( — + — ~) + 1!7хо — (ЗХ+ 21!) и — = О. ду! дх ду/ ду 410 Частное решение этой системы будем искать в виде (19.33) дх ' ду ' где функция Ф называется гпермоупругим потенциалом перемещений. Подставляя (19.33) в (19.32), для Ф получим следующее уравнение дх дух Х -~ 2!» ! — » Если в это равенство вместо ч и е! подставить их значения из (! 9.28, а), затем 9, и и! заменить на х и и, получим соответствующее уравнение для Ф в случае плоского напряженного состояния в виде ЧхФ=(1+ 1иТ.
(19.35) В случае стационарных температурных полей имеем д»т д»т поэтому, применив операцию 7' к уравнению (19.34) или (19.35), получим д»Ф д»Ф д»Ф Используя соотношения Коши (19.24) и равенства (19.33), найдем деформации а с помощью соотношений (19.27) или (19.30) получим напряжения (19.34) 411 Соотношения (19.33), (19.37) и (19.38) справедливы как для плоской деформации, так и для плоского напряженного состояния.
Таким образом, если из уравнений (19.34) или (19.35) определен термоупругий потенциал перемещений Ф, то перемещения, деформации и напряжения находятся простым дифференцированием в соответствии с формулами (19.33), (19.37) и (19,38), В связи с тем, что термоупругий потенциал перемещений дает лишь частное решение системы (19.32), получаемые с его помощью напряжения (19. 38) в общем случае не будут удовлетворять однородным граничным условиям. (19.46) (19.47) д2 дг ди ду' ' дх ' "г дхду' (19.39) д2 а„= а !т1+ а '„р! =, (гр — 26Ф); у' д' (19.40) дхду Т(г) = — ' 1и-. (19.49) !гг- Ь г и 7~(а„+а )+ — ЧхТ=О.
(19.41) Ряс. 19.4 формулам (19.7), (19.34) термоупругого потенциала (19.50) Ф= — г~ 1и-+1 !ив Ь и (19. 51) 413 412 Следовательно, чтобы граница была свободна от внешних воздействий, надо наложить такое решение уравнений теории упругости, которое на поверхности тела будет давать значения напряжений, равные по величине и противоположные по знаку тем, которые следуют из равенств (19.38). Эта дополнительная задача является обычной задачей теории упругости. Ее решение можно найти через функцию напряжений Эри по формулам где Ф вЂ” бигармоническая функция 6 17.3). Окончательное решение термоупругой задачи получим суммированием выражений (19.38) и (19.39): При решении плоской задачи термоупругости в напряжениях в качестве неизвестных принимаются напряжения а„, ог и т„,. Учитывая равенства (19.26) для остальных напряжений, в случае плоской деформации из уравнений (19.22) получим Если в это уравнение вместо Е, и и м подставить их значения из равенств (19.28,а), затем Е„и, и х, заменить на Е, м и и, получим уравнение сплошности для случая плоского напряженного состояния 17~(а„+ а )+Еи172Т=О.
(19.42) Введя функцию напряжений Эри, связанную с напряжениями а„, а, и т„, формулами, аналогичными (19.39), и подставив их в (19.41) и (19.42), получим Ч Чгхр+ Е К Т=О; 1 — р гг~у~%+ЕрхУ Т=О. (19,44) Общее решение этих уравнений можно представить в виде Ва+ <т1 (19,45) где гд'Р' — общее решение бигармонического уравнения У2 у '1р!Р! = О, а гр'т! — частное решение уравнения при плоской деформации, или частное решение уравнения У~,р!т! ! ЕаТ 0 (19.48) при плоском напряженном состоянии. 8 19.4.
Термоупругие напряження в полом цилиндре при изменении температуры по радиусу Пусть внутренняя поверхность длинного цилиндра имеет постоянную температуру Т= Т„а внешняя поверхность имеет температуру, равную Т=О (рис. 19.4). Используем удобную для этого случая полярную систему координат. В таком цилиндре возникает стационарное осесимметричное температурное поле Т(г).
Соответствующая задача теплопроводности решена в 9 19.1. Выражение для Т(г) можно получить из (19.11), положив Тх=О: В результате действия температурного поля Т(г) вдали от концов цилиндра возникает плоская осесимметричная деформация. Решим эту задачу в перемещениях. Для этого сначала по и (19.49) запишем уравнение для перемещений Ф вЂ” — ~г — ( = иТ= ' 1и-. 1 Н!Г дФ! 1и-р, 1-Г~ аТ, Ь г Й(, дгу) 1-у 1-у Ь г' !и.
и Интегрируя это уравнение дважды, найдем частное решение где принято обозначение Окончательные значения напряжений определяются как суммы по формулам (19.53) и (19.55) в следующем виде: 1 1+ч К= — — гхТ!. 4 !— (19. 52) !т„= о!т!+ о!а! = — 46К о„'= — 26 —. — = — 21п-+1 «И ~6~ !г Ь гИг !Ь~, г 1и- а !п — —,+ ! Ь' г' О =С!2"2+Ои~г2= — 46К (19. 53) — + Ь Ь' 1п — 1 и 2 а!уФ !22, Ь! !ив а Нормальные напряжения о, можно найти по формуле (19.26).
Поскольку сумма нормальных напряжений является инвариантом, то о„+ о можно заменить на о„+ оп. Тогда получим 21п--ч Ь су, = — 46К вЂ” + г 2ч 1, Ь2 1п — 1 !т!( ) 26К 2+ ! 1п— а (19. 54) с!!~! (Ь) =— !и— а 2 — 2 — 1 сг!г! = 26К вЂ” — +— Ь2 Ь вЂ” — 1 1па2 а (19.55) 414 Выражения для напряжений сг)т! и оп!г! через функцию Ф(!) найдем с учетом формул (18.35), заменив в последних гр на — 2СФ. В результате получим Положив в первой из этих формул г = а и г = Ь, можно заметить, что на ненагруженных боковых поверхностях цилиндра не выполняются условия равенства нулю радиальных нормальных напряжений: Чтобы удовлетворить указанным условиям, необходимо на боковых поверхностях цилиндра приложить внешние нагрузки р, = — о„'т'(а) и р,= — о~~!(Ь). Таким образом, получим известную задачу Ляме Я 18,5) для полого цилиндра при действии внутреннего давления р, и внешнего давления р,.
Напряжения гг',а! и о!а! в задаче Лиме определяются по формулам (18.47). Подставляя в них значения р, и р„получим рг 2+! ов = 26К вЂ” +— 1п— 2 и 1п— Ь г ,пЬ а 1,г — — 1 г' Ь' — — 1 а ГЛАВА 20 ИЗГИБ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКИХ ПЛАСТИН й 20.1. Основные понятия и гипотезы К категории пластин относятся конструктивные элементы, у которых один размер (толщина) значительно меньше двух других характерных размеров (размеров в плане). Последние в свою очередь имеют один порядок.
Например, на рис. 20.1 показаны наиболее часто встречающиеся в инженерной практике прямоугольная и круглая пластины. о При расчете пластин вводятся понятия о сре- 1ь динной плоскости и ли- $ ч( М нейном элементе. Плосс>ььиннаь ьмекость кость, которая делит пластину пополам по толщине, называется сре>)(г,Э) динкой плоскостью. Отрезок прямой, со- единяющий внешние по- Ъ В х верхности пластины перпендикулярно к средин'а' (ь ной плоскости, называет- ся линейным элементом. Ряс. 20.! Длина линейного элемен- та равна толщине пластины )>.
Линия пересечения срединной плоскости с боковой поверхностью пластины называется контуром. Пластина может быть соответствующим образом закреплена по контуру а также может иметь промежуточные опоры. Часть контура пластины может быть свободна от закреплений. В срединной плоскости обычно располагаются координатные оси, например, оси Ох и Оу для прямоугольной пластины (рис. 20.1, а). Ось Ог направляется перпендикулярно к срединной плоскости, чаще всего вниз.
41В Пластины могут быть постоянной или переменной толщины. Пластины, являющиеся конструктивными элементами строительных конструкций, как правило, имеют постоянную толщину. Изгиб пластины вызывается действием поперечных нагрузок, перпендикулярных к срединной плоскости. Например, на рис. 20.1, а показана поперечная нагрузка д(х, у), распределенная по верхней поверхности пластины. При изгибе пластина искривляется и ее срединная плоскость превра>цается в изогнутую поверхность.
Точки срединной плоскости получают при изгибе поперечные перемещения «прогибы) и. В зависимости от соотношения между основными размерами пластины и ее прогибом пластину можно отнести к различным категориям. К категории толстых плит относятся пластины, у которых толщина составляет 1>3 —:1/5 от минимального размера в плане.
Толс~ые плиты встречаются в инженерной практике в качестве массивных элементов фундаментов зданий, гидротехнических сооружений, опорных конструкций станков и т. п. Расчет толстых плит производится по сугцеству как трехмерных тел на основании уравнений пространственной задачи теории упругости. К категории гибких пластин относятся пластины, у которых прогибы соизмеримы с толщиной (>г)й/4). Такие пластины применяются в приборостроении, авиастроении (элементы обшивки самолетов и ракет) и т.
и. Расчет гибких пластин производится с помощью уравнений, учитывающих геометрическую нелинейность задачи. Пластины, используемые в строительных конструкциях, чаще всего можно отнести к категории тонких пластин. Это железобетонные плиты и панели жилых и промышленных зданий, металлические настилы, днища резервуаров и т.
п. Для тонких пластин обычно принимаются следующие соотношения: » 1 !» — — — — >ь' ~ (—, а 5 80 4 где а — наименьший размер пластины в плане. Для расчета тонких пластин разработана так называемая техническая теория изгиба, в основу которой положены следующие гипотезы. 1, Линейный элемент при изгибе остается >грямь>м и перпендикулярным к изогнутой срединной поверхности пластины. На рис. 20.2 показано положение линейного элемента аб до и после деформации. При изгибе он поворачивается в плоскостях Ох: и Оуг на некоторые углы !р, и >р> по отношению к своему первоначальному положению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
