2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 60
Текст из файла (страница 60)
В результате для напряжений о„, о„ 1' т„получим 0 2р спзО су„= — — -; сз,=т„,=О. (18.30) Г Чтобы наглядно представить картину распределения напряжений в полуплоскости, французский ученый Буссинеск предложил воспользоваться следующим построением (рис. 18.11). Через точку (18.32) 1) 2хз ~ 9(1)з11 л [х -1-(у — З) ) Рне. 18.12 О приложения силы Р проведем окружность произвольного диаметра 22, касающуюся границы полуплоскости. В произвольной точке А(г, О) окружности изобразим главную площадку, на которой действует напряжение тт„. Выразим переменную к через диаметр к»: т=Осо88 и, подставив ее в (18.30), получим о„= — —.
(18.31) лрз Отсюда следует, что во всех точках окружности напряжения о„ одинаковы. Множество окружностей, касающихся границы полуплоскости в точке приложения силы Р, называются кругами Буееинеека. При расчете фундаментов необходимо знать распределение напряжений в основании фундамента по горизонтальным и вертикальным сечениям. Выражения для этих напряжений получим, положив в формулах (18.27) и=90' 2рхз 2рху' п„=— о =— л(хз+уз)з' » л(хз-»уз)з' 2рх» у х» ( По формулам (18.30) и (18.32) еЦ» = з)к11 могут быть найдены напряжения а(у) в произвольной точке полуплоско- в сти за исключением точки прнло- 8 жения силы, в которой напряже- » зкк ния обращаются в бесконечность. 8 На рис.
18.12„а, б изображены -1 эпюры ет„и т,„для двух горизон- У тальных сечений х=хо и х=2хо, М а на рис. 18.12, н — эпюры о» для двух вертикальных сечений у=уо зе и у=2уо Нормальные напряжения о„ имеют наибольшую величину под силой Р и убывают с удалением от точки приложения силы. Касательные напряжения т„, на оси Ох равны нулю. На некотором расстоянии от оси Ох они достигают наибольшей величины, а затем убывают. Характер изменения нормальных напряжений о; в вертикальном направлении аналогичен характеру изменения напряжений т„, в горизонтальном направлении. Полученное решение можно распространить на случай нагружения полуплоскости распределенной нагрузкой д(у), приложенной на участке а<у<Ь (рис. 18.13). Для этого по формулам (18.32) определим напряжения зло„, е(о„ест„, в произвольной точке М(х, у) полуплоскости от действия элементарной силы ф = з7 (1) Й, где 1 — вспомогательная переменная, изменяющаяся в пределах а <1< Ь.
Учитывая, что точка М находится на расстоянии у — 1 от линии действия силы к(р, по первой из формул (18.32) получим 2,фзхз ает„=— л [х'+(у- з) Ч' Проинтегрировав это выражение по переменной 1 в пределах от 1=и до 1=Ь, получим напряжение а„от действия распределенной нагрузки з) у Выражения для «т» и т„, имеют аналогичный вид. В случае равномерно распределенной нагрузки д = соп81, интегралы *, входящие в формулы для о„, о„т к» легко вычисляются. В результате получим следующие окончательные формулы для напряжений * Бронштейн И.
Н., Семенпяев К. А. Справочник по математике, кНаука», М., 1980. 389 ч Г х(у — а) х(у — Ь) у — а у — Ь) Ох— , + агс18 — — агс18 — ~; 22 ( 22, (у е)2 Х2.1 (у Ь)2 Х Х д Г х(у — а) х(у — Ь) я у — Ь1 2 2 , + агс18 — агс18 22 ~ х'+(у — а)' х2+(у — Ь)' х х (18.33) ч ) (у в )' (у — ь)' 22 ~Х2+(у а)2 х2+(у — Ь)2 8 18.4. Полярно-симметричное распределение напряжений (18.34) 2 2 1'9 ГГ2=— 1„2 ' 1 Ьр 2З„=- —; г 4Ь (18. 35) Уравнение (18.34) можно записать в следующем виде 442р 2,12<р 1,12,р 1,Ьр +- — — — + — — =О. 424 Ь,з 2 1: 2 2,12 (18.36) Это обыкновенное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами называется уравнением типа Эйлера.
С помощью замены переменной г=е'; 1=1пг (18.37) его можно свести к уравнению с постоянными коэффициентами. Для этого выразим производные функции 2р по г через производные по переменной 1: ,хр хр,42 1 19,42 1 / 42р 422рз Гзф 1 / 42р ~2ф 412<р) й й Ыг 2 412 ' 2Ь' г'( 412 42',) ' 2Ь2 22~ й 212 4Ь2 2) Полярно-симметричным называется такое распределение напряжений в теле, при котором напряжения не зависят от полярного угла 9. Такое напряженное состояние возникает, например, в круглой трубе постоянного сечения, нагруженной внутренним и внешним давлениями р, и рз или скручивающими моментами, приложенными к торцам.
Исключая из рассмотрения кручение, следует положить т„,=О. В этом случае функция напряжений <р также не зависит от полярного угла. Бигармоническое уравнение (18.20) и формулы для напряжений (18.21) принимают следующий вид; Подставив эти выражения в (18.36), получим обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами Решение этого уравнения ищем в виде <р = е".
(18.39) Подставив (18.39) в (18.38), получим характеристическое уравнение ),г(з 2)г =О, которое имеет корни 4 2 =хг.=О; 2"2 =14 — — 2. В соответствии с этим общее решение уравнения (18.38) имеет вид (18.42) г„,=О. 8 18.б. Толстостенная труба под действием равномерного внутреннего и внешнего давлений (задача Ляме) Вначале рассмотрим более простую задачу: сплошной диск или цилиндр, со свободными торцами, нагруженный на боковой поверхности равномерным давлением р (рис. 18.14).
391 <р= С, +С21+ Сзе '+ Сх1е~'. Возвращаясь к переменной г с помощью (1837), получим окончательное выражение для функции напряжений р=С,+С 1п +С +С )п (18.41) Заметим, что решение (18.41) уравнения (18.36) можно получить непосредственно, ие преобразовывая его к уравнению с постоянными коэффициентами. Для этого надо в выражении (18.39) вернуться к переменной г: Подставив это выражение в (18.36), получим характеристическое уравнение (18.40). Учитывая, что в этом случае частные решения уравнения (18.36), соответствующие кратным корням характеристического уравнения, отличаются множителем 1пг, получим общее решение в виде (18.41). Подставив (18.41) в (18.35), получим формулы для напряжений о „= —,'+ С2 (1+ 2 1п г) + 2Сз; о„= — - — ", + С4(3+21пг)+2С,; р В формулах (18.42) необходимо положигь Сг = С4 = О, так как в противном случае о в центре диска при г = О напряжения О „ о„ и ое будут равны бесконечности.
Произвольная постоянная Сз определяется из граничного условия на боковой поверхности; г=а, сз„=2Сз — — — р. Рис. 18.14 Тогда получим О» = 1:~'В = — Р» (18.43) то есть напряжения во всех точках диска одинаковы. Определим радиальное перемещение и(г). Учитывая осевую симметрию, по формулам (18.4) и (18.5) получим и 1 1 — и се= — = — (ов чо.) = г Е " Е Отсюда найдем (1 — г») рг Е (18.44) Таким образом, радиальное перемещение изменяется в зависимости от г по линейному закону.
Рассмотрим толстостенную трубу со свободными торцами, находящуюся под действием равномерного внутреннего р, н внешнего рз давлений (рис. 18.15). В формулы (18.42) для напряжений входят три произвольных постоянных, в то время как для их определения имеется только два граничных условия; г=а, г=гг, (18.45) о» рз' аи 1 .(о» чсге)! Ыг и ! св =-= — (ае — чсз„). г Е ' Тимошенко С. ~., Гудьер Дж.
Теория упругости, иНаука»», М., !975 392 Известное, что при решении задачи в напряжениях, когда поперечное сечение тела является многосвязной областью, граничных условий оказывается недостаточно для определения произвольных постоянных. К ним необходимо добавить условия однозначности перемещений. Поперечное сечение замкнутой трубы является двухсвязной областью. Для составления условия однозначности перемещений подставим в формулы закона Гука для плоского напряженного состояния (18.5) геометрические соотношения (18.4).
Тогда получим два уравнения Подставив в этн равенства напряжения из (18.42) и проинтегрировав первое из них, найдем и = — Сз — -+ 2Сз — г+ — ' ((1 — Зч) г+ 2 (1 — ч) (г! и г — г)! + С,. Е г Е Е С другой стороны, из второго равенства получим и = — С, — -+ 2 Сз — г+ — ' ( (3 — ч) г+ 2 (1 — ч) г 1п г1 . Е г Е Е Из сравнения этих двух выражений видно, что онн совпадут лишь при условии С4 —— С,=О. С учетом этого будем иметь 1 — ч 1+91 С, и=2Сз — г — Сз ', о„= —,+2Сз; ов= —,+2Сз Е 2 2 Удовлетворив граничным условиям (18.45), найдем произвольные постоянные (рг — р,)а Ь, р,а — ргЬ Ь'- ' ' г(Ь2 — 2) ' С учетом этого получим окончательные выражения для радиального перемещения и напряжений в виде (р,а — р,вг)(1 — ч) (р,— р,)а Ьг(1+в) 1 (Ь2 — а2) Е (Ь2 — а2) Е о — + (рг — р,)а Ь р,а — ргЬ2 Ь вЂ” а г г (~ 2 2)»2 (18.47) (рг — р )агЬ2 р аг ргЬ2 ов= + (Ь'-а')г' Ь'-а' Складывая почленно последние две формулы, получим о„+се=2,, =сопзп р а2 р Ьг Ь -а (18.48) Если торцевые сечения трубы закреплены от продольных перемещений, то а,=О, и труба находится в условиях плоской деформации (см.
9 17.1). При этом для напряжений 393 Таким образом, сумма нормальных напряжений во всех точках трубы одинакова. В этом случае (см. 3 17.2 и формулу (17.16)) при отсутствии нагрузок на свободных торцах осевое напряжение о, = О, и труба находится в условиях плоского напряженного состояния.
При этом осевая деформация сг и осевые перемещения и (2) могут быть определены по формуле Ыи ч е,= — = — -(о„+сге). 212 Е Рис. 18.17 (18.51) г=Ь, о„=О (! 8.52) о„=О; г=а, Ь~+и~ »т„= -р„г»в=р, Ь~ — и ь ) пвг»»г= М. (18.53) 2р,и» о =0 ов= —,'+2Сз+ Св(1+2 1па)=0; —, + 2 С з + Св (1+ 2 !п Ь) = 0; где 7» =(Ь' — а') ' — 4а'Ь' !п'— и 395 394 0'+ ав г»„и о, остаются справедливыми Р» 8в ав формулы (18.47), а напряжение в»г, определяется по формуле (17.6). яр,а 8т ав сг,=»'(о„+ов). (18.50) 1э бв Радиальное перемещение и в Р» этом случае может быть найдено по формуле (18.46), если в ней заменить Е и ч на приведенные постоянные упругости Е, и ч,, определяемые по формулам (17.8), В частном случае, когда труба нагружена только внутренним давлением, то есть р,=О, формулы (18.47) для напряжений принимают вид о„= —,', —,— 1; с»в=~,' ~, —,+1 Эпюры распределения этих напряжений по толщине стенки трубы изображены на рис.
18.16. У внутренней поверхности трубы г = а возникают наибольшие сжимающие напряжения о„и наибольшие растягивающие напряжения г»в: У наружной поверхности трубы г=Ь Заметим, что в рассмотренной задаче осесимметричным является не только напряженное состояние трубы, но и распределение перемещений, так как во всех точках трубы перемещения в окружном направлении равны нулю (с=О). Решение задачи Ляме можно также получить в перемещениях.
При этом отпадает необходимость использования условия однозначности перемещений. 9 18.6. Чистый изгиб кривого бруса (задача Х, С. Головина) Рассмотрим изгиб кривого бруса прямоугольного поперечного сечения, нагруженного на торцах двумя равными по величине и противоположно направленными моментами (рис. 18.17). Ось бруса имеет форму окружности. Так как изгибающие моменты во всех сечениях бруса одинаковы, то напряжения не зависят от полярного угла 0 и могут быть определены по формулам (18.42). Для определения трех произвольных постоянных С,, Сз, С„входящих в (18.42), имеются два граничных условия на внутренней и внешней поверхностях бруса и интегральное граничное условие на торцах бруса, смысл которого состоит в том, что напряжения ив на торцах должны приводиться к паре с моментом М: Подставив выражения (18.42) в (18.52) и (18.53), получим следующую систему трех уравнений: — С з 1и -+(С з + Си) (Ь вЂ” а ) + С4 (Ь ~ 1и Ь вЂ” а 1п а) = М. Решая эту систему уравнений, найдем С,= — а Ь 1п-; Си= — (Ь вЂ” а ); 4М з з Ь 2М и /с Сз = — — '!Ьз — аз+2(Ьз !и Ь вЂ” аз 1п а)1, я Подставив эти величины в формулы '(18.42), получим выражения для напряжений 4М 1а*ь1 гг, = — ~ — 1п „г 4ЬГ 1Г агЬ1 гге= — ~ —— тГе= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
