2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В равенстве (г) выражение в первых квадратных скобках зависит только от х, во вторых — только от у, правая часть — постоянная величина. Так как х и у — независимые переменные, то равенство (г) может выполняться только при условии, что выражения в квадратных скобках являются постоянными величинами: Л (х) — (х — — = со,' (з (У)+ У = сго, ((1) Р х 1, (2зс)Р Е/,~ 2/ 2ЕЗ, Интегрируя эти уравнения, найдем р (( . .З~ !4(х) = — — -~ — — — (+сох+с„; Е.г,[, 2 6 2) (2+ )Р 3 (з(у) — ' У +сгоу+с1г 6 Е7. С учетом этих формул выражения (в) для перемещений запишутся в виде р ! . у 2 и= — ~ — (лу+ — — — -у (+с,оу+с,г; Е.2.(, 6,) (е) — ч(у — вхв +(х — + сох+ сгз, ,2 .. 2 2 2Ег ( ,) (ж) Как видно из формулы (е), перемещение и нелинейно зависит от у и, следовательно, поперечные сечения балки, в том числе и в заделке, не остаются плоскими (рис.
17.10). Сечение х=О в полученном нами решении лишь с некоторым приближением можно считать заделкой, так как при определении постоянных со, с,о, с„, с,г, входящих в выражения (е) и (ж), невозможно удовлетворить граничным условиям и=О, и=О для любых значений у. Поэтому ограничимся требованием, чтобы была неподвижна точка О, лежащая на оси Ох, то есть х=О, У=О, и=с=О. Подставляя эти условия в формулы (е) и (ж), получим с„= с„=О. Для определения постоянных со и с,„потребуем, как это делается в элементарной теории изгиба балок, чтобы в заделке угол поворота касательной к изогнутой оси (рис.
17.10, а) равнялся нулю, .1о есть х=О, У=О, —,=О. Рх а) дЧ вЂ” =О дх опд 'д~ Ряс. 17.10 358 359 Из этого условия, используя формулу (ж), найдем с„=О, С учетом этого из равенств (г) и (д) получим (1,' ч)Р62 сзо =— 4Е.У, Окончательные выражения для перемещений примут вид Р ! х'ч 2-1-ч 3 (1-чч)Ь' а= — — !ху+ — — — уз+ '(' 2 6 4 (и) .з з = — )!ч!у 2 — чхч '+ !х'— 2ЕУ, 1 3) (к) х=О, у=О, †. =0 дч Из этих условий, используя формулы (е), (г) и (д), найдем (14 ч) Рл~ с,о=О; сз=-- 4Е.у', Формулы для перемещений примут вид Р ! х'з (2;-ч) з 1 и = — — !ху+ — — у ЕУ[ 2 6 Р 2 2 2 х (14ч)6 с= —,— ч!у — чху +!х — — + х 2Е2 ( 3 2 а для прогибов оси получим следующие выражения: Полагая во втором выражении у=О, получим уравнение изогнутой оси балки и при х=! — прогиб конца консоли: и (х) = — — — —; с (!) =- (л) Выражения (л) в точности совпадают с выражениями для прогибов консольной балки, полученными в элементарной теории изгиба, основанной на гипотезе плоских сечений.
Вместо равенства нулю угла поворота касательной к изогнутой оси в заделке ди!Ох=О можно потребовать, чтобы равнялся нулю угол поворота нормали к изогнутой оси (рис. 17.10„б),то есть Первые слагаемые в формулах (м) совпадают с выражениями (л), а вторые, имеющие порядок величины (Ь!!)' по сравнению с первыми, учитывают влияние деформаций сдвига на прогибы. Для обычных балок )1!!(1/5, и влияние сдвигов незначительно.
й 17.б. Балка па двух опорах под действием равиомерио распределенной нагрузки Схема балки показана на рис. 17.11. Начало координат выбрано в середине балки. В примере, рассмотренном в 3 17.5, для функции напряжений оказалась подходящей сумма трех членов, взятых из полиномов второй, третьей и четвертой степеней. В рассматриваемом случае к балке приложена равномерно распределенная нагрузка д, поэтому в выражение для р следуе~ добавить члены из полиномов более высоких степеней.
Возьмем, например, функцию <р в виде бигармонических полиномов второй (17.24), третьей (17.26), четвертой (17.30) и пятой (17.32) степеней. Так как ось Оу является осью симметрии, то нормальные напряжения о„(х,у), сз„(х,у), должны быть четными функциями х, а касательные напряжения т„„(х,у) — нечетной функцией х. Поэтому в выражениях (17.25), (17.27), (17.31), (17.33) для нормальных напряжений о„, о, следует положить равными нулю коэффициенты при нечетных степенях х, а для касательных напряжений т„,,— при четных степенях х: Ь 2 —— с з = а з = с(4 —— Ь ~ = а 3 — — с 3 = О.
Тогда для функции 1р получим следующее выражение, удовлетворяющее бигармоническому уравнению (17.22) при любых значениях коэффициентов: а 1 3 22 2 з 1 3 а 4 4 ~р= — ' ху — -у + — ' ху — -у + — (х — у)+ 121 5 ) 6) 5 ) 12 + — ху — -уз + ху+ у+ — 'х+'у 41 3 ) 2 6 2 2 (м) Рис. 17.11 360 и(х) = — — — — — + — х Р! (1 4 ч) Р!з /А ) ЗЕБР. 4Е2„\,! / ' юг х=+1, ) т,хс(У= б ЦЬ вЂ” Л/2 з . г т, = — — х — с(зхк — схху — Ь зх. хз бч 2 2 з~ ох= — 1 У вЂ” — У /+а13У+сг. Ьз~, 3 Ь у= — —, о = — ц; 2,=0.
у = — „о = 0; т „„=. О. Ь з Ьг Ь5 +С 5 х С4 х+Ьзх — 0 3 4 2 — Л/2 — ЛЗ2 х зг Ь Ьз — +азз — х+С4 — х+Ьзх=О. 3 4 2 — Л!? Из этих уравнений найдем ~-,зхх — „з 1'-) — „ С2=0; Ьг азз — +Ьз=О; 4 Ь' аз 5 — + Ь зй = ц. !2 о„= — (3' — х )+ — -у —— бцу г 2 бцу 2 г Ь Ь' Ь' 1,3 1О)' о .= — — 4 — — 3-+1 чГ за У 2 Ьз (в) Збз По формулам (17.20), пренебрегая объемными силами, определим напряжения; Ь, 3 2 2 ,г стх= — — У +з/5~ х У вЂ” — У у) — а4У + — (х- — 2У )+сззУ+с„' 3 ' 3 ' 2 о,=Ь5Х У+ — гУ +аах + — У +ЬзУ+а»,' 2 ~З .3 3 2 Для определения постоянных воспользуемся граничными условиями на верхней и нижней гранях (рис. 17.11): С учетом выражений (а) получим систему четырех уравнений 2 ~з 2 Ь5 х с(5 +ахх +с4 Ьз +а2 ц 2 24 8 2 2 Ь .2 Ь5 х +215 +сг4Х +с4 +Ьз +а2 2 24 8 2 Так как эти уравнения должны удовлетворяться при любых значениях х, необходимо приравнять нулю коэффициенты при различных степенях гс Из второго и четвертого уравнений следует, что Ь, =О.
Вычитая из второго уравнения четвертое. получим с4=0. Складывая первое и третье уравнения, получим а4=0, а,= — ц 2. С учетом этого второе и третье уравнения приводятся к виду Решая эти уравнения, получим Ьз=ЗцЯ2Ь); азз= — бц1Ь'. На левом и правом торцах балки должны выполняз ься следующие граничные условия: х=+1, о„=О; т„=+р,„, (б) где р„(у) — касательные нагрузки на торцах, равнодействующие которых должны быть равны опорным реакциям гс,=Ая=ц1 Так как закон изменения р,х не задан, то второе условие следует представить в интегральной форме, потребовав, чтобы касательные напряжения на торцах приводились к опорным реакциям: Подставив в это условие выражение для т„из (а) с учетом найденных значений коэффициентов, можно убедиться в том, что оно тождественно удовлетворяется.
Подставив х = + 3 в выражение для о'х, получим Из этого выражения видно, что первое из граничных условий (б) при некоторых фиксированных значениях 22'3 и сг и произвольных значениях у не может быть выполнено. Поэтому вновь воспользуемся интегральными граничными условиями. Потребуем, чтобы на торцах обращались в нуль нормальная сила и изгибающий момент; Мг Л/2 Л) Ст З(У 3 з У У +С ЗУ+С2 С(У О Л(2 Л~г Мг ззхУФ з У У +азу +сгг ззУ О. Подставляя найденные постоянные в формулы (а), получим Для сравнения определим напряжения по формулам сопро !ивления материалов: ! /'ъ з Д(л)5","(у) 2(, 4 / ечх/сьз т„ .!.Ъ Ъ' ! Ъз (,4 /' полагают, что ст .= О, хотя эти напряжения могут бьи ь определены (ч 7.6). На рис.
17.12 изображены эпюры наибольших напряжений о,„ о„, т,„для случая 2!/Ь=4. Пунктирная прямая на эпюре о, соответствует решению по формуле сопротивления материалов. Проведенный анализ позволяет сделать заключение о том, что для достаточно длинных балок решения сопротивления материалов и теории упругости дают практически одинаковые результаты. Сравнивая формулы (в) и (г), приходим к следующим выводам. Формуз!ы для касательных напряжений т„,. в обоих случаях совпадают. Первое слагаемое в формуле (в) для о„совпадает с формулой сопротивления материалов. Исследу. ем влияние второго слагаемого на велпчину наиболыпих напряжений о„возникающих в крайних волокнах среднего сечения балки х=-О.
Полагая в первой из формул (в) х=О, у=Ь/2, получим Зчр/ ! ьз ! (д) Как видно из этой формулы, величина второго слагаемого в скобках быстро убывает с уменьшением о.гпошения высо!ы поперечного сечения Ь к длине 2! балки. Так, при Ь/(2!) =0.5; 0,25; 0,1 величина второго слагаемого по сравнению с первым соответственно составляет 6,7; 1,7; 0,3%. Напряжения о, взаимного давления продольных слоев балки имеют наибольшую абсолютную величину о„=с! на верхней грани, в чем можно убедиться, положив во второй из формул (в) у= — Ь/2. Из сравнения этой величины с величиной наибольших напряжений о,. из формул (в) видно, что для достаточно длинных балок (2!/Ь~4) напряжения о,, существенно малы по сравнению с о„.
Поэтому в сопротивлейии материалов обычно Х (с,ч) !я,зЧ !!Я!)) Рис. 17.12 й 17.7. Подпорная стенка треугольного поперечного сечения Решение плоской задачи в полиномах можно применить к расчету подпорной стенки или плотины с треугольным поперечным сечением (рис. 17.13). На вертикальную напорную грань плотины действует гидростатическое давление воды, которое на глубине х равно ух (у — объемный вес воды).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
