2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В результате в основании треугольника возникают напряжения еуу и т„,. Поскольку величина этих напряжений неизвестна, мы не можем написать на грани ОВ условий в напряжениях. Граничные условия в перемещениях записываются также в тех случаях, когда деформирование тела обусловлено не заданными нагрузками, а перемещениями отдельных участков его границы. Пример 16.3. На рис. 16.4 изображено кольцо, находящееся во внешней жесткой обойме.
Внутрь кольца вставляется абсолютно жесткий вал, диаметр которого на величину 25 больше диаметра отверстия. Если использовать в данном примере полярные координаты (г, О) и обозначить перемещения: и †вдо радиуса и и †вдо угловой координаты, то граничные условия следует записать в виде г=а, и=8; г=Ь, и=О.
Здесь следует обратить внимание на то, что уравнение внутренней границы записывается для недеформированного состояния р„, 144 кольца, хотя известно положение этой границы после деформации: г=а+б. Это делается по следующим причинам. Во-первых, в теории упругости рассматриваются малые перемещения (о«а), а, во-вторых, как правило, не решив задачи, мы не.знаем конечного положения границ тела. В силу симметрии перемещения и в этой задаче тождественно равны нулю. Смешанные граничные условия.
Имеется два типа задач со смешанными граничными условиями: а) на одной части поверхности тела заданы напряжения, а на другой — перемещения; б) на одном и том же участке границы часть граничных условий задана в напряжениях, а часть — в перемещениях. Пример с граничными условиями типа (а) показан на рис. 16.3. Граничные условия (16.9) на грани АВ содержат напряжения, а условия (16.10) на грани О †перемещен.
ззз Ряс. 16.6 Рис. 16.5 Рассмотрим смешанные граничные условия типа (б). Пример 1б.4. На рис. 16.5 показано тело прямоугольной формы, нижняя грань которого закреплена на жестком основании. Грань ОА плотно прилегает к абсолютно жесткой стенке, при этом трение по поверхности контакта отсутствует. Под действием давления р тело деформируется. Точки грани ОА не имеют горизонтальных смещений, которым препятствуе~ стенка, то есть на этой грани и=О. В то же время отсутствие трения в зазоре позволяет точкам этой грани свободно перемещаться в вертикальном направлении (при сжатии нагрузкой р тело расширяется в перпендикулярном направлении, то есть иФО). Таким образом, вторым условием на этой грани будет отсутствие касательных напряжений.
В результате граничные условия на участке ОА примут вид х О> и 01 тус О~ что соответствует второму типу смешанных граничных условий. Часто говорят, что рассмотренные граничные условия соответствуют скользящей заделке, которая показана на рис. 16.6. В такой заделке отсутствуют вертикальные смещения и касательные напряжения. На практике встречаются и более сложные случаи, когда одно и то же граничное условие содержит компоненты напряжения и перемещения. Такие условия бывают в контактных зонах при наличии трения, в упругих заделках и т. д.
8 1б.З. Интегральные граничные условия М а= — у, .г (16.11) которая соответствует способу, изображенному на рис. 16.8, в. В этом случае говорят, что решение справедливо во всей области. Если же изгибающий момент приложен в виде пары сил (рис. 16.8, б), то формула (16.11) на торцах не соответствует внешней нагрузке. В подобных задачах используются интегральные граничные условия.
В рассматриваемом примере такое условие имеет вид Пауэр=РЬ. Заметим, что сосредоточенная сила счи- р тается приложенной в точке, которая, как известно, не имеет размеров. В данном Г случае в точке приложения силы напряжения будут стремиться к бесконечное~и. Примеры таких решений встретятся ниже (например, задача Фламана в главе 18). Так Рис.
16.7 же обе~опт дело и в случае нагрузки, приложенной вдоль линии (линия, как известно, не имеет толщины). В реальных задачах область приложения сосредоточенной силы имеет малый, но конечный размер, и напряжения в этой зоне действительно достигают больших (но не бесконечных) значений. Под действием сосредоточенных нагрузок могут появиться местные пластические деформации, произойти смятие и т. д. В рамках теории упругости такие задачи не рассматриваются, а для учета действия таких нагрузок используются интегральные граничные условия.
Пример 16.5. Рассмотрим известную задачу сопротивления материалов — чистый изгиб балки прямоугольного сечения единичной ширины (рис. 16.8). Изгибающий момент, действующий на торцевые сечения балки, может быть приложен различными способами, два из которых показаны на рисунке. Как известно, решение сопротивления материалов дает формулу для напряжений П~ 8) ~Ц Рис.
16.8 ЗЗ7 ЗЗ6 В предыдущем параграфе рассматривались нагрузки, распределенные по поверхности, однако, во многих практических задачах приходится иметь дело с сосредоточенными силами или нагрузками, приложенными вдоль линии (рис. 16.7). Возникает вопрос: как учитывать действие таких поверхностных нагрузок? Очевидно, что в граничные условия в напряжениях они не войдут.
Прежде чем ответить на поставленный вопрос, рассмотрим действие сосредоточенной силы на поверхности тела. Подстановка (16.! 1) в это соотношение обращает его в тождество, если учесть, чго М=Р!и В таких случаях считается, что решение справедливо во всей области, исключая небольшие зоны вблизи участков поверхности, где приложены нагрузки. Основанием для такого заключения является принцип Сен-Венана (см. гл. 1), Справедливость этого принципа подтверждена многочисленными экспериментальными исследованиями.
В 16.4. Постановка задачи теории упругости в перемещениях Если в качестве основных неизвестных выбрать три функции перемещений и, и, и, то полную систему уравнений теории упругости можно свести к трем дифференциальным уравнениям относительно этих функций. Преобразуем первое уравнение из системы (16.1). Для этого выразим входящие в это уравнение напряжения через перемещения с помощью соотношений (16.3, а) и (16.2). ~ дх с"у дх ! дх' тху — — Н вЂ”,"+ —",; т.,=Н вЂ” ',"+ —. Н вЂ”,+ —,+ —, +() +Н) —,+ ' „+ — +Х=О. (16.12) Выражение, стоящее в первых скобках, можно записать в виде Ч2и, где Ч2 — дифференциальный оператор Лапласа д' д' д~ 2+,~+- г' дх2 ду~ дг~ (16.13) Сумма производных, стоящих во вторых скобках, может быть преобразована следующим образом: д !'д„д, д„,'1 дх2 дхду дхдх дх( дх ду д ) дх 338 Продифференцировав эти напряжения соответственно по х, у и к и подставив полученные выражения в первое равенство из (16.1), получим С учетом введенных обозначений уравнение (16.12) принимает вид НЧ "+ Р + Н) + Х Преобразовав аналогичным образом второе и третье уравнения из системы (16.1), получим в совокупности систему трех уравнений НЧ и+().+Н) — +Х=О; Ч' +().+ ) — "+У=О.
НЧ'и+().+Н) д +У=О. (16.14) Уравнения (16.14) называются уравнениями Ляме. По своей сути они являются уравнениями равновесия, выраженными через перемещения. Поскольку при выводе этих уравнений использовались все основные соотношения теории упругости, можно сказать, что уравнения Ляме являются синтезом статических, геометрических и физических уравнений. Наиболее удобно использовать постановку задачи теории упругости в перемещениях, если на границе тела заданы непосредственно перемещения.
Если же граничные условия записаны в напряжениях, то эти условия с помощью закона Гука (16.3, а) и соотношений Коши (16.2) следует преобразовать к такому виду, что они будут включать в себя перемещения. При заданных на границах нагрузках с учетом указанных преобразований граничные условия имеют вид )е+2Н вЂ” дг !+Н д+д," +Н д",+д, =р-' Н вЂ” + — !+ ).е+2Н вЂ” т+Н вЂ” + — н=р„„; Н вЂ” + — !+Н вЂ” + — т+ ).е+2Н вЂ” п=р,„. (16.15) 339 Напомним, что в этих равенствах р, р„, р,„— известные компоненты внешней поверхностной нагрузки.
Уравнения (16.14) совместно с граничными условиями (16.15) позволяют решить задачу теории упругости в перемещениях. После нахождения перемещений и, и, и можно определить деформации из соотношений Коши (16.2), а напряжения— с помощью закона Гука (16.3, а). 8 16.5. Постановка задачи теории упругости в напряжениях Если в качестве основных неизвестных принять шесть компонент тензора напряжений: о„, о,, о„т„., т„, т,„, то для их определения имеются три дифференциальных уравнения (16.!), которых, очевидно, недостаточно для нахождения шести функций. Дополнительными соотношениями могут быть условия совместности деформаций (16.4), (16.5), выраженные с использованием закона Гука (16.3) через напряжения.
При выводе эких соотношений используются также уравнения равновесия (16.1), поэтому условия совместности в напряжениях так же, как и уравнения Ляме являются синтезом статической, геометрической и физической сторон задачи. Не приводя промежуточных выкладок, запишем окончательный вид этих уравнений; дХ !'дХ дУ Ы 1-1-ч дх~ дх ! — ч !! дх ду дху~ 1 д'х дУ ч 1дх дУ дх.! 1+ч дуц ду 1 — ч1 дх ду дх( 1 д~х дУ ч !' дх дУ д21 Ч2.,+ .,= 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
