2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 53
Текст из файла (страница 53)
~++ ~; !+ч дх д 1 — ч1 дх ду дх/ 1 д'ю l дХ дУ! 1+ч дхду 1 ду дх 1 д" (д~ Ч т„+ — —,= — —.+ — ' 1-1-ч дудх 1 дх ду /' (16. 16) где я=о„+о,+о,— первый инвариант тензора напряжений, Соотношения (16.16) называются уравнениями Бельтрами— Митчелла. При отсутствии или постоянстве объемных сил Х, х', они были получены итальянским ученым Е. Бельтрами в 1892 г. Уравнения (16.16), учитывающие переменные объемные силы, выведены австралийским механиком Дж.
Митчеллом в 1899 г. Уравнения Бельтрами — Митчелла называются условиями совместности в напряжениях. Вместе с уравнениями равновесия (16.1) они составляют полную систему уравнений для решения задачи теории упругости в напряжениях. Такая постановка задачи наиболее удобна, если на границе тела заданы напряжения (см. граничные условия (16.7)).
Если же на границе или ее части заданы перемещения, то для решения задачи необходимо сначала по соотношениям Коши (16.2) определить деформации, а затем с помощью закона Гука (16.3, а) определить напряжения. Наряду с двумя рассмо1ренными постановками задач !еории упругости (в перемещениях и в напряжениях) извесгны и другие подходы, когда в качестве искомых функций используются одновременно и перемещения и напряжения (смешанная постановка задачи) или другие, искусственно вводимые функции. Один из таких подходов будет рассмотрен в следующей главе.
В заключение еще раз подчеркнем, что решение задачи теории упругости должно удовлетворять полной сис~еме уравнений (16.1) — (16.3) и граничным условиям. Во многих случаях решение задачи может быть получено по аналогии с известными решениями, подобрано, «угадано». Существует доказательство теоремы о единственности решения задачи ~еории упругости. Эта теорема позволяет быть уверенным, что решение, удовлетворяющее названным выше соотношениям, единственное.
8 16.6. Простейшие задачи теории упругости В этом параграфе приводятся решения некоторых задач теории упругости, не требующие интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. Решение этих задач получается с помощью логических рассуждений и простейших вычислений. При этом будет показано, что все основные соотношения теории упругости выполняются. На основании теоремы единственности можно сделать вывод, что эти решения правильны и единственны. Всестороннее сжатие тела произвольной формы.
На рис. 16.9 показано тело произвольной формы, находящееся под действием равномерного давления р. Предположим, что вблизи произвольной точки внутри тела имеет место всестороннее сжатие, то есть (16.17) Покажем, что при этом строго выполняются все основные соотношения теории упругости, Очевидно, что, если о!=сонэ!, а то=О, то уравнения равновесия (16.1) обращаются в тождества. Из закона Гука (16.3) получим„что а! также постоянны по объему тела, а 7„=0. Отсюда следует, что условия совместности деформаций Сен-Венана (16.4) и (16.5) также выполняются. Рассмотрим граничные условия в напряжениях (16.7). Проектируя нагрузку Р в любой точке поверхности на оси координат (рис.
!6.10), получим Р1* Рм= Ргп' Р = Рп (16.19) Рис. 16.10 Рис. 16.9 (16.18) Подставляя эти значения, а также напряжения из (16.17) в равенства (16.7), можно убедиться, что они также выполняются. Таким образом, решение рассматриваемой задачи, даваемое формулами (16.17), является правильным.
Следует заметить, что полученное . решение справедливо только для односвязных тел. Если внутри тела имеется полость, то на поверхности полости нагрузка отсутствует и граничные условия (16.7) на этой части поверхности не выполняются. Обычно в таких задачах вблизи полости имеет место концентрация напряжений. В последующих главах будут рассмотрены подобные задачи, Полупространство под действием собственного веса. Задача о вычислении напряжений вблизи произвольной точки полупространства, находящегося под действием собственного веса, широко используется в механике грунтов при расчете подземных сооружений.
В данном случае полупространство представляет собой модель грунтовой среды, а объемная сила Х= 7, где у=сопя! является объемным весом грунта (рис. 16.11). Рассмотрим бесконечно малый элемент, расположенный на Рис. 16.11 глубине х. Пренебрегая вертикальным размером этого элемента по сравнению с х, можно считать, что слой толщиной х оказывает равномерное давление на лежащие ниже слои, при этом на единицу площади приходится давление, равное ух. Таким образом, имеем Чтобы определить напряжения сз и ст„рассмотрим деформации элемента в направлении осей Оу и Ок.
Учитывая, что массив бесконечен в этих направлениях, следует положить е,=е,=О, иначе суммарное увеличение размеров массива было бы также бесконечным. Кроме того, в силу равнозначности направлений Оу и Ос очевидно, что о,= о,. С учком изложенного из закона Гука (16.3) получим е,= — ~а,— ч(а,+о„)) = — '((! — с) ас — ~о„) =О. 1 1 Подставляя сюда напряжения о„из (16.18), найдем с Коэффициент — называется коэффициентом бокового 1 — с отпора. В частности, при с=0,5, что соответствует несжимаемому материалу, этот коэффициент равен единице и все три нормальных напряжения равны ух, то есть имеет место всестороннее (гидростатическое) сжатие.
Легко провери~ь, что решение рассматриваемой задачи, даваемое формулами (16.18) и (!6.19), удовлетворяет всем уравнениям теории упругости и граничным условиям на поверхности полупространства. $ 17.1. Плоская деформация Рис. 17.1 Рис. !7.4 Рис. 17.3 ГЛАВА 1? ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ В общем случае пространственная задача теории упругости сводится к решению сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных. Но существует обширный класс практически важных задач, для которых путем введения некоторых допущений основная система дифференциальных уравнений существенно упрощается. Этот класс задач объединяется одним общим названием — плоская задача теории упругости.
Различают два основных вида плоской задачи— плоскую деформацию и плоское напряженное состояние. Рассмотрим призматическое или цилиндрическое тело (рис. 17.1) с торцами, перпендикулярными к оси Ох. Предполагается, что торцы закреплены таким образом, что их точки могут свободно перемещаться в своей плоскости и не могут перемещаться в направлении оси Оз.
Внешние силы (включая реактивные), приложенные к боковой поверхности тела, направлены нормально к оси Ог и равномерно распределены по длине тела. В плоскостях поперечных сечений тела они образуют самоуравновешенную систему сил. При указанных ограничениях все поперечные сечения тела при деформациях остаются плоскими и не перемещаются в направлении оси Ог. Таким образом, плоская деформация характеризуется тем, что точки тела могут перемещаться только в плоскостях, перпендикулярных к оси Оз: и=и(х,у); н=н(х, у); и =О. (17.1) Если в рассмотренном выше случае торцевые сечения тела остаются плоскими, но могут поступательно переме1цаться в направлении оси Оз, то в отличие от (17.1) перемещения и не равны нулю, а изменяются в зависимости от координаты з (с точностью до жесткого смещения) по линейному закону: и =Се. (17.2) Такое деформированное состояние тела иногда называют обобщенной плоской деформацией. Плоская деформация обычно возникает в телах, имеющих большую протяженность в направлении оси Ог.
В качестве практического примера плоской деформации можно привести подпорную стенку или плотину (рис. 17.2), нагруженную гидр о статическим давлением воды и силами тяжести от собственного веса. Если предположить, что торцы плотины жестко закреплены, то все сечения плотины, включая торцевые, находятся в условиях плоской деформации. Если же предположить, что торцы свободны от закреплений, то перемещениям сечений плотины в направлении оси Ог препятствуют связи сдвига, имеющиеся между подошвой плотины и основанием вследствие сцепления с грунтом. Так как связи сдвига не являются абсолютно жесткими, то концевые части плотины могут смещаться в направлении оси Ог.
В этом случае на основании принципа Сен-Венана в условиях плоской деформации будут находиться сечения, достаточно удаленные от торцов. В аналогичных условиях находятся прямолинейный участок тоннеля (рис. 17.3), цилиндрический каток опоры моста (рис. 17.4). В соответствии с (17.1) общие уравнения теории упругости (гл. 16) упрощаются следующим образом. си сс ди дс дх' ду' " ду дх (17.3) а ='~'у =7 „=О. (17.4) т„=т,„=О; (17. 5) а, = ч (о„+ о,). (17.6) (17.
10) а, = — — ( а„+ гу,) = ах+ Ьу+ с. (17.16) е„с е с г (! 7.1!) г+ -.г ду2 !г!.2 деду (17,12) 346 Из шести уравнений Коши (16.2) остаются три: Три деформации обращаются в нуль: С учетом этого по формулам закона Гука (16.3) получим Подставляя (17.6) в (16.3), оставшиеся три формулы закона Гука можно преобразовать к виду 1 1 2„ с„= — (о„— чга,); е,= — (о,— чга„); Т„,= — *', (17,7) ! -! ! где Е„ч, и б,— приведенные постоянные упругости, определя- емые по формулам Е ч Е, Е Е,=,; ч,= —; б,=б= = . (17.8) 1 — ч' ' 1 — ч ' 2(1+ч,) 2(1+ч) Соответствующие обратные соотношения закона Гука можно представить в виде а„ = ', ( а„+ч! с, ) о,= ',( с,+ч! сх); т„, = б27„, . (17.9) ! Из соотношений (17.1), (17.3), (17.9) следует, что перемещения, деформации и напряжения не зависят от к.
Поэтому из трех уравнений равновесия (16.1) остаются два: о* се*' Х=О; дгг* со' К=О. +.*+ =; + + сх ду ' дх ду Из шесги уравнений неразрывности деформаций (16.4), (16.5) остается только одно: а остальные тождественно удовлетворяются. Так как во всех точках боковой поверхности тела и= сов(ч, с)=0, то из статических граничных условий (16.7) остаются два: о„l+т„,т =р„„; т,„1+а,т=р,„. й 17.2. Плоское напряженное состояние Двухосным или плоским называется такое напряженное состояние тела, при котором во всех его точках одно из главных напряжений равно нулю. Можно показать *, что плоское напряженное состояние возникает в призматическом или цилиндрическом теле (рис. 17.1) с незакрепленными и ненагруженными торцами, если к боковой поверхности тела приложена система внешних сил, нормальных к оси Ос и изменяющихся в зависимости от с по квадратичному закону симметрично относительно среднего сечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
