2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 55
Текст из файла (страница 55)
6 2 2 6 (17.26) Выражения для напряжений принимают следующий вид: ст„=сзх+йзУ; а =азх+ЬзУ; т„,= — Ьзх — сзУ. (17.27) Дробные коэффициенты берутся с целью получения более простых выражений для напряжений. По формулам (17.20) найдем напряжения: о„=,=сг; а,= —,=аг; т„= — — = — Ьг. (17.25) Зз,з з а«з «з с«ау Получили так называемое однородное напряженное состояние, при котором напряжения во всех точках тела одинаковы.
Такое напряженное состояние возникает в пластине (рис. 17.6), нагруженной на краях равномерно распределенными нормальными р„, р и касательными р„, силами. Т'олщина пластины принята Руе равной единице. В этом случае фф ц р ны: зв Рис. 17.7 ззз г езз 3 ср = — х-+ — х, 2 6 (17.28) то получим напряженное состояние внецснтренного растяжения полосы: оз,=аг+азх; а«=т«у=О. (17.29) В крайних волокнах при х= + Ь/2 напряжения о, имеют наибольшее и наименьшее значения сз)з, сззь о«б аз+ ~зз~ сзг Постоянные аг и аз можно выразить через продольную силу Х, эксцентриситет е и геометрические характеристики поперечного сечения полосы — площадь Г= ЬЬ и момент инерции У, = ЬЬ з/12.
зт з9е М„ аз=-; аз= — =— Г' 2„ Рис. 17.8 Если принять аз = Ьз = сз = О, то получим о„=бе'зу; о,=т„,=-О. Во всех сечениях пластины, нормальных к оси Ох (рис. 17.7), напряжения о «изменяются по линейному закону, причем на оси Ох они равны нулю. Как известно, такое напряженное состояние возникает при чистом изгибе, и формулу для о, можно записать в виде м, ст„= сззУ= — У, Ч где М,— изгибающий момент, р 1ч) У,— момент инерции сечения, нормального к оси Ох. Для создания напряженного состояния чистого изгиба во всех сечениях пластины необходимо, чтобы приложение моментов осуществлялось с помощью нагрузок р„, распределенных по торцам также по линейному закону М, Р« = — у.
1, Однако, согласно принципу Сен-Венана для пластины в виде длинной полосы (!»Ь) детальный способ приложения моментов к ~орцам сказывается на характере распределения напряжений только в сечениях, близких к торцам. Если для полосы, вытянутой по вертикали (рис. 17.8), взять по одному члену из полиномов второй и третьей степени: 352 .2 3923 353 л~ о.= —,+ — *х. Г 2. +555Х У+сзху + У' ' з 455 3, 5' 3 (17. 33) ,=2а4; ...=с4; —.;=2е4. сх4 ' 2356,5 ' ДУ4 О„= — а4У + — (х — 2 у )+554ху; 2 г С 2. + 54ХУ+ У (17.3 ! ) О„==у; Ох=О; б, г А т = — х с4ху — — у = — (.
' — 5ху4)+~'(х4у 1уз)+ 2О ' 12 5 + — (х у — ху )+ — (х у — -у ). С5 3 2 4 55 2 3 1 5 б 6 5 (17.32) Рис. 17.9 12* Тогда формула (17.29) для напряжений о, примет вид Рассмотрим полипом четвертой степени: 4 154 3 ~5 2 2 4 3 54 4 5р= — х+ — ху+ — х у+ — ху+ — у. 12 6 4 6 !2 Теперь бигармоническое уравнение (!7.22) не будет тождесгвенно удовлетворяться при любых значениях коэффициентов, так как четвертые производные от функции 5р не равны нулю; Подставляя эти производные в уравнение (17.22), получим а,+с4+е4=0. Таким образом, из пяти коэффициентов независимыми являются только четыре. Исключая с помощью последне1.о равенства коэффициент е4, перепишем выражение для функции 5р в виде 5р= — '( ' — У')+ — ' 'у+ — '( 'У' — -У')+ —" у'.
(!7.3О) 12 6 4 3 б Этот полипом удовлетворяет бигармоническому уравненикк Выражения для напряжений имеют вид Точно также можно найти полипом пятой степени, тождесгвенно удовлетворяющий бигармоническому уравнению (17.22) при любых значениях коэффициентов. Приведем его выражение без вывода: Выражения для напряжений имеют вид 53„= — За,ху — — у + — '(х — бху )+Ыз(х у — -у ); з '. з 2 з з. з з з 155 з, 5 г 2 35 2 т =а,у — — х — сз(х у — -у ) — с!зху 3 3 При решении задач можно попытаться подобрать подходящую комбинацию из отдельных членов полиномов различных степеней, основываясь, например, на результатах рассмотренных выше задач. В некоторых случаях помогает учет условий симметрии. В первом приближении можно воспользоваться выражениями для напряжений, полученными методами сопротивления материалов.
Если найденная на основе этого решения функция напряжений не удовлетворяет бигармоническому уравнению или граничным условиям, то можно попытаться внести в решение необходимую поправку. Ниже рассмотрены примеры решения плоских задач с использованием выражений (17.24) — (17.33). й 17.5. Изгиб консольной балки силой, приложенной на конце Рассмотрим консольную балку прямоугольного сечения шириной !5=1, нагруженную силой Р (рис. 17.9). Это задача на обобщенное плоское напряженное состояние. Воспользуемся известными формулами сопротивления материалов для напряжений: Найдем входящие в эти формулы величины: изгибающий момент М, = — Р(! — Х); поперечную силу С, С4= — — ' Сз = — Сз.
2 66з Яз У = — = —; 12 12 ~отс 1 2 С1 3 ('2 3 (12= — у + — ху — с,ху, 6 6 (а) Р 11 2 Р/1 Р 2 2г 4 8г (б) тгу: (3+(4.1 ,2 ах(,1 у=+-, ох=О„т„у=О. Ь (Р ) + '.хУ +11 (х)у+(2 (х) 6 6 г =! ! (Х)11+( 2(Х)=0, (г 9 (2,2 ,2 ,1 1(х) (3+С41 ахат 2" Второе условие 412 3(г т „(1у= ) ру„ду=Р.
— 2(2 — 212 367 момент инерции поперечного сечения статический момент отсеченной площади при 6=-1 (см. формул! (7.45)) Подставив эти величины в формулы лля напряжений, получим Р(1 — х) Р( Р ох= — --- — '-у= — --у+--ху; о =-0; г. г. г Используя формулы 117.20), свяжем эти выражения с функцией напряжений: ( (р ( (р о „= —, = (*1 11+ ('г хУ; о у = —, = 0; с 11 ( 12 где через с,. с,, с,, с4 обозначены постоянные множители в формулах (а) для напряжений. Интегрируя первое из этих равенств два раза по у и подставляя полученное з аким образом выражение для (р во второе и третье равенства, последовательно получим Рассмотрим второе и третье из этих равенств.
Так как у — независимая переменная, то второе равенство возможно только при выполнении условий ~",(х)=0; Д(х)=0. Производя интегрирование, найдем ! 1 =- Сз ! 1 = (5 Х+ С(1,( 2 = (7 ' ! г = (' 1Х+ (. 5. Подставляя в третье равенство Г"'1 =с, и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях у, получим С учетом полученных соотношений сумму двух последних слагаемых в выражении для (р можно представить в виде .1!У+1 2 = сз ту+ сьу+ сух+ са. Последние три слагаемых в этом равенстве можно отбросить, так как напряжения выражаются через вторые производные от функции (р. Тогда получим окончательное выражение для функции напряжений тождественно удовлетворяющее бигармоническому уравнению (17.22), и соответствующие формулы для напряжений С2 2 С1 у+С2Х1 1 Оу 0 тху У +С3.
Коэффициенты с,, с,, с, найдем из граничных условий на контуре Я 1б.2, пример 16.1). На нижней и верхней ненагруженных ! ранях имеем Первое условие выполняется тождественно, а из второго найдем Ь~ С3 — Сг 8 На правом торце запишем х=1, а„=О; ту,=р,„, где р,„(у) †касательн нагрузка, равнодействующая которой равна приложенной силе Р. Из первого условия найдем (! Сг!. Сг ,г — У +сз=Рух(У) при некотором заданном законе изменения р,„(у), очевидно, не может выполняться при произвольных значениях у. Потребуем выполнения граничного условия в интегральной форме; Предположим, что р,„изменяется в зависимости от у по тому же закону, что и касательные напряжени„ т,„в поперечных сечениях.
Тогда получим Чг Л(2 — — 'уг+сз с(у= — — 'у +сг — с(У=Р. -л~г — Л/2 Отсюда после интегрирования найдем 12р р р( р(2 с'2 = — = — сг = —, сз = —— =(з 3 *,1 22 Подставив эти значения постоянных в формулы (б), придем к формулам (а). Таким образом, выражения (а) для напряжений, полученные в сопротивлении материалов, удовлетворяют всем уравнениям теории упругости и статическим граничным условиям иа трех гранях балки.
Если касательные силы Р,„распределены по торцу по какому-либо другому закону, то согласно принципу Сен-Венана существенная разница в напряжениях будет только в области, близкой к торцу. Для определения перемещений воспользуемся формулами закона Гука (17.17), в которых выразим деформации через перемещения по формулам Коши (17.3), а вместо напряжений подставим их выражения (а); — = — — (! — х)у; — „= — ( ! — х)у; с х Е.(. оу Е./, Ео с (~-лс)Р(6' ду Гс Е/, (4 / Интегрируя первое из этих уравнений по х, а второе — по у и подставляя найденные перемещения и и и в третье уравнение, получим и= — — ыу — -х у +(з(у); и= (у — ху +(4(х); (в) 2 2 2 Ег(, 2 2( 2 Е/„), Г ' — '(г-'-'Н ""' '1=""-' где 7,(у) и (4(х) — произвольные функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
