2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 59
Текст из файла (страница 59)
д<р с<р яп 0 д<р ' — =соз Π— — — —— дх с«г сО (18.13) (18.9) — =яп9 — '+ — — ' дср . д<р со50 дср ог ' гг г дО (18.10) о.х+ оу = о„+ о,. <Г! ог<р 1 с<р<< — яп20[ —.—,— —, —,). сгд9 г' дО) (18.14) Аналогично получим Ч (о„+оу)=0, где (18.15) 2 <1 о дх' <7<г (18.16) с'<р д'<р дг<р ! оср 1 д'<р <Р г г г г " г сх' су' дг' г дг г' дО' д<р дср дг <1<р дΠ— + дх дг ох дО дл (18.11) дср с<р сг д<р о<0 су дг су дО дс где <1«г г гг гг д9г (18.18) дг г — „' ='-=яп9; д< г дг х —.=-=соя О; сл (18.12) сО у яп0 сО х с050 дл г г оу г' г С помощью несложных преобразований соотношений (18 8) можно получить выражения для напряжений о„, ог, т„через сгг, ое, т,е".
о„= о„соз е О+ ое Яп ' 9 — т ге Яп 29„ ог, = ог Яп' 9+ ое сова 9+ тге Яп 29; 1 т„г=--(о,— ое) яп 29+т„рсоа 20. Сложив почленно первые две из формул (18.8) илн (18.9), получим подтверждение известного свойства перво~о инварианта тензора напряжений при двухосном напряженном состоянии. Уравнения неразрывности деформаций. В () 17.3 было получено уравнение неразрывности деформаций в напряжениях (17.19) в декартовой системе координат для случая, когда объемные силы постоянны илн равны нулю. Это уравнение имеет внл оператор Лапласа.
Для того, чтобы записать оператор Лапласа в полярных координатах, установим связь между частными производнымн произвольной функции в декартовых и полярных координатах. Из курса высшей математики известны формулы для определения частных производных сложной функции двух переменных: С учетом (18.1) и (18,2) получим Используя этн соотношения, найдем частные производные функции ср первого и второго порядка и выражение Ч <р: япО с'<р'г г д'<р .
г с'1 оср 1 д'<р'г дО) ' дг' (<г сг г сО ) дг' <1«г + яп 20 ~- — —, — '); <«1 с'<р 1 д<р<г (,г сгдО г' < 0)' ,«1 дг<р ! <еср'< 5!п20«дгр сл су ( г сгс 0 гг дО) 2 (,дгг Таким образом, в полярной системе координат уравнение неразрывности деформаций плоской задачи в напряжениях для случая, когда объемные силы постоянны или равны нулю, имеет вид Ч'(о„+о,)=0, (18.17) оператор Лапласа в полярных координатах. Уравнение неразрывности (18.17) и уравнения равновесия (18.3) образуют полную систему трех уравнений с тремя неизвестными ст„, ое т.е Как н при решении плоской задачи в декартовых координатах, систему трех уравнений можно свести к одному Таким образом, окончательное выражение для функции напряжений имеет вид (р = рг ~(А + СО) сов О+ ( В+ гг9) яп 9].
Подставляя это выражение в формулы (18.21), найдем на- пряжения ст„= — Р(Сяп9 — У)созО); оп — — т„п — — О. (18.24) Г Напряженное состояние, определяемое равенствами (18.24), часто называют радиальным ъапряженным состоянием. Так как напряжения ос и т„п во всех точках клина равны нулю, то граничные условия (18.22) тождественно удовлетворяются и не позволяют определить произвольные постоянные С и 73. Эти постоянные можно определить из условия равновесия части клина, ограниченной круговым сечением радиуса г (рис. 18.7).
Спроектируем все силы, действующие на этот элемент, на оси Ох и Оу: »10 ) а„гсоаОггО+рсоз()=0; — а г Рис. 18.7 ( о„гяпОг)0+ряп()=0. — г Поде~валяя в эти равенства выражение о„нз (18.24), получим 2С ) созОйпОг)9 — 219 ) сов'Ог)О=сов(); г — и г а 2С ) яп'Ог)9 — 273 ) япОсозОИОг яви. Производя интегрирование и решая полученную систему двух уравнений, найдем постоянные С и В 2а — ггп 2а' 2а»- г1п 2а Подставляя найденные значения постоянных в (18.24), получим окончательное выражение для напряжения о„ 2р (сог асог 0 йп 8 ни 0 ог +' г г,2а+яп 2а 2а — яп 2а Рассмотрим частные случаи действия силы, приложенной в вершине клина.
(18.25) 384 Сжатие клина (рис. 18.8). Решение этой задачи получим из (18.25), приняв ()=0: 2р сог 0 п„=— о.,=т„,=О. 2а»-Нп2а г (18.26) Определим напряжения в декартовой системе координат. Для этого необходимо подставить напряжения (18.26) в формулы (18.9) и исключить в полученных выражениях г, яп О, сов 0 с помощью соотношений (18.2). В результате получим ст„=о„сов О=— г 2р хг 2а» Бгп 2а (хг+у г) г ' ,г а,=о„яп 0=— (18.27) 2а» гго 2а (хг» уг)г т„,= о„яп Осок О=— 2р хгу 2а+ггп2а (хг+уг)г По этим формулам на рис. 18.8 для горизонтального сечения гпп, находящегося на некотором заданном расстоянии хо от вершины, построены эпюры напряже- ний о„, о„т„для клина с углом раствора 2а = 60'. Если сжатый клин рассматривать с позиций сопротивления материалов как стержень переменного сечения, то для сечения тп„площадь которого Равна г (х) = 2хо 18 м, полУчим Р р 0,866р Г(х) 2хо 18 а хо о„=т„у=О. и авгф.
х щЯЯд Отьг огг 13 3923 В этом случае напряжения а„равномерно распределены по сечению (соответствующая эпюра ох изображена на рис. 18.8 пунктиром). При угле и=30' эти напряжения по абсолютной величине на 17% меньше, чем наибольшие напряРис. 18,8 жения, полученные по точным формулам теории упругости (18.27). С увеличением и это расхождение возрастает. Например, при и=45 оно становится равным 36%. Напряжения сгу и т,„, которые не учитываются в сопротивлении материалов, имеют одинаковый порядок с напряжениями о„. Из приведенного анализа можно сделать вывод, что в случае, когда площадь поперечного сечения стержня существенно изменяется по его длине, расчет по формулам сопротивления материалов может привести к значительной погрешности в определении напряжений. 2р ззп 8 о,=— 2а — Нп 2а г аз =т„з — — О.
(18.28) (18.29) Рис. 18.10 (2х«ка)з 12 Г=2х18и; у з о, =-( — — у ~=-(х 18 и — у ). г1 1 г г г 2>«4 ) 2 „'г4з>0 ~ б' 'ззя Р р б8 1,Н х> гз~~д гд"х. М вЂ” рху 3 Зру — у — з з з з > / 2хз«8за 2хз«кза' о,=О; 05;" Зр(хз «8' а — уз) .г',Ь 4х~«8 а Ряс. 18.11 13' 387 Изгиб клина (рис. 18.9). В этом случае в формуле (18.25) следует положить )1=90'. В результате получим Формулы для напряжений в декартовой системе координат выводятся аналогично формулам (18.27) и имеют вид о„=о„сов О=— 2р хзу 2а — Нп2а (хз+уз)з 2р у' ог=о>81п О=— 2а — яп2а (х +уз)з' т„, = су, нп О сов О 2р «уз 2а — ап2а (хз уз)з' Соответствующие этим формулам эпюры напряжений для сечения ггзп, находящегося на расстоянии хп от вершины клина с углом раствора 2и=60, приведены на рис. 18.9.
Приведем решение этой задачи по формулам сопротивления материалов, рассматривая клин как балку с переменной высотой сечения 1з=2х18и и шириной 6=1. Площадь сечения, момент инерции и статический момент Р о отсеченной площади соответственно равны С учетом этого получим следующие формулы для напряжений; Соответствующие этим формулам эпюры напряжений для сечения зпгз при Рис. 18.9 и=30' изображены на рис. 18.9 пунктирными линиями. Как видно из сравнения эпюр, решение по формулам сопротивления материалов как в количественном, так и в качественном отношении существенно отличается от решения теории упругости. С увеличением угла и это отличие увеличивается.
О 18.3. Действие сосредоточенной .силы на полуплоскость (задача Фламана) Под упругой полуплоскостью понимается пластина единичной толщины, неограниченно простирающаяся по одну сторону от горизонтальной границы (рис. 18.10, а). От действия нагрузки р, перпендикулярной к границе полуплоскости и равномерно распределенной по толщине, в полуплоскости возникает обобщенное плоское напряженное состояние (см.
8 17.2). Аналогично под упругим полупространством понимается часть пространства, неограниченно простирающегося по одну сторону от горизонтальной плоскости (рис. 18.10, б). При действии на границе полупространства вертикальной нагрузки р, равномерно распределенной вдоль прямой линии, в полупространстве возникает плоское деформированное состояние (8 17.1). В условиях, близких к этому, находится основание под ленточным фундаментом.
Как в полуплоскости, так и в полупространстве при указанном характере нагружения напряжения су„, о„т„, определяются одинаково. Различие будет в том, что в полупространсгве возникают напряжения а„которые могут быть найдены по формуле (17.6) о,=«>(о„+ о,)=«'(сг„+о,). Решение рассматриваемой задачи можно получить как частный случай задачи о сжатии клина, положив в формулах (18.26), (18.27) и=90".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
