2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Прн этом оказывается, что во всех поперечных сечениях тела сг,=оз=О; т„,=т,„=О, (17.13) а напряжения а„, о„т„, изменяются в зависимости от с также по квадратичному закону симметрично относительно среднего сечения. Введение указанных допущений позволяет получить решение задачи, удовлетворяющее условиям (17.13) и всем уравнениям теории упругости.
Представляет интерес частный случай, когда напряжения не зависят от переменной з: гз„= гу„(х,у); о =о (х, у); т„ = т„,(х,у). (17.14) Такое напряженное состояние возможно только при действии равномерно распределенной по длине нагрузки. Из формул закона Гука (16.3) следует, что деформации е„, е„а„ у„, также не зависят от с, а деформации у„и у,„с учетом (17.13) равны нулю. В таком случае четвертое и пятое из уравнений неразрывности деформаций (16.4), (16.5) тождественно удовлетворяются, а второе, третье и шестое уравнения принимают вид дхг ' дуг ' дхду Интегрируя эти уравнения и учитывая третью из формул закона Гука (16.3) при гг,=О, получим Таким образом, плоское напряженное состояние в призматическом или цилиндрическом теле со свободными торцами, нагруженном постоянной по длине тела поверхностной нагрузкой, возможно только в частном случае„когда сумма напряжений сг„+гг, изменяется в зависимости от переменных х и у по линейному закону или постоянна.
» Тимошенко С. П., Гудиер Дж., Теория упругоег.и, «Наука», М., 1975. Ч Если расстояние между торцевыми плоскостями тела (рис. 17.1) мало по сравнению с размерами сечений, то имеем случай тонкой пластины (рис. 17.5), на груженной по внешнему контуру силами, симметрично распределенными относительно срединной плоскости пластины по квадратичному закону. Так как толщина пластины й мала, то с незначительной погрешностью Рис.
17.5 можно принять, что при любом симметричном относительно срединной плоскости нагружении пластины напряжения а„, оп т„, равномерно распределены по ее толщине. При этом под напряжениями следует понимать их средние по толщине значения, например, ыг о„=о„'е=- ~ о„(х, у, г)Ыг. рр — мг Следует также отметить, что при введении допущения (17.14) условия (17.13) равенства нулю напряжений сз„т„, т,„будут строго соблюдаться только на внешних, ненагружейных плоскостях пластины. Исключение представляет случай, когда справедливо условие (17.16). Внутри пластины эти напряжения могут появиться, но вследствие малой толщины пластины они не могут достигнуть заметной величины.
Поэтому приближенно можно считать, что условия (17.13) соблюдаются во всех точках пластины. Рассмотренный случай напряженного состояния тонкой пластины с допущениями (17.13) и (17.14) часто называют обобщенным плоским напряженным состоянием. Рассмотрим основные уравнения теории упругости для этого случая. С учетом (17.13) формулы закона Гука (16.3) запишутся в виде а„= — (су„— чо,); е,= — (о,— ча„) „7„,=™ У, (17.17) Соответствующие обратные соотношения имеют вид о„= —,(е„+че,) о,=,(е,+че„); т„,=67„,.(17.!8) Е Е Формулы (17.17) и (17.18) отличаются от формул (177) и (17.9) закона Гука для плоской деформации только тем, что в последние вместо модуля упругости Е и коэффициента Пуассона ч входят приведенные величины Е, и к,.
Уравнения равновесия, соотношения Коши, уравнение неразрывности деформаций и статические граничные условия не отличаются от соответствующих уравнений (17.10), (17.3), (17.11), (17.12) для плоской деформации. Плоская деформация и обобщенное плоское напряженное состояние по существу описываются одними и теми же уравнениями. Единственное отличие имеется в величинах постоянных упругости в формулах закона Гука. Поэтому обе задачи объединяются общим названием: плоская задача теории упругости, Полная система уравнений плоской задачи состоит из двух уравнений равновесия (17.10), трех геометрических соотношений Коши (17.3) и трех формул закона Гука (17.7) или (17.17) и содержит восемь неизвестных функций: три напряжения о„, о„т„„три деформации е„еп у„и два перемещения и и о, Если при решении задачи не требуется определять перемещения, то число неизвестных сокращается до шести.
Для их определения имеется шесть уравнений: два уравнения равновесия, три формуль1 закона Гука и уравнение неразрывности деформаций (17.11). Основное отличие рассмотренных двух видов плоской задачи состоит в следующем. При плоской деформации е,=О, о,ФО, причем величина о, может быть найдена по формуле (17.6) после того, как определены напряжения ох и о,. При обобщенном плоском напряженном состоянии о, = О, е, ~ О, и деформация е, может быть выражена через напряжения о„и о, по формуле (17.16). Перемещение 1р можно найти путем интегрирования уравнения Коши е,=ди/дг. й 17.3.
Постановка плоской задачи в напряжениях. Функция напряжений При решении плоской задачи в напряжениях в уравнении неразрывности деформаций (17.11) необходимо выразить деформации через напряжения с помощью формул закона Гука. Воспользовавшись, например, формулами (17.17) для обобщенного плоского ' напряженного состояния, получим ду ду' дх' дх~ дхду Исключим из этого уравнения касательное напряжение. Считая объемные силы Х и У постоянными, продифференцируем первое уравнение равновесия (17.10) по х, второе †у и сложив их почленно, найдем д т„, д~о„д о, дхду дх' С учетом этого равенства после простых преобразований получим уравнение неразрывности деформаций, выраженное в напряжениях: 7'(гз„+о,)=0. (17.19) Здесь через Чг обозначен оператор Лапласа дг дг Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической.
Следовательно, при постоянных объемных силах сумма нормальных напряжений о„+о, в плоской задаче теории упругости является гармонической функцией. Уравнение (17.19) называют уравнением Мориса Леви. Оно выведено для обобщенного плоского напряженного состояния, отличающегося от плоской деформации величинами постоянных упругости в формулах закона Гука.
Но уравнение (17.19) не содержит постоянных упругости и, следовательно, имеет тот же вид и для плоской деформации. Таким образом, решение плоской задачи теории упругости в напряжениях сводится к интегрированию системы трех дифференциальных уравнений: двух уравнений равновесия (17.10) и уравнения неразрывности деформаций (17.19) при выполнении статических граничных условий (17.12) на поверхности тела.
Систему трех уравнений можно свести к одному разрешающему уравнению, если ввести так называемую функцию напряжений Эри р(х,у). Напряжения выражаются через функцию ~р следующим образом: дЧг дЧ> о= о= —; д ' дх (17,20) д'гр тху уХ х 1 дхду Подставив эти формулы в уравнения равновесия (17.10), нетрудно убедиться в том, что они тождественно удовлетворяются при условии, что объемные силы Х и 1' постоянны. Подставляя (17.20) в (17.19), получим рг уз (р — 0 (17.21) Уравнение (17.21) называется бигармоническим уравнением, а функция, удовлетворяющая ему — бигармонической функцией.
В развернутом виде это уравнение записывается следующим образом: (17.22) дх4 дхгдуг Таким образом, решение плоской задачи теории упругости сводится к нахождению функции напряжений, удовлетворяющей бигармоническому уравнению и статическим граничным условиям на поверхности тела. Статические граничные условия (17.12) можно выразить через функцию напряжений, подставив в них выражения (17.20): ,1 — 1 — +уХ+х К т=р„„; (17,23) — — +у Х+х У)1+,, т =р,„.
/ д'Чг (, дхду ) дхг При известной функции <р(х,у) напряжения определяются по формулам (17.20) с помощью дифференцирования. Заметим, что в случае, когда граничные условия ставятся в напряжениях, а объемные силы Х и г постоянны, то ни в уравнение (!7.22), ни в граничные условия (17.23) не входят постоянные упругости материала Е и ч (или их приведенные значения Е„и ч, при плоской деформации). В этом случае оказывается справедливой следующая теорема Леви — Митчелла: в плоской задаче для односвязного тела, на поверхности которого заданы внешние силы, напряжения и„, о„т„, не зависят от свойств материала тела. Можно доказать, что эта теорема справедлива также и для многосвязного тела (с отверстиями) при условии, что главные векторы внешних сил, приложенных к контурам каждого отверстия, равны нулю.
Теорема Леви-Митчелла дает основание при исследовании напряженного состояния элементов конструкций использовать геометрически подобные модели из любого упругого материала. Например, при определении напряжений методом фото- упругости используются прозрачные оптически чувствительные полимерные материалы. Основы метода фотоупругости изложены в гл.
23. й 17.4. Решение плоской задачи в полнномах При решении плоской задачи с помощью функции напряжений применяются различные методы: пол уобратный метод с использованием алгебраических полиномов или тригонометрических рядов, метод функций комплексных переменных, 'метод конечных разностей 6 21.1) и другие методы.
Рассмотрим наиболее простой полуобратный метод решения с помощью целых алгебраических полиномов различных степеней. Сущность метода состоит в том, что функцию у(х,у) задают в виде полинома, коэффициенты которого подбираются так, чтобы удовлетворялось бигармоническое уравнение (17.22) и граничные условия, 351 Ъ'становим, какие задачи можно решить с помощью полиномов различных степеней. Объемные силы будем полагать равными нулю. Так как бигармоническое уравнение имеет четвертый порядок, то полиномы степени ниже четвертой тождественно удовлетворяют этому уравнению при любых значениях коэффициентов и являются бигармоиическими функ циями.
Полиномы четвертой и более высокой степени имеют только четыре независимых коэффициента. Полином первой степени ср=азх+Ь,у интереса не представляет, так как при подстановке в формулы (17.20) дает напряжения, равные нулю. Рассмотрим полипом второй степени: сз2 г сз — +Ь,ху+ — у . 2 2 (17.24) Р7 сг =р„; аг =р,; Ьг = — р„,. Рис. 17.6 В частном случае при аг — — Ьг — — 0 имеем равномерное растяжение в направлении оси Ох. Случай сг=аг = 0 соответствует напряженному состоянию чистого сдвига. Рассмотрим полином третьей степени: ззз 3 6з г сз г из 3 ср= — х+ — ху+ — ху+ — у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
