2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Однако, найти величину силы Р, по этой формуле практически невозможно, так как время удара, в течение которого происходит падение скорости до нуля, и ускорение практически нельзя определить. В связи с этим при расческах на удар пользуются энергетическим принципом, основанным на законе сохранения энергии. Элементы стержневых конструкций, подвергающиеся удару, могут испытывать различные виды деформаций: сжатие (рис. 15.2, а), изгиб 1рис. 15.2, б), изгиб с кручением (рис. 15.2, в) и др. Для упрощения расчета в приближенной теории удара вводится ряд допущений. Предполагается, что ударяющее тело, падающее с некоторой высоты Ь, не отскакивает от ударяемого тела, и после удара оба тела движутся совместно.
Местные деформации, возникающие в телах в области их контакта при ударе и приводящие к некоторому смягчению последнего, не учитываются, что идет в запас прочности. Предполагается, что в ударяемом теле возникают только упругие деформации и справедлив закон Гука. В некоторый момент времени скорость перемещения в месте удара становится равной нулю. В этот момент динамическая сила Р„и возникающее от ее действия динамическое перемещение 7., конструкции в точке удара достигают наибольших значений. Затем происходят затухающие колебания и наступает состояние статического равновесия, при котором перемещение в точке удара становится равным его значению при статическом действии силы Р, равной весу груза. Рассмотрим удар груза весом Р, падающего с высоты )г на тело весом Д, прикрепленное к концу упругой пружины (рис.
15.3). Величина осевой силы, при котоРнс. 15.3 рой происходит сжатие пружины на единицу длины, называется жсспгкостью пружины. Обозначим ее буквой с. С учетом этого величина перемещения верхнего конца пружины при статическом приложении силы Р может быть найдена по формуле Х,= —. (15. 7) с При ударном действии нагрузки благодаря инерции массы пружины в начальный момент времени окажется сжатой не вся пружина, а лишь небольшая часть у верхнего ее конца. Волна сжатия достигнет нижнего конца пружины лишь через некоторое время.
После отражения возникнет волна, движущаяся в обратном направлении и т. д. Таким образом, распространение упругих деформаций по длине пружины носит волнообразный характер. Если масса пружины мала по сравнению с массой падающего груза, то силами инерции пружины можно пренебречь. В этом случае можно считать, что волна сжатия распространяется по всей длине пружины мгновенно, и величина динамического перемещения Х„верхнего конца пружины может быль найдена по формуле х,=5 с (! 5.8) )с 2 — 2у)г !! 5.9) 2.
После удара в момент соприкосновения двух тел Р и Д начинается их совместное движение со скоростью Величину 1', можно найти по теореме об изменении количества Примем следующие положения. 1. В момент, непосредственно предшествующий удару, скорость Г падающего груза Р связана с высотой падения гг соотношением движения за время удара, согласно которой количество движения до удара равно количеству движения после удара к к Отсюда находим )г= — 'К (15.10) Р+9 Величину кинетической энергии двух тел, соответствующую началу их совместного движения, с учетом равенств (15.9) и (15.10) можно найти по формуле Р ~),р г гс2 РВ Тг )сг 2х 2х)Р+О) О' Р 3.
При дальнейшем движении двух тел их скорость !'2 постепенно убывает до нуля. В этот момент перемегцение и сила сжатия пружины достигают своих наибольших значений, соответственно равных Х, и Р, + Д (рис. 15.3, б), а кинетическая энергия обращается в нуль Ьи 2 Т = — 1 =0. 2к На основании теоремы об изменении кинетической энергии можно записать Т2 Тг =А, (15.11) где А — работа всех сил, приложенных к двум движущимся телам на пути Сила тяжести двух тел совершает на пути 7 работу А, =(Р+О)Х,.
Сила упругости пружины, приложенная к телам в процессе деформации пружины, изменяется от значения Юг = Д до Х2=Д+Р,. График зависимости силы от перемещения изображен на рис. 15.4. Так как эта сила направлена в сторону, противоположную движению, то ее работа отрицательна и численно равна площади диаграммы, заштрихованной на рис. 15.4: йс Входящую в это выражение величину силы Р, можно исключить с помощью равенств (15.7) и (15.8): Р, = с).д — — Р— '. сс~ Рис. 15с4 З14 З12 !+в Р (! 5.16) (15.13) Г 2Ь Н=1+ (1+- Х, (15.14) Т=; Т'= (! —, у) Хг(х)Р(х)дх о ) г~ (! 5.17) 319 318 С учетом этого получим 2Х д 2Х Подставляя найденные значения Т„Т,, А в равенство (15,11), получим следующее квадратное уравнение относительно величины динамического перемещения: Решение этого уравнения можно представить в виде 7"д = !г) . ~ (15.
! 2) где представляе~ собой величину динамического коэффициента при ударе. При известном значении р величины динамической нагрузки, динамических напряжений и деформаций могут быть найдены по формулам (15.4). Если Я=О, то есть груз Р падает на невесомую пружину, то Формулой (15.14) можно пользоваться в том случае, когда масса ударяемой конструкции мала по сравнению с массой ударяющего тела. Если масса ударяемой конструкции значительна, то расчет сильно усложняется. В этом случае производят приближенный расчет, полагая, что распределенную по всему объему массу Д1у можно заменить приведенной массой Щ/д, сосредоточенной в точке удара.
Безразмерный коэффициент !3 называется коэффициентом приведения массы ударяемого тела к точке удара. Он всегда меньше единицы. Величина !3 определяется приближенно путем приравнивания кинетической энергии Т заданной системы с распределенной массой к кинетической энергии Т' той же системы, вся приведенная масса !3Д/е которой сосредоточена в точке удара. Величины Т и Т' могут быть найдены по формулам где ЫД/у и Г(х) — масса и скорость бесконечно малого элемента ударяемого тела; $' — скорость приведенной массы в точке удара.
Приравнивая Т и Т', найдем Щ !" (Х) Уа дрг Величина динамического коэффициента упругой системы с приведенной массой определяется по формуле Анализируя формулы (15.13), (15.14), (15.16), можно прийти к следующим выводам. Неучет массы ударяемой конструкции при расчете повышает величину динамическою коэффициента, то есть идет в запас прочности. Динамический коэффициент тем меньше, чем больше статическое перемещение Х, в точке удара. Если высота падения груза !1=0, то !2=2. Такое нагружение называется внеэиппым. Если высота падения груза существенно больше величины статического перемещения, то единицами в формулах (15.13), (15.14), (15.16) можно пренебречь и они несколько упрощаются.
Формула (15.13), например, принимает вид й 15.4. Расчет стержней при ударном действии нагрузки При расчете стержней для определения коэффициента приведения массы стержня к точке удара вводится допущение, что скорость Г(х) динамического перемещения Х„,(х) произвольного сечения .стержня пропорциональна перемещению Х,(х) стержня, статически нагруженного силой Р в точке удара Г (х) = /се,(х); !'=/с~.„ где Г и Х, — скорость и статическое перемещение сечения стержня в месте удара, 2о — коэффициент пропорциональности.
Подставляя эти равенства в формулу (15.15) и учитывая, что с(Д= уГ(х)дх, получим ! Рассмотрим частные случаи. 1. Продольный удар, вызывающий деформацию растяжения или сжатия стержня. Для стержня постоянного сечения (рис. 15.5) статическое перемещение в месте удара равно его укорочению .е, 1гс) Х,= Ы,= —. ЕР Х,(х)=и(х)= — = !3 1,—. Вес всего стержня Д=7Л. Подставляя найденные величины в формулу (15.17), получим ! !13 = — ) х ' цх = — .
1г) 3 О Пример 15.1. Определим наибольшие сжимающие напряжения в стальном стержне ступенчато постоянного сечения, возникающие в результате падения груза Р=0,2 кН с высоты й=20 см (рис. 15.6). Решим задачу в двух вариангах: с учетом и без учета массы стержня. При расчете примем 7 = „е =7,7 10 кН/смз, Е=2,1 10' МПа. сг Для выполнения расчета с учетом массы стержня определим коэффициент )1 приведения массы к точке удара. Статическое перемещение произвольного сечения нижнего участка стержня равно 1 1 Р=0,2ка с! ег Р.х, и,(х,)= ЕР, Для верхнего участка имеем Рг! Рхг Рис. 15.6 и,(хг)= + —.
ЕР! Ерг Статическое перемещение в месте удара равно полному укорочению стержня РР I! /г 'г 0,2 !! 80 40'! Ег,р! Рг) 2„1.10 [,1О 5 г) Я=у(Гг1г+Е21,)=7,7 10 5(10 80+5 40)=0077 кН. Статическое перемещение произвольРис. 15.5 ного сечения, находящегося на расстоянии х от опоры, равно Преобразуя с помощью полученных соотношений числитель формулы (15.17) и подставляя числовые значения входящих в нее величин, найдем у ) Х.' (х) Е(х) г1х = у ) и! (х, ) Е, Их! + у ) и~ (х,) Г, с1х, = о о о !! !г гр '!г ~ хр! р !г Р'У~ ~~ 1! 7!рг 1! 1г ~ ( Ергг) ~ ~,ЕР! Ерг) Ег (,ЗР Рг Р, о о + г ) 3 278. 10 — !о кНсмг 3Р,1 По формуле (15.17) находим 3,278 10 ' 0 183 1,524! 1О ~.0,077 Динамический коэффициент с учетом массы стержня находим по формуле (15.!6): -496. 11=1+ Наибольшее статическое сг, и динамическое о, напряжения равны ст,= — = — '=0,04 —,=0,4 МПа; ст,=ист,=496 0,4=198,4 МПа.
Рг 5 ' см! Динамический коэффициент и наибольшее динамическое напряжение без учета массы соответственно равны: 14 = 513, сг„= 205 МПа. В рассмотренном примере влияние массы стержня на величину напряжений незначительно. 2. Поперечный удар, вызывающий изгиб стержня. Для балок постоянного сечения величина коэффициента р приведения массы балки к точке удара зависит от вида опорных закреплений балки и места удара. В качестве примера определим величину 13 для консольной балки, на свободный конец которой падает груз весом Р (рис.
15.7). Статический прогиб ис(х) в произвольном сечении балки от действия силы Р можно найти, используя, например, метод начальных параметров. В результате получим Р1хг Рхг ,( )= — — = — (31х' — '). 2Е7 6Е1 ба Рис. 15.7 321 !1 3923 320 В точке удара 8 15.5. Прочность материалов при напряжениях, периодически изменяющихся во времени Р1з У С 3ЕГ Полагая в формуле (15.17) )с,(х)=о,(х), Х,=о„р=соп81, Д=7Р1 и проводя необходимые вычисления, получим 3 1зз 36( ЕУ)з (3(х — х ) Ых 33 рзр мо 9 ( ЕУ) ~т Е1 Аналогично можно вычислить величину коэффициента () для других случаев опирания и нагружения балок ударной нагрузкой.
Например, для шарнирно опертой по концам балки при действии ударной нагрузки в середине пролета величина (3 = 17,'35. Пример 15.2. Определим наибольшие нормальные напряжения в стальной консольной балке двутаврового сечения (1 16), возникающие в результате падения груза Р=0,5 кН с высоты /1=15 см (рис. 15.7). Длина балки 1=2 м, Е=2,1-10' МПа. Выпишем из сортамента необходимые геометрические характеристики поперечного сечения и вес единицы длины балки; 2,=873 ем~, 1х;=109 см', 9=0,156 кН/м.
Вес балки Д = 0,156 2 = 0,318 кН. Статический прогиб в точке удара Р1з 0,5 200з о,= — = ', . =0,0727 см. за 3 2,1.!О 873 Динамический коэффициент с учетом массы балки находим по формуле (15.16): = 19,97. 140 0,5 Наибольший изгибающий момент и наибольшие нормальные напряжения возникают в заделке.
Их статические и динамические значения равны: М,=Р1=0,5 2=1 кНм; о,= — '= — =0,917 — =9,17 МПа; М, 1О' «Н И' 109 см М, = (з М, = 19,97 кНм; ст,„= (з о, = 183,! МПа. Без учета массы балки а=21,34; сг»=195,7 МПа. 322 К динамическим нагрузкам, несмотря на отсутствие значительных инерционных сил, можно отнести периодические многократно !ювторяющиеся нагрузки, действующие на элементы конструкций и сооружений. Такого рода нагружения характерны для элементов машиностроительных конструкций, таких, как вагонные оси, валы, лопатки турбин и компрессоров и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
