2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 45
Текст из файла (страница 45)
13.17 л Е1, *о — (21)з критическая сила Эйлера для консольного стержня. Как видно из формул (13.59) — (13.62), по мере приближения силы Ф к ее критическому значению, величина И приближается к значению я!2, и прогибы, изгибающие моменты и напряжения существенно возрастают. На рис. 13.17 приведены графики зависимости наибольших напряжений а„с от величины продольной силы Х при б, различных значениях экс- й8а центриситета е. Из анализа графиков следует, что даже весьма незначительный эксцентриситет приложения сжимаю- [б) то действительный коэффициент запаса по нагрузкам пе= — '= — =1,12 !9г 112 Л~, 100 будет значительно меньше коэффициента запаса по напря- жениям (с3 160 Поэтому при расчете на прочность при продольно-поперечном изгибе стержней нельзя ограничиться проверкой прочности по напряжениям !9 М, п„4= — + — *<(п). Г И', Необходимо обеспечить заданную величину коэффициента запаса по нагрузкам, например, пе=!,5.
Пример 13.5. Стальная колонна из прокатного двутавпза 3 16 (Р=20,2 смг, 3,=873 смг, В',= 109 см ), шарнирно опертая по концам, нагружена сжимающей силой Х„= 100 кН и поперечной нагрузкой Р„=5 кН (даны нормативные значения нагрузок), расположенной в плоскости стенки двутавра (рис. 13.18). Проверим прочность колонны при совместном действии поперечной и продольной нагрузок, приняв требуемую величину коэффициента запаса по нагрузкам лр — — 1,5.
Предел текучести стали о, = 240 МПа, Е= =2,1 10' МПа. Умножим величины нормативных нагру- зок на заданный коэффициент запаса по к нагрузкам не=!,5: гУ=лРХ„=1,5 100=150 кН; ' Р = гге Р. = 1 5 ' 5 = 7 5 кН. Рие. 13Л8 Воспользуемся приближенным методом расчета 6 13.8). Наибольший изгибающий момент и прогиб возникают в середине длины колонны. От действия поперечной нагрузки Р М„= — = ' =11,25 кНм; Р1 7 5.6 и= " = ' =2,625 см; в„1,84! гч 150 1 — — ! —— Ж, 502 М=М„+ЛЪ=11,25+150 0,02625=15,19 кНм; ы„е= — + — = — + ' =21,4 — =214 МПа~о,=240 МПа. 9 М ! 50 15,19.!О' кН Г И', 20,2 109 смг Условие прочности выполняется. Величину действительного коэффициента запаса в данном случае можно найти из квадратного уравнения (13.57).
При вычислении коэффициентов этого уравнения необходимо взять нормативные значения заданных нагрузок Մ— — 100 кН и Р„=5 кН и соответствующие величины М„=Р„1!4=7,5 кНм и О„=Р„1~/(48Е3,) = =1,228 см. Решая квадратное уравнение, найдем лр — — 1,645. 8 13.10. Определение критических сил с помощью метода начальных параметров Формулы (13.49) — (13.52) позволяют определить критические силы для центрально сжатых упругих стержней ступенчато постоянной жесткости при наличии сжимающих сил в промежуточных сечениях стержня. Рассмотрим примеры.
Пример 13.6. Определим критическую силу и коэффициент приведения длины для шарнирно опертого стержня с консолью (рис. 13.19, а). 9 ') ) Ф Г гЛ 1а а) Найдем наибольший прогиб и изгибающий момент от совместного действия поперечной и продольной нагрузок: РР 7,5 600' пн= — = ', —— 1,841 см 48Е3, 48 2,1 1О 873 Значение силы Эйлера в плоскости изгиба гЕ2 3 14г 2 1 104 873 1г 600 Ряс. 13.19 ХМ =О, Я= — '.
б — ~'О. (/с(х — а) — $1п/с(х — а)) ~ь ф и (х) = ц„+ — ' яп /сх !с О + — 1п/са= О; 'Ро !с — яп /с/г+ — яп /с/ — О. /с/г !с 51п !сп яп !сб г1п И гг Рг1~2 гг Рг б! гг ~2 ~2 (13.66) Таблица 13.2 289 !О 3923 Примем начало координат на верхнем свободном конце стержня. Тогда начальные параметры Ма=Де — — О. Используя уравнение статики, выразим опорную реакцию Я через силу Р и начальный прогиб пп: С учетом этого выражение (13.49) для прогиба запишется в виде Удовлетворяя граничным условиям п(а) = с (1) = О, получим систему однородных уравнений относительно неизвестных начальных параметров пп и срп Эта система имеет ненулевое решение при условии, что ее определитель равен нулю: Раскрывая определитель, получим трансцендентное уравнение относительно параметра /с /с/г яп /с/ — яп /са 81п /с/г = О.
(13.63) При известной величине /с критическая сила может быть найдена по формуле (13.35) Р ~гЕ/ (13.64) При практических расчетах сжатых стержней на устойчивость необходимо знать величину коэффициента приведения длины Н стержня (для простых случаев опирания значения Н приведены на рис. 13.7).
С помощью равенства /с/= гс/н, которое легко получить, приравняв правые части формул (13.12) и (13.64), уравнение (13.63) можно преобразовать к виду Ф а пп ~Ф вЂ” яп-=яп--яп —, (13,65) н н н н' где е! = а/1, В = Ь/1. Из этого уравнения можно определить величину и методом итераций с применением ЭВМ. Установим пределы изменения величины н в зависимости от величин !х и В. Случай сс=О, (1=1 соответствует стержню, шарнирно опер- тому по концам.
При этом из уравнения (13.65) следует яп-=0; н=1 н Случай е!-+ 1,  — 0((3~0) соответствует консольному стержню, так как опорное закрепление в виде трех опорных связей эквивалентно заделке. Однако, в данном случае в отличие от предыдущего получить величину н=2 из уравнения (13.65) нельзя, поскольку вместо граничных условий п(а)= ц(1)=0 необходимо использовать граничные условия в заделке о(1)= =~ 1)=О. ' аким образом, для всех значений 0 < (3 ( 1 коэффициент приведения длины изменяется в пределах 1 ( Н ~ 2.
В справочной литературе приведены значения коэффициента Н для стержней с различными опорными закреплениями в зависимости от отношения характерных размеров. В таблице 13.2 даны значения н в зависимости от отношения )3=/г/1 для стержней, изображенных на рис.
13.19. Пример 13.7. Составим трансцендентное уравнение критических сил для консольного стержня ступенчато постоянной жесткости, нагруженного двумя сжимающими силами Р, и Р, (рис. 13.20). Отношение Р,/Р, задано. Введем обозначения сг(!г) = — ' (1 — сов!с! !г); Рг !гг ср(Ь) = — ~г ' а!и/с,!г; Р,+Р, М(6)=мосоа/с!с!> д((г)=0. (! 3.67) Рис. 13.20 г =с(х 2з!пг~=с(~— " =-(с")гс7х 2 2 2 Отсюда найдем и =- (сг')гс(х.
2 ~ о (13.72) и .ЛЗ21 сг(х) = ~~~ а„гг(х). г=! (13.74) 291 Выберем начало координат для нижнего участка стержня в заделке. Учитывая, что !го=(ро=До=О, по формулам (13.49)— (!3.52) получим Перенесем начало координат в точку Ог и примем величины (13.67) за начальные параметры для верхнего участка стержня. Удовлетворяя граничному условию на верхнем конце стержня М(а)=0, по формуле (13.51) с учетом (13.67) получим М(а)= — ' ' а!в!с!!! — '.з!и!сга+Мосоа!сгЬ.созlсга=О.
Р, +Рг !сг После преобразований получим уравнение 18/с,(г18/с,а=1. !сг(Р, +Р,) При заданных величинах а, 6 и Рг!Рг с использованием равенств (13.66) можно найти наименьший корень уравнения (!3.68) и величины критических сил Р,„, и Р,„,. й 13.11. Определение критических сил с помощью энергетического метода Во многих более сложных задачах определение критических сил с помощью метода начальных параметров приводит к значительным трудностям вычислительного характера, связанным с необходимостью решения сложных трансцендентных уравнений. Поэтому в таких случаях предпочтительнее оказываются приближенные методы.
Одним из наиболее простых приближенных методов является энергетический метод. Он основан на рассмотрении изменения полной потенциальной энергии упругого стержня при переходе от прямолинейной формы равновесия к искривленной. Полная потенциальная энергия стержня при изгибе определяется выражением П= П+ !г, (13.69) где !г' — потенциальная энергия деформации стержня при изгибе; ~' — потенциальная энергия внешних продольных сил Р;. Выражение для потенциальной энергии деформации изгиба можно представить в виде ! ! о о о Потенциальную энергию внешних продольных сил Р; можно выразить через работу этих сил на соответствующих им продольных перемещениях ио возникающих при переходе от прямолинейной к искривленной форме равновесия: ~'= — А = — ',г„Р! и;.
(13.71) ! Поскольку при потере устойчивости силы Р; остаются постоянными по величине, в последнем равенстве отсутствует множитель !гг2. Составим выражение для перемещения и; точки приложения продольной силы Р; по направлению этой силы (рис. 13.21, а).
Это перемещение обусловлено изгибом стержня, в результате чего происходит поворот отдельных элементов стержня без изменения их длины. Поворот элемента а) длиной !ах (рис. 13.21, б) вызывает уменьшение его проекции на направление оси стержня на величину Ни=а!х — с!х сов ср = Подставляя (13.70) — (13.72) в (13.69), получим ! П= !г" — А =- Е3(сг")гс(х — '2'Р! (сг')гс(х . (13.73) ! о о Одной из разновидностей энергетического метода является метод Ритца. При определении критических сил этим методом для упругой линии принимают выражение в виде нескольких членов ряда уравнение (!3.75), получим (13. 76) Функции 1„' (х) подбирают так, чтобы каждая из них удовлетворяла граничным условиям задачи (по крайней мере, кинематическим). Например, для стержня, шарнирного опер- того по концам, можно принять П='— Е1(1")гйх — УР; (!')г 1х; гг (х) = „'~" а, з(п — "'.
г= 1 При этом удовлетворяются граничные условия на опорах гг (0) = гг (1) = М(0) = М (1) = О. Подставляя (13.74) в (13.73), получим выражение для полной потенциальной энергии как квадратичной функции независимых параметров а„ П=П(аг, аг~, ..., а~). Согласно пршгг(ипу Дггрихле необходимым и достаточным условием того, чтобы система находилась в состоянии равновесия, является наличие экстремума полной потенциальной энергии системы (13.75) д222 ' даг да В результате дифференцирования получим систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно независимых параметров а„аг, ..., а„.
Эта система уравнений имее~ отличные от нуля решения при условии, что ее определитель равен нулю. Раскрывая определитель, получим алгебраическое уравнение п-ой степени относительно продольной силы. Наименьший положительный корень этого уравнения равен критической силе. При вычислении критических сил энергетическим методом необходимо помнить следующее. Если принятое выражение (13.74) совпадает с истинным уравнением для прогибов стержня, то энергетический метод дает точное значение критической силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
