2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 41
Текст из файла (страница 41)
При решении задач устойчивости может быть использован динамический метод, основанный на исследовании колебаний упругой системы относительно исходного положения равновесия. Если верхний конец стержня слегка отклонить, а затем отпустить, то после ряда колебаний стержень возвратится в первоначальное прямолинейное состояние. Таким образом, при Р<.
Р, прямолинейная форма равновесия стержня является устойчивой. Частота малых колебаний стержня по отношению к исходной прямолинейной форме равновесия зависит от величины сжимающей силы Р. При возрастании силы частота уменьшается. Когда величина силы достигнет критического значения, частота колебаний обратится в нуль, и стержень придет в состояние безразличного равновесия. Если теперь слегка отклонить стержень от первоначального прямолинейного состояния и затем отпустить, то он останется в изогнутом состоянии (рис. 13.2,б). Таким образом, при Р=Р„, прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой.
Происходит раздвоение 1'бифуркаНия) форм равновесия, то есть наряду с прямолинейной возможно существование смежной слегка искривленной формы равновесия. Рис. 13.3 (13. 2) (13.3) (13.4) 263 Наименьшая величина нагрузки (в данном случае сжимающей силы), при которой первоначальная форма равновесия становится неустойчивой, называется критической нагрузкой. Приложение к стержню силы, равной критической или превышающей ее, приводит к потере устойчивости первоначальной прямолинейной формы равновесия, и стержень изгибается.
Это явление называется продольным изгибом. При дальнейшем даже самом незначительном увеличении сжимающей силы сверх критического значения (рис. 13.2,в) происходит резкое нарастание прогибов и возникновение весьма значительных дополнительных напряжений изгиба. Опасность потери устойчивости особенно велика для тонкостенных элементов конструкций типа стержней, пластин и оболочек. На рис. 13.3 приведены примеры потери устойчивости с образованием смежных форм равновесия. Рама, в стойках которой возникает только центральное сжатие, при потере устойчивости изгибается, и узлы рамы смещаются по горизонтали. Круглая труба, находящаяся под действием равномерного внешнего давления, при потере устойчивости приобретает смежную (овальную) форму равновесия.
Тонкая полоса, работающая на изгиб в вертикальной плоскости, при достижении силой критического значения теряет устойчивость плоской формы изгиба и начинает дополнительно испытывать изгиб в горизонтальной плоскости и кручение. Понятие потери устойчивости не следует отождествлять с понятием потери прочности. Так, например, если в гибком стержне, нагруженном сжимающей силой, превосходящей по величине ее критическое значение, возникают только упругие деформации, то после разгрузки восстанавливается первоначальная прямолинейная форма стержня. Разрушение стержня в результате потери устойчивости в этом случае не произойдет. Однако, в реальных конструкциях критическое состояние недопустимо, поскольку оно, как правило, приводит к разрушению конструкции.
При расчете на устойчивость безопасность сооружения обеспечивается введением коэффициента запаса устойчивости. й 13.2. Формула Эйлера дли критической силы Определим критическую силу для центрально сжатого стержня, шарнирно опертого по концам (рис. 13.4). При небольших значениях силы Р ось стержня остается прямой и в его сечениях возникают напряжения х центрального сжатия а =Р~'Г. При критическом значении силы Р = Р„,' становится возможной слегка искривленная форма равновесия стержня.
Возникает продольный изгиб. Изгибающий момент в произвольном сечении х стержня равен М(х)=Ро(х) (13.1) Важно заметить, что изгибающий момент (е 1 определяется для деформированного состояния Ю стержня. я Если предположить, что напряжения изгиба, о возникающие в поперечных сечениях стержня от действия критической силы, не превосходят предел пропорциональности материала о„„и проги- и„, 134 бы стержня малы, то можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня 6 9.2) ЕЫ' = — М= — Ро. Введя обозначение 7сг ез получим вместо 113.2) следующее уравнение: о" +йзо= О Общее решение этого уравнения имеет вид о= С,ьзп кх+ С,сов кх.
(13.5) Это решение содержит три неизвестных: постоянные интегрирования С„С, и параметр к, так как величина критической силы также неизвестна. Для определения этих трех величин имеются только два граничных условия: о(0)=0, о(7)=0. Из первого граничного условия следует, что Сз=О, а из второго получим С, з)п к!= 0. (13.6) Из этого равенства следует, что либо С, =О, либо з1п7с1=0. В случае С, = 0 прогибы во всех сечениях стержня равны нулю, что противоречит исходному предположению задачи. Во втором случае к1=ля, где и — произвольное целое число.
С учетом этого по формулам 113.3) и (13.5) получим п2к аЕЗ р(п) (13.7) о =С, яп —. ьо ьо ° пкх (13.8) тез ~Р 12 (13.9) (13.10) +!его=О г1+(„) з)и2 (13.11) Рис. 13.5 265 Рассмотренная задача является задачей на собственные значения. Найденные числа !г=пя!'! называются собственны ни ПУХ числами, а соответствующие им функции яп — — еобственными функциями. Как видно из (13.7), в зависимости от числа и сжимающая сила Р'"', при которой стержень находится в изогнутом состоянии, теоретически может принимать целый ряд значений.
При этом согласно (13.8) стержень изгибается по и полуволнам синусоиды (рис. 13.5). Наименьшее значение силы будет при и = 1 Эта сила носит название первой критической силы. Прн этом к!=к, и изогнутая ось стержня представляет собой одну полуволну синусоиды (рис. 13.5,а) где С',"=! — прогиб в середине длины стержня, что следует из (13.8) при п= 1 и х=1/2.
Формула (13.9) была получена Леонардом Эйлером и называется формулой Эйлера для критической силы. Все формы равновесия (рис, 13.5), кроме и = 1, неустойчивы и потому не представляют практического интереса. Формы равновесия, соответствующие п=2,3, ... можно сделать устойчивыми, если в точках перегиба упругой линии (точки С и С' на рис. 13.5, б, в) поставить дополнительные шарнирные опоры.
Полученное решение обладает двумя особенностями. Во-первых, решение (13.10) не является в ~ — А единственным, так как произвольная постоянная Со'=!' осталась неопределенной несмотря на ис- Ф пользование всех граничных условий. В результате ! прогибы оказались определены с точностью до постоянного множителя.
Во-вторых, это решение не дает возможности описать состояние стержня при Р ) Р„,. Из (13.б) следует, что при Р = Р„! стержень может иметь искривленную форму равновесия при условии к!=к. Если же Р>Р„, то !с!~к, и тогда должно быть С',"=О. Это означает, что о=О, то есть стержень после искривления при Р=Р„вновь приобретает прямолинейную форму при "1') Р„,. Очевидно, что это противоречит физическим представлениям об изгибе стержня. Эти особенности связаны с тем, что выражение (13.1) для изгибающего момента и дифференциальное уравнение (13.2) получены для деформированного состояния стержня, в то время, как при постановке граничного условия на конце х=! осевое перемещение ив этого конца (рис.
! 3.6) вследствие изгиба не учитывалось. Действительно, если пренебречь укорочением стержня за счет центрального сжатия„ то нетрудно представить, что прогибы стержня будут иметь вполне определенные значения, если задать величину ив. Из этого рассуждения становится очевидным, что для определения зависимости прогибов от величины сжимающей силы Р необходимо вместо граничного условия о(1)=0 использовать уточненное граничное условие о11 — ив)=0. Для решения этой задачи можно воспользоваться приближенным уравнением (13.4) при условии, если величина силы Р настолько незначительно превосходит критическое значение, что прогибы стержня остаются малыми.
Однако, точными исследованиями установлено, что если сила превосходит критическое значение всего на 1 —:2%, прогибы становятся достаточно большими, и необходимо пользоваться точным нелинейным дифференциальным уравнением продольного изгиба Это уравнение отличается от приближенного уравнения (13.4) первым слагаемым, представляющим собой точное выражение для кривизны изогнутой оси стержня 6 9.2). Решение уравнения (13.11) достаточно сложно и выражается через полный эллиптический интеграл первого рода. й 13.3. Влияние способов закрепления концов стержня на величину критической силы Формула Эйлера (13.9) получена для стержня, шарнирно опертого по концам.
Производя аналогичные выкладки для стержней с другими опорными закреплениями (рис. 13.7) и обобщая результаты, можно получить следующее выражение для критической силы: к ~е.г ~р Р о (13.12) Входящая в эту формулу величина (13.13) называется приведенной длиной стержня, а р — коэффициептоги приведения. Величина 1а представляет собой расстояние между точками перегиба С и С' изогнутой оси стержня, в которых изгибающие моменты равны нулю. Можно считать, что любой нз представленных на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
