2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 37
Текст из файла (страница 37)
12.2, а). На площадке„ нормаль к которой совпадает с положительным направлением Рнс. 12.1 й 12.2. Косой изгиб М„ т„= —" г. Хр в) Рис. 12.2 236 оси Ох, поперечная сила считается положительной, если она направлена в сторону положительного направления соответствующей оси (рис. 12.2,6). Продольная сила считается положительной, если она вызывает растяжение, а крутящий момент — положительным, если он направлен против хода часовой стрелки (рис.
12.2,в). Приведем основные формулы для напряжений при простых видах деформирования стержня (направление осей в сечении соответствует рис. 12.2). Растяжение и сжатие: Кручение (для круглого сечения): Поперечный изгиб в плоскости Оху: о„= — *у; т„,= .1, " .гь(у) Поперечный изгиб в плоскости Охг: о„= — "г; т,„= 1„,/,в(г) Пользуясь принципом независимости действия сил, получим в общем случае сложного сопротивления формулу для нормальных напряжений (здесь и в дальнейшем индекс х будем опускать) о = — + — ' г+ — *у. (12.1) Н М, М, Р /„ У, в~т„ О Задача определения касательных па- "ях я пряжений в поперечном сечении стержня, находящегося в условиях сложного сопро- В~ тивления, решается сложнее.
На рис. 12.3 показаны касательные напряжения, возникающие в произвольной точке поперечного сечения круглого стержня при изгибе с кручением. Полное касательное напряжение т на площадке вблизи точки А может быть вычислено с помощью геометрического суммирования: Косым изгибом называется такой изгиб, при котором плоскость действия суммарного изгибающего момента в сечении балки не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции Оху или Охг.
Различают два вида косого изгиба: плоский и пространственный. При плоском косом изгибе (рис. 12.4,а) внешние силы действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции. Эта плоскость называется силовой плоскостью, а линия ее пересечения с плоскостью поперечного сечения балки — силовой линией. При пространственном косом изгибе (рис. 12.4, б) внешние силы действуют в различных плоскостях. Обозначим через ир угол между силовой линией и главной осью Оу. Будем считать этот угол положительным при повороте силовой линии от оси Оу против хода часовой стрелки. Как при плоском, так и при пространственном косом свлввлл ли лл Рис. 12л4 изгибе суммарный изгибающий момент М, действующий в сечении балки (рис. 12.5,в) можно разложить на два изгибающих момента М, и М„действующих в главных плоскостях инерции: М„=Мяне; М,=Мсояар.
(12.2) Поделив первое из этих равенств на второе, выразим угол ар через отношение изгибающих моментов М„ 1я ар — — —. М, (12.3) Из этого равенства видно, что если изгибающие моменты М, и М, имеют одинаковые знаки, то угол ар положителен. В этом случае силовая линия проходит через первую и третью четверти плоскости Оуг (рис. 12.5,б). При плоском косом изгибе внутренние усилия М„М„Д„, Д, не являются независимыми, поскольку они определяются одними и теми же нагрузками, действующими в силовой плоскости.
При этом угол ар задан. При пространственном изгибе внутренние усилия имеют различные законы изменения по длине балки, так как вычисляются от на1 рузок, действующих в разных плоскостях. При этом величина угла а„также изменяется по длине балки. Если в (12.1) положить Я=О, то получим формулу для нормальных напряжений при косом изгибе м, о= — ск+ — 'у. (12.4) у ./, Здесь 1, и У,— главные моменты инерции сечения; у и х— координаты точек сечения.
Из (12.4) видно, что при косом изгибе напряжения о изменя- ются по координатам у и к по линейному закону. Положив в (12.4) о=О, получим уравнение нулевой линии Мл ко+ уо =О (12.5) Ув 1, где уо и го — координаты точек нулевой линии (рис. 12.5,б). Выражение (12.5) является уравнением прямой, проходящей через начало координат. Если обозначить через ао угол между нулевой линией и главной осью Ох, то из уравнения (12.5) найдем св 1.,М, о лл Учитывая (12.3), получим соотношение, связывающее между собой углы ао и ар. .г, 1К ао = — 1К ар. (1 2.6) .гл Знак минус в этой формуле указывает на то, что нулевая линия по отношению к силовой линии проходит через две другие четверти осей координат.
Отсюда следует, что угол ао откладывается от оси Ох в ту же сторону, что и угол ас от оси Оу (рис. 12.5,б). На основании гипотезы плоских сечений при деформациях балки ее поперечные сечения поворачиваются вокруг нулевых линий. При этом наибольшие деформации удлинения и укорочения, а, следовательно,и напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от нулевой линии.
Таким образом, для вычисления наибольших напряжений в сечении необходимо подставить в формулу (12.4) координаты точек, наиболее удаленных от нулевой линии. Для сечений типа прямоугольника и двутавра, имеющих две оси симметрии, наибольшие по абсолютной величине напряжения удобно вычислять по формуле (12.7) где И~,, И; — моменты сопротивления сечения. Ряс, 12.5 239 8=1е О о= — '+ <Ус21~ |М,~ !М,~ У (! 2.8) М М, о,= — 'г+ — *у <у Я.
н с Ряс. 12.7 (12.9) 12з 1 = = 3456 см4; 12 1,= =13824 см 12 24З 1г (12.10) 241 На рис. 12.5,б показан характер эпюры нормальных напряжений для прямоугольного сечения. В этом случае наибольшие растягивающие о."' и сжимающие о",' напряжения возникают в двух угловых точках сечения. Условие прочности при косом изгибе для балок с отмеченным выше типом поперечного сечения имеет вид а в случае произвольного сечения В этих формулах М„М,— изгибающие моменты в опасном сечении балки; у, е — координаты точки, наиболее удаленной от нулевой линии. При использовании условия (12.9) величины М,, М„у, е необходимо брать с учетом их знаков. Важно заметить, что при пространственном изгибе положение опасного сечения не всегда является очевидным, так как изгибающие моменты М, и М, возникают от о «г действия различных нагрузок и не зависят друг от друга.
В этих случаях необходимо проверять прочность, по крайней мере, в двух сечениях балки, где М, и М, имеют наибольшие значения. Для определения прогибов балки прн косом изгибе необходимо действующие на балку нагрузки разложить на составляющие, параллельные главным осям Оу, Ог„и определить по отдельности прогибы «и и по направлениям этих осей (рис. 12.6). Полный прогиб 1 в произвольном сечении балки и его направление определяются по формулам где пг †уг между направлением суммарного прогиба и осью Оу, Аналогично могут быть найдены углы поворота сечений балки. Рассмотрим примеры расчета балок при плоском и пространственном косом изгибе.
Пример 12.1. Деревянная консольная балка прямоугольного сечения (рис. 12.7) нагружена на свободном конце силой Р, направленной под углом ае = 30' к оси Оу. Нормативное значение нагрузки Р„=3 кН, коэффициент надежности по нагрузке уг — — 1,2. Расчетное сопротивление дерева (сосна) Я=13 МПа, модуль упругости Е=10 МПа, коэффициент условий работы 7,=1. Размеры балки приведены на рис. 12.7,а,б.
Построим эпюру нормальных напряжений для сечения в заделке, проверим прочность балки и определим прогиб на свободном конце. Согласно СНиП при расчете на прочность необходимо брать расчетные нагрузки, а при определении перемещений — их нормативные значения. Определим величину расчетной нагрузки и изгибающие моменты в заделке: Р, = Р„у г — — 3 1,2 = 3,6 кН; М,= — Р!8!пир — — — 3,6 2,2 яп30'= — 3,96 кНм; М,= — Р,!созг4р= — 3,6 2,2со830'= — 6,86 кНм. Главные моменты инерции и моменты сопротивления сечения равны В',= — =1152 смз . Иг " =576 смз 1г 6 По формуле (12.6) находим положение нулевой линии: 18по= — '1830 =-2,309; йо=-бб.б'. 13824 3456 По формуле (12.8) проверяем прочность балки о„о= ' + ' =1,28 —,=12,8 МПа<13 МПа.
396 1Ос 686,10н «Н 576 1! 52 см~ Условие прочности выполняется. Зпюра нормальных напряжений для сечения балки в заделке приведена на рис. 12.7,б. Для определения прогиба свободного конца балки разложим заданную нормативную нагрузку Р„на составляющие Р„=Р„сова„и Р,=Р„ззп«хр.
Используя формулу для прогиба консольной балки, нагруженной сосредоточенной силой на конце 8 9.4), найдем составляющие О и и полного прогиба 1' 1рис. 12.7, в) Р1з Р1з Р1з Р1з«к ЗЕ7, ЗЕЯ, ЗЕЛ, ЗЕВ Подставив числовые значения величин, входящих в эти формулы, найдем 0 = 0,667 см, и = 1,540 см. По формулам (12.10) определим полный прогиб 1=1,678 см и его направление зс 1,540 180«Г — — — — — — ' — — 2,309; аà — — 66,6'. «з О,бб7 Из сравнения этого равенства с (12.6) следует, что ~««т! = ~ О«О ~, то есть при плоском косом изгибе полный прогиб 7' направлен перпендикулярно к нулевой линии, и изогнутая ось балки не лежит в силовой плоскости. Пример 12.2.
Стальная двутавровая балка сечением 2 27а (рис. 12.8) нагружена в главных плоскостях инерции Оху и Ох; сосредоточенным моментом М=60 кНм и силой Р=10 кН 1заданы расчетные значения нагрузок). Расчетное сопротивление стали г«=210 МПа, коэффициент условий работы 7,=1. Построим эпюру ' нормальных напряжений для опасного сечения и проверим прочность балки. Моменты инерции и моменты сопротивления сечения З 27а равны 1,=5500 см4, 1,=337 ем~„ИГ,=407 смз, И',=50 см'. На рис.
12.86, построены эпюры изгибающих моментов М, и М,. Наибольшие величины моменты М, и М, имеют Ям Рис. !2.8 соответственно в сечениях С и Р балки. Поэтому необходимо проверить прочность балки по формуле (12.8) в обоих сечениях. В сечении С М,=45 кНм, М,=2,5 кНм, «т„в= + ' =16 —,=160 МПа<210 МПа. 45 10г 25 1Ог кН 407 50 смг В сечении Р М,='15 кНм, М,=7,5 кНм, «7„,= + ' =18,7 —,=187 МПа<210 МПа. 15,10г 7 5,10г кН 407 50 смг Условие прочности в обоих сечениях выполняется. Более опасным является сечение .Р. Для построения эпюры напряжений в этом сечении определим по формулам (12.3) и (12.6) положения силовой и нулевой линий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
