2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Затем начинает действовать сила Р„при увеличении кото- ' ~г гг рой сила Р, остается постоянной по Рг величине. 2 р1 д„ Линейные перемещения точек оси балки по направлению действия сил д' (прогибы) обозначены на рис. 10.5 буквой Л и имеют два индекса. Ряс. 10.5 Первый индекс показывае~ направление перемещения (по направлению действия первой или второй силы), а второй — причину, вызвавшую перемещение (действие сил Р, или Р,). Работа сил Р, и Р, при первой последовательности нагружения равна 1 1 А = — РгЛы+ — РгЛгг+ РгЛгг = 4ы+.4гг+Агг.
(10.5) 2 2 Третье слагаемое в этом выражении представляет работу силы Р, на перемещении Л„по ее направлению от действия силы Р,. Поскольку при этом сила Р, остается постоянной по величине, перед этим слагаемым стоит множитель 1, а не 11'2, Во втором случае изменим последовательность нагружеиия — вначале действует сила Р„а затем сила Р,. Линейные перемещения, на которых эти силы производят работу, показаны на рис. 10.5, в. Определяем работу сил Р, и Р,: 1 1 А = — Рг Лгг+ — РгЛ~г+РгЛг~ =Агг+Аы+Агг, (10.6) 2 2 где последнее слагаемое представляет работу постоянной по величине силы Р, на перемещении Л,„по ее направлению от действия силы Р,. Приравняв выражения (10.5) и (10.6) между собой, получим Р1Л12=РгЛ21, Агг= 4г1 ° (10.7) Равенства (10.7) выражают теорему Бетти о взаимности работ. Согласно этой теореме работа первой силы на перемещении по ее направлению от действия второй силы равна работе второй силы на перемещении по ее направлению от действия первой силы.
Теорему Бетти можно обобщить на случай произвольного нагружения упругой системы. Выразим работу А„через внутренние усилия в стержнях плоской стержневой системы: 1=1 ~ 1=1 1 г. н г В этой формуле Ж„М1 и Д1 — внутренние усилия в стержнях от действия силы Р,. Оставаясь постоянными по величине, они производят работу на перемещениях Лгглг Мгспс дглг Ч г ег' ез ' ог' вызванных действием силы Р,. Если силы Р, и Рг являются единичными (Р, =Рг — — 1), то на основании теоремы Бетти получим следующее равенство: 1 '-112 = 1 ' ~21. При обозначении единичных нагрузок принято вводить горизонтальную черту над соответствующей буквой. Обозначая перемещения, вызванные действием единичных нагрузок, буквой б, имеем 812 821.
(10.9) Равенство (10.9) известно как теорема Максвелла о взаимности перемещений. Смысл этой теоремы проиллюстрирован на рис. 10.6, где показаны два состояния шарнирно опертой балки под действием единичных сил (единичные состояния). Перемещение по ") р=! ~ направлению действия второй силы *1 в первом единичном состоянии равно перемещению по направлению действия первой силы во втором едир,=! ничном состоянии. о) 012 021 Единичными нагрузками мокнут быть как сосредоточенные силы Р=1 так и сосредоточенные моменты М=1; они считаются безразмерными величинами. Ряс.
10.6 й 10.3, Формула Мора для определения перемещений Рассмотрим балку, находящуюся под действием произ- вольных нагрузок (рис. 10.7, а). Назовем состояние балки под действием заданных нагрузок грузовым или действительным состоянием. Допустим, требуется определить прогиб балки в некоторой точке С. Прйложим в этой точке по направлению Р % искомого перемещения единич- ) А С В ную силу Р, =1, то есть создадим единичное или вспомогательное состояние (рис. 10.7, б). С; — ~р Примем следующую после- в) 7~ Р,=1 довательность нагружения: вначале действует единичная сила, а затем заданная нагрузка.
Определим работу постоянной по величине единичной силы на перемещении по ее направлению от действия заданных нагрузок, то есть на искомом перемещении точки С. На основании теоремы Бетти она равна А, =Ргд1„=1 Выражая работу А,„с помощью (10.8) через внутренние усилия в балке в единичном и грузовом состояниях, получаем формулу для определения искомого перемещения Лге=ос= 1111 ' + М, ' + з)Д1 ' . (10.10) о о о Обобщая (10.10), запишем формулу для определения любого линейного или углового перемещения в плоской стержневой системе (, 1,. 1, 1= 1.1 о о о Формула (10.11) называется формулой Мора.
В этой формуле Х„, М„и Ą— внутренние усилия в стержнях, вызванные действием единичной силы Р,=! или единичного момента М„=1, прикладываемых по направлению искомого перемещения. В первом случае перемещение А„е является линейным, а во втором — угловым. Внутренние усилия зле, Ме и Де соответствуют грузовому состоянию системы и возникают в ее стержнях под действием заданных нагрузок. Рнс. 10.7 Л„р= 2 — з1х. 1 ВзФз (10.12) о При расчете балок и стержневых систем, работающих в основном на изгиб (например, рам), влияние поперечных и продольных сил на перемещения несущественно и в большинстве задач не учитывается. Поэтому в формуле Мора можно с достаточной степенью точности использовать только слагаемое, содержащее изгибающие моменты: зз з (10.13) Е3 о В случае пространственной работы стержня или стержневой системы, элементы которой работают в основном иа изгиб и кручение, в формуле Мора обычно используются слагаемые, содержащие изгибающие и крутящие моменты.
Для определения взаимного перемещения ~очек оси стержневой системы или взаимного угла поворота поперечных сечений единичное состояние надо образовать с помощью парной единичной нагрузки. Например, для определения взаимно~о угла поворота поперечных сечений балки в промежуточном шарнире (Л0зв на рис. 10.8, а) надо в этом сечении приложить 210 Таким образом, для определения с помощью формулы Мора перемещений в балке или стержневой системе от действия заданных нагрузок надо по направлению искомого перемещения приложить единичную силу или единичный момент и определить вызываемые их действием внутренние усилия Ф„, М„и Д„.
Затем производится расчет системы на действие заданных нагрузок и определяются внутренние усилия Хр, ЛХе и Де грузового состояния. Выражения для внутренних усилий подставляются в формулу (10.11) и производится интегрирование в пределах длины каждо~о стержня 1; и суммирование результатов инте~рирования по всем стержням системы. Если в результате вычислений величина Л„г оказалась положительной, то направление перемещения совпадает с направлением действия единичной нагрузки, а если отрицательной — то оно противоположно этому направлению.
Отметим, что в общем случае нагружения стержня или стержневой системы формула Мора содержит шесть членов (интегралов) по числу внутренних усилий в поперечных сечениях стержня. Для систем, стержни которых работают на растяжение или сжатие (например, для ферм), отличен от нуля только один член формулы Мора: единичные моменты слева а) и справа от шарнира (рис. 10.8, б). Для стержней с криволинейной осью интегрирование е) ~о%в в формуле Мора должно про- з и=' в М=' изводиться по длине дуги оси стержня. Пример 10.1.
Для криволинейного консольного стержня, ось которо~о очерчена по дуге окружности (рис. 10.9, а), определим вертикальное перемещение точки приложения силы и угол поворота концевого сечения В. Прикладываем в сечении В по направлению искомых перемещений единичные силу и момент. Эпюры изгибающих мо114ентов грузового и единичных состояний приведены на рис. 10.9, б, е, г. Записываем выражения для изгибающих моментов в стержне в функции угла 0 М„=тзгп0; М,=1 Л 1пЕ; М,=1.
Подставляем эти выражения в формулу (10.13) и производим интегрирование по длине оси стержня. При этом учитываем, что дифференциал дуги окружности равен г6= ЯЫО. В результате получаем з(г вя=Л, = й= — яп Вг10= ~ ГГ М Рззз ~,рззз Е.1 Е1 4ЕХ мг ~ММ, Рлз ~ . Рлз ~Рв=Лге= г6= — япЫВ= Е1 Е3 Е/ Поскольку знаки вычисленных перемещений оказались положительными, их направления совпадают с направлениями единичных нагрузок. Р ~) Р=4 В Ряс. 10.9 2П й 10.4. Правило А. К. Верещагина ь хМрйх: хай= х Пр а пь где йр — площадь эпюры Мр и х,— абсцисса ее центра тяжести. Учитывая, что х, гя и = у„получаем окончательный результат: ь 1'м„м, Л,р= 1 ~~= — У,йр, е.г ы О (10.14) Для балок и стержневых систем, состоящих из прямых стержней, внутренние усилия единичных состояний Х», М„и Д„являются линейными функциями или на всем протяжении каждого стержня или на его отдельных участках.
Внутренние усилия грузового состояния Л'р, Мр и Др могут иметь произвольные законы изменения по длине стержней. Если балки и стержни имеют при этом постоянные или ступенчато постоянные жесткости ЕЕ, ЕЮ 3 и ОХ, то вычисление интегралов Л2р о Я Р в формуле Мора может быть произведено с помощью эпюр (М,) внутренних усилий. Рассмотрим, например, зпюры изгибающих моментов Мр и М„в прямом стержне постоянной жесткости (рис. 10.10).
О ® Грузовая эпюра Мр произволь- на а единичная эпюра М„явля- ~ пс о ется линейной. Начало отсчета координат поместим в точке Р . 1ОЛО пересечения зпюры М„с осью Ох. При этом изгибающий момент М„изменяется по закону М„=х1яз. Выносим постоянную величину гйэ!Еу в формуле (10.13) из под знака интеграла и производим интегрирование по длине стержня ь ь ( МьМь 1е« Льр= Ых= — хМрах.
Е1 еу а а Величина Мрс(х=ай является элементом площади грузовой эпюры Мр. При этом сам интеграл можно рассматривать как статический момент площади эпюры Мр относительно оси Оу, который равен где у, — ордината в линейной зпюре М, под центром тяжести площади нелинейной эп:оры М; (рис. 10.10). Б) Кеьььмиые пьььееьа а) Тьппеиии Р . 1ОЛ1 Способ вычисления интегралов в формуле Мора с помощью формулы (10.14) называется правилом А. К. Верещагина или правилом «перемножения» эпюр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
