2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Рассмотрим, например, действие сосредоточенной силы Р (рис. 9.11). В этом случае в сечении х=а функции о(х), »р(х) и М(х) остаются непрерывными, а поперечная сила Д имеет разрыв (скачок) на величину Р, то есть можно записать: х=а, гере в„„»хи=О; Чпр 1Рлеве '-~ »Р М„р=М„„АМ=О; Яр Я +РАДАР На первом участке балки прогиб зависит только от начальных параметров и определяется выражением (9.12). На втором участке к этому выражению надо добавить функцию ви(х), отражающую ьлияние разрыва и Л Д на прогиб балки за сечением х= а: ви(х)=ЛЯ вЂ”, = — (', ) .(9.14) 3 Таким образом, прогиб балки на первом и втором участках определяет- Рис. 9.11 ся по формуле 1 где, как и ранее, вертикальная черта с цифрой внизу соответствует границе участков (см. пример 9.2).
Аналогично можно учесть влияние на прогиб балки и других сосредоточенных факторов — сосредоточенного момента М и скачков угла поворота Ь~р и прогиба Лш Для учета влияния распределенной поперечной нагрузки ее надо представить как бесконечное множество элементарных сосредоточенных сил ЙР = ц (1)»11 (рис. 9.12), где 1 — новая переменная, изменяющаяся в пределах а<1<х.
Записав с помощью (9.14) выражение для учета влияния элементарной сосредоточенной силы»1Р ЙР(х — О (х — »)вч(»)»е'» 3! Е3 3! Е3 и проинтегрировав его по переменной 1 в пределах от а до х, получим функцию, добавляемую к решению (9.12) *И-1~„,~ еее» Например, для равномерно распределенной на участке (а, Ь] нагрузки (рис. 9.13) эта функция имеет следующий вид; ви(х)лп ( ) д»11= ( 3! Е3 4! Е3 При х>Ь Таблица 9 ! М!х — а,) ~ Р(х — а4) ~ д!х — а,) ~ 4!х — аа) 2! Е1 3! Е.7 4! Е.У 4! ЕУ lс(х — аз)з ~ а(х — аз)з д*(х — аз)з ~ 5! Е3 5! Еу 4! Е3 (9.18) Формула (9.18) является аналитическим выражением для прогиба балки на всех показанных на рис.
9.14 участках, границы которых обозначены вертикальной чертой с номером Рис. 9Л4 участка. На первом участке выражение для прогиба ограничено вертикальной чертой с цифрой 1, на втором участке— вертикальной чертой с цифрой 2 и т. д. Если нагрузки имеют другое направление, чем на рис. 9.14, то у соответствующих слагаемых в выражении (9.18) надо поменять знак на противо- (х )з Г~ !)з 3! Е/ 3! 'Е.1 4! Е.У 4! Е1 ь Первый член в формуле (9.17) соответствует равномерно распределенной нагрузке, условно продолженной до конца балки.
Второй член соответствует компенсирующей нагрузке на участке х)Ь, направленной в противоположную сторону. На рис. 9.13 зти взаимно уравновешенные нагрузки показаны пунктиром. Аналогичным образом можно учесть влияние поперечной нагрузки, распределенной по линейному закону, распределенной моментной нагрузки и .г. п. Функции, добавляемые к выражению для прогиба (9.12) для учета влияния наиболее распространенных статических и кинематических воздействий на балку, приведены в таблице 9.1. С помощью данных таблицы 9.1 запишем так называемое универсальное уравнение изоп1утой оси балки, учитывающее наличие наиболее распространенных воздействий на балку 1рис.
9.14). Р, В Рис. 9.16 Рис. 9.17 М Ч Рис. 9.19 Рис. 9.18 Ч положный. При наличии нескольких и однотипных воздействий (например, Ч. нескольких сосредоточенных сил о и т. п.) в уравнение изогнутой оси надо ввести такое же количество М -~'- —.[ соответствующих слагаемых. Продифференцировав уравнение изогнутой оси (9.18), можно записать выражение для углов поворота <р(х). Получить уравнение изогнутой оси балки в форме метода начальных Рис. 9Л5 параметров можно также на основа- нии дифференциального уравнения второго порядка (9.1).
Для этого надо записать выражение для изгибающих моментов в произвольном сечении балки с учетом влияния статических начальных параметров Мо и До и заданных нагрузок и произвести интегрирование. Рассмотрим, например, балку, нагруженную распределенной нагрузкой, изменяющейся по линейному закону (рис. 9.15). Изгибающий момент в сечении х равен М(х) = Мо+ 0ох — —— вох' [д(х) — до) х' 2 б где д(х)=до+18иох=до+1сх. Подставим это выражение в дифференциальное уравнение (9.1) и выполним интегрирование: Е1ци(х)= — М вЂ” Д~х+~' + —; гтох вохз Ьх ЕХо ' (х) = ЕЛр (х) = — Мох — — '+ — '+ — + Ст; 2! 3! 4! 2! 3! 4! 5! Положив в этих решениях х=О, выразим постоянные интегрирования С, и С2 через кинематические начальные параметры оо и <ро Еуср(О) = Е3гро = С~ Е1о(О) = ЕЗоо = С2.
Подставим С, и С, в полученное выше выражение для прогиба в пределах первого участка балки. Тогда получим Мох' Дох' Вох4 /сх' о (х) = но+ %ох — + — + 2!ЕУ 3.'Е3 4!Е3 5!Е2 Это выражение является частным случаем уравнения (9.18) Учет влияния сосредоточенных воздействий как и ранее может быть произведен с помощью метода наложения. Входящие в выражение (9.18) начальные параметры оо, до, Мо и До, а также скачки Л1Р и Ло не все~да бывают известны в начале расчета (всегда известны два начальных параметра из четырех).
Для определения неизвестных начальных параметров и величин Л1р и Ло надо использовать соответствующие граничные условия. При определении о и тр в статически определимых балках удобно вначале сделать статический расчет и определить статические начальные параметры Мо и До. Неизвестные кинематические величины оо, 1ро, Л~р и Ло подлежат определению из кинематических граничных условий. Приведем примеры их постановки, 1. Заделка в начальном сечении (рис. 9.1б). После статического расчета все начальные параметры будут известны: оо = О, фо = О, Мо — — — Мл, До — — Ял.
2. Шарнирнан опора в начальном сечении (рис. 9.17). В начальном сечении имеем: оо — — О, Мо = О, До = А „. Неизвестный начальный паРаметР 1Ро подлежит опРеделению из граничного условия х=1, о=О. 3. Свободный конец в начальном сечении (рис. 9.18). В начале расчета известны два начальных параметра: Мо = — М.
0о —— О. Для определения оо и 1ро можно использовать два граничных условия х = а, о = О; х = а+ 1, о = О. 4. Балка с промежуточным шарниром (рис. 9.19). В начальном сечении имеем: оо = О, Мо = О, До = А „. Неизвестные величины <ро и Л1рв подлежат определению из граничных условий в заделке х=1+а, о=О, 1р=О. Д'= — 9; М'=Д; '( ЕЛр'= — М; о'=<р. (9.19) Соотношения (9.19), а также характер внешней нагрузки позволяют установить наличие особенностей в эпюрах Д, М, <р и о, а именно, скачков, изломов„экстремумов и точек перегиба (см. 9 7.4). Рассмотрим примеры использования метода начальных параметров. Пример 9.3. Для балки с промежуточным шарниром (рис.
9.21) запишем с помощью метода начальных параметров выражения для <р и и, вычислим значения этих величин в характерных сечениях и построим эпюры О, М, 4! и о. Рис. 9.20 5. Статически неопределимая балка (рис. 9.20). Для статически неопределимых балок предварительный статический расчет невозможен, так как число искомых статических величин превышает число уравнений статики, которые можно составить для их определения.
Следовательно, в начале расчета таких балок могут быть неизвестны как кинематические, так и статические начальные параметры. Неизвестные величины подлежат определению из кинематических и статических граничных условий. Последние ставятся относительно изгибающих моментов и поперечных сил.
Например, балка на рис. 9.20 статически неопределима, поскольку трех уравнений статики недостаточно для определения четырех опорных реакций. В начальном сечении балки имеем: по=О, <ро=О. Для определения неизвестных начальных параметров М, и До можно использовать следующие граничные условия: х=1, о=О„М,=М (смешанные граничные условия). Использовав граничные условия, можно получить необходимое число уравнений относительно всех неизвестных величин. После их определения можно с помощью уравнения (9.18) записать окончательные выражения для прогибов и углов поворота в балке, а для статически неопределимых балок — построить также эпюры ДиМ. Вычислив значения о и !р в характерных сечениях балки, можно построить эпюры этих величин.
Для правильного построения и контроля эпюр Д, М, !Р и о надо использовать дифференциальные соотношения при изгибе: Данная балка статически определима. Ее можно представить состоящей из несущей и несомой частей (балок), соответственно ВС и АВ. Определим значение опорной реакции А„и построим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил: ХМ;-=О; Ял= =5 кН. 6.244 2 ! 4 Начальные параметры равны по=О. Мо=О До=Ах=5 кН. Учитывая значения начальных параметров и характер нагрузки, запишем с помощью уравнения (9.18) выражения лля прогибов и углов поворота в пределах трех характерных участков балки; 5хз 6(х 2)з .(х)=р..— .' + — -- '+ 3! Е.Г 3! Е.У О! 4 -2)з +4( ) +Л!рв(х — 4) 4! Е2 2, ~3з Рве.
9.21 Р(х)= '(х)= 9.— . +- . +:.: +ЛР. 5х 6(х — 2)з 4(х — 2)з 2! ЕУ 2! Е2 3! Е1 ! 3 5,6з 6 4з 4 4 х=б м, о=б<ро — + — + — +2Л<рв — — О; ба 6Е2 24Е.з' 5 6з 6 4' 4 4з !Р=!ео — + . + — +Л!рв — — О. 2Е2 2ЕУ 6Е2 В этих выражениях неизвестными величинами являются начальный параметр !)зо и скачок Лрв угла поворота в промежуточном шарнире.
Для их определения используем граничные условия в заделке С: Получили систему двух уравнений относительно неизвестных величин <ро и А!рв 36,67 3!ро+ зз!рв = Е3 0,67 !Ро+ ~Ч>в = —— Е2 ' решив которую находим 18,67 19,33 ~ро= — ', Л~рв= — — ' Е2 ЕУ Запишем окончательные выражения для и и <р и вычислим значения этих величин в характерных сечениях балки: !'О 18,67 !з = во = О Ч> = !Ро =— Е3 1Г х=2м, и= — ~ Е3~ 1Г х=4 м, в= — ~ 6 ) Ер Е1 ~ 2 ~ Е.7 5 4з 6 2з 4 2з~ 18,б7 4 — — + — + — ~ 6 6 24 32,0 Е2 Е7 <р„= — ( — 4 — 19,33) = — — ' 1 23,33 "'= Е7 Е3 х=б м, 0=0; (р=О.
Построим эпюры в и <р и отметим их особенности, вытекающие из дифференциальных соотношений (9.19). Эпюра !р в сечении х=4 м (промежуточный шарнир) имеет скачок (разрь1в). В сечении под сосредоточенной силой на эпюре !р имеет место' точка перегиба (смена знака кривизны). поскольку в этом сечении изменяется знак поперечной силы. В сечениях х=О и х=4 м касательные к зпюре <р параллельны оси, поскольку в этих сечениях изгибающий момент равен нулю. В пределах второго участка изменяется знак угла поворота.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
