2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Определим координату сечения хо, где угол поворота обращается в нуль: 0(х)=— м~хз !2.х' 2! Е1 3! ЕХ 12(х — 2)з 61х — 2)' ~ 2! Е2 4! ЕУ Я хв) Ом Нм) Для определения неизвестных статических начальных параметров Мо и До используем граничные условия на опоре В: Рвс. 9.22 1 Г Мзз'5 !2~'5 12'3 6'3~ 1 х=5м, 0 —— ЕЛ~ 2 6 2 24 М=Мо+5До+12 — б'3'1 5=0. Решая систему двух уравнений 12 5Мо+ 20 83До = — 33 75' Мо+ 50о = 15 находим значения статических начальных параметров Мо — — Мх — — — 11,55 кНм, До=А„=5,31 кН, На зпюре и в сечении В имеет место излом и смена знака кривизны.
В сечении С (заделка) касательная к зпюре !з совпадает с осью балки, поскольку в этом сечении !р=О. В сечении х=хо прогиб имеет экстремум, значение которого равно ! Г 5 298з 6.098 4 0984 3468 Эпюры в и <р приведены на рис. 9.21. Пример 9.4. Для балки на рис. 9.22 построим эпюры Д и М и вычислим значение прогиба в сечении, где приложен сосредоточенный момент. Данная балка статически неопределима, поскольку для определения четырех опорных реакций А„, Нх, М„и Ав можно составить только три уравнения статики. В начальном сечении балки имеем: во=О, !ро=О, Мо=Мх, 0о=Ах Запишем с помощью (9.18) выраже- 'зв ние для прогиба в пределах двух характерных участков: 269 201 Изгибающий момент Мц вызывает растяжение верхних волокон балки (его направление показано на рис.
9.22 пунктиром). Дальнейший статический расчет балки прост и не требует пояснений. Определим экстремальное значение изгибающего момента на втором участке: хс — ~о, 12,б9 5,31 М „=12,69 2,11 — ' =13,42 кНм. Эпюры Д и М приведены на рис. 9.22. Прогиб балки в сечении, где приложен сосредоточенный момент, равен 1 ) 11,55 2 5,3! 2' 16,02 2ЕУ бЕ2 Е2 В заключении приведем значения прогибов и углов поворота для некоторых балок при простых нагрузках 1таблица 9.2). Таблица 9.2 ГЛАВА 10 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МОРА В 10.1. Работа внешних сил и потенциальная.
энергия деформации при изгибе стержней и стержневых систем При нагружении деформируемой системы ее точки получают перемещения. При этом внешние нагрузки производят работу на соответствующих перемещениях. Будем рассматривать только статическое нагружение, при котором нагрузки достигают своих конечных значений в течении некоторого промежутка времени, достаточно большого, чтобы можно было не учитывать возникающие при изменении нагрузок силы инерции. Рассмотрим, например, действие сосредоточенной силы Р, ст'атически приложенной к консольной балке (рис.
10.1, а). При нагружении балка изгибается и точки ее'оси получают поперечные перемещения. При этом сила Р производит и) Р работу на перемещении А по направ- я А В лению ее действия. Если материал балки является линейно-упругим, то перемещение А прямо пропорционально силе: )ссв1в В' Р=АЬ, (10.1) где А †коэффицие пропорциональности, зависящий от свойств материала балки, от ее размеров и формы Рва. 10.1 поперечного сечения. График зависимости (10.1) представляет собой наклонную прямую, проведенную через начало координат (рис.
10.1, б). Как показано в 9 3.6, работа статически приложенной силы гвз Отметим, что Рис. 10.2 ченного момента, рис. 10.2, равна ! А =- Мч1„. 2 оАн =-Жс1(Лх) = —. А=- 2 Р1Ь1. 1=! ! 41 и йс (10.3) е) Рис. 10.3 Рис. 1ОА численно равна площади заштрихованного треугольника на рис. 10.1, б: А=-РЬ. (10.2) каждому виду нагрузки соответствует свое перемещение, на котором она производит работу.
Сосредоточенной силе соответствует линейное перемещение по направлению ее действия, сосредоточенному моменту — угловое перемещение или угол поворота поперечного сечения стержня, в котором приложен момент. Например, работа сосредотоприложенного в опорном сечении балки на Для отражения всего многообразия внешних нагрузок можно ввести понятие об обоби1енной силе.
Перемещение, на котором обобщенная сила производит работу, называется обобщенным перемещением. Таким образом, работа внешней обобщенной силы Р; при статическом нагружении равна половине произведения величины силы на соответствующее обобщенное перемещение Л,. Этот вывод можно распространить на случай одновременного действия нескольких нагрузок: Работу внешних сил, статически приложенных к балке или к стержневой системе, можно выразить через внутренние усилия в стержнях. Рассмотрим, например, плоский изгиб рамы (рис. 10.3, а).
В поперечных сечениях стержней рамы могут действовать три внутпенних усилия — изгибающий момент М, поперечная сила Д и продольная сила Ф. Вырежем из рамы бесконечно малый элемент сЬ и покажем действующие в его торцевых сечениях внутренние усилия (рис. 10.3,6). Изменение внутренних усилий на длине оЬ здесь учитывать не будем. Поперечное сечение стержня отнесено к главным центральным осям Ог и Оу (рис.
10.3, в). Для каждого элемента внутрвнние усилия можно рассматривать как внешние нагрузки, производящие работу на соответствующих деформациях элемента. Воспользуемся принципом независимости действия сил и вычислим раздельно работу каждого внутреннего усилия. Продольные силы вызывают взаимные осевые перемещения поперечных сечений (рис, 10.4, а), величина которых равна удлинению (укорочению) элемента о(Лл) = —.
Работа продольной силы на перемещении о!(Лх) равна Изгибающие моменты вызывают взаимный поворот поперечных сечений элемента (рис. 10.4,6). Учитывая, что при изгибе стержня его нейтральный слой сохраняет свою первоначальную длину, и используя формулу (9.2) для определения кривизны оси стержня (без учета ее знака) получим величину угла взаимного поворота сечений Изгибающий момент производит работу на угловых перемещениях поперечных сечений, равную ЙАм =- Мм'1р = Мг1 2 2Е3 Поперечные силы вызывают взаимный сдвиг поперечных сечений элемента (рис. 10.4, в). Опуская несложный вывод, приведем формулу для определения работы поперечной силы на деформациях сдвига: 12 гиз ело — — т1— 26Е где 6 †моду упругости материала стержня при сдвиге.
Безразмерный коэффициент г) отражает неравномерность распределения касательных напряжений по высоте поперечного сечения и зависит от его формы. Например, для прямоугольного сечения он равен б15, для круглого сечения — 1019. Таким образом, работа внутренних усилий как внешних сил на деформациях бесконечно малого элемента стержня равна АА =г1Ая+г1Ам+ЙА12= + — +г) У21 М21 д21 2ЕЕ 2ЕУ 2СЕ Интегрируя это выражение по длине каждого стержня и производя суммирование по всем стержням системы, получим формулу для определения работы внешних сил, выраженную через внутренние усилия в стержнях $, ч 3, где 1'=1, 2, ..., п — номер стержня и з; — его длина.
Поскольку в формуле (10.4) стоят квадраты внутренних усилий, работа внешних сил на вызванных их действием перемещениях всегда положительна. Для деформируемых систем, материал которых следует закону Гука, принимается, что работа внешних сил численно равна потенциальной энергии деформации системы: А= К При этом работа, затрачиваемая на преодоление трения, связанная с выделением тепла и т.
п., считается несущественной и не учитывается. Потенциальная энергия деформации упругой системы так же, как и работа внешних сил, всегда положительна. В процессе деформирования она как бы накапливается в упругой системе, а при разгрузке расходуется на возвращение ее в первоначальное недеформированное состояние. Отметим, что в большинстве случаев членами в формуле (10.4)„зависящими от поперечных сил, можно в связи с их малостью пренебречь. ~ 10.2.
Теоремы Бетти и Максвелла Величина работы внешних сил так же, как и потенциальная энергия деформации, не зависит от последовательности нагружения упругой системы и определяется ее конечным состоянием. Используем это свойство для определения работы двух сосредоточенных сил, приложенных к шарнирно опертой балке (рис. 10.5). Рассмотрим два варианта а) й последовательности нагружения балки. В первом случае (рис. 10.5, б) вначале действует сила Р,, статиче- г) д 1 Р 2 ски возрастая до своего конечного значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
