2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 29
Текст из файла (страница 29)
/ Ьдз ЗМ„ М„ тиз и Ьдз Н; (8.61) где 1йбг д 3 (8.62) Тогда Ф 6 г зб н Рис. 8.20 177 176 Выражения для напряжений принимают вид Отсюда видно, что вдоль горизонтальной оси (у=О) напряжения т„, =О, а т„изменяются по линейному закону, и аналогично, вдоль вертикальной оси (х=О) т„=О, а т„изменяются по линейному закону (рис. 8.19). Йаибольшие напряжения действуют на концах малой оси эллипса момент сопротивления эллиптического стержня при свободном кручении. При а = Ь = Я формулы (8.54), (8. 55), (8. 56) совпадают с формулами (8.9), (8.15), (8.16) для круглого стержня. Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения.
Рассмотрим сначала прямоугольное сечение в виде узкой полосы Ь=б((Ь„(рис. 8.20). В этом случае можно пренебречь влиянием граничных условий на коротких сторонах (у=+Ь12) на распределение напряжений в поперечном сечении. Функцию напряжений Ф примем в виде Ф=А х+- х — — =А х' —— Эта функция на длинных сторонах полосы (х=+б/2) равна нулю.
На коротких сторонах (у=+Ь/2) она не равна нулю, но как было отмечено выше, это не существенно. Подставляя (8.57) в (8.44), найдем По формулам (8.43) найдем напряжения т, = — = О; т„= — — = 26ср'х. (8.58) дФ дФ Для того, чтобы относительный угол закручивания <р' выразить через заданный момент М„, воспользуемся формулой (8.47) '2 !2 М„= — 26<р' х2 — — б(хну= — 26ср' б(у х2 — — дх= а "~г !2 ° / 3 дз Х 16,Ьбз 3 4 3 Из сравнения этого выражения с (8.53) следует, что момент инерции при кручении стержня с поперечным сечением в виде узкого прямоугольника равен С учетом этого формулу для относительного угла закручивания можно представить в виде Подставляя это значение <р' в (8.58), получим Наибольшие касательные напряжения возникают на длинных сторонах прямоугольника (х = + 8/2) момент сопротивления для узкого прямоугольника при свободном кручении.
Перейдем к рассмотрению кручения стержня прямоугольного поперечного сечения с произвольным отношением сторон Ь/Ь (рис. 8.21). Решение этой задачи получается с помощью рядов. Ограничимся рассмотрением конечных результатов. Анализ показывает, что в угловых точках сечения напряжения равны нулю. Наибольшие по абсолютной величине напряжения, возникающие в серединах длинных сторон прямоугольника (в точках А и В), могут быть найдены по формуле Рис. 8.21 Рис. 8.22 Рис.
8.23 а=~3=-, 2) =0,742. Таблица 8.! (Я2 Я1)(Я2+Я1)(Я 2+ Я 1). У„2яЯ цо 8; И~„= — ' 2яЯ ц~ 8, .7'7 Яо 1» в » Б. (8.63) 178 179 где 147 ~„6 2 Напряжения в серединах коротких сторон (в точках С и О) равны тнб ~2аб 77 В отличие от случая узкого прямоугольника здесь изменение касательных напряжений по сечению имеет нелинейный характер.
Относительный угол закручивания стержня может быть найден по формуле (8.36), в которой следует положить 1 ~31 сз Эпюры касательных напряжений по главным осям сечения и по диагонали изображены на рис. 8.21. Коэффициенты а, ~3, 21 зависят только от отношения сторон Ь1Ь прямоугольника. Значения этих коэффициентов для разных отношений 6116 приведены в таблице 8.1. Для очень узких прямоугольников (616 > 10) можно принять 8 8.9. Свободное кручение тонкостенных стержней Стержень называется тонкостенным, если длина контура его поперечного сечения в намного больше толщины сечения 8 (рис. 8.22).
В свою очередь, понятие «стержень» устанавливает, что его длина 1 намного превосходит размеры поперечного сечения. Таким образом, для тонкостенных стержней справедливы следующие неравенства: Различают два типа тонкостенных стержней — стержни замкнутого (рис. 8.23, а) и открытого (рис.
8.23, б) профиля. Эти два типа стержней обладают сушественно разной жесткостью при кручении, вследствие чего углы закручивания их при одинаковых крутящих моментах также существенно отличаются. Существенно различны также характер распределения и величины касательных напряжений в их поперечных сечениях.
Ниже рассматривается свободное кручение тонкостенных стержней, при котором депланация сечений по длине не изменяется и в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения, Стержни замкнутого профиля. Рассмотрим основные закономерности свободного кручения таких стержней на примере стержня, имеющего сечение в виде тонкого кольца (рис.
8.24). Если толщина кольца 5 намного меньше его среднего радиуса Яц=(Я1+Я2)/2, то можно приближенно считать„что касательные напряжения постоянны по толщине стенки. Их величина может быть определена по формуле (8.14), при этом формулу для полярного момента инерции можно преобразовать следующим образом: Р 2( 2 1) 2( 2 1)( 2 1) Полагая Я2 — Я, =8 и считая приближенно Я2 Я, Яц, получим формулы для полярного момента инерции и полярного момента сопротивления тонкостенного кольцевого сечения в виде (8.68) Рис. 8,25 Ряс. 8.24 '~к г„, 'сс~ (8.69) м„ м, т„~-— — "-— И'„2яйо 8 (8.64) У =~ХЬ бз (8.70) м„м„ '1ЗО) ПГ 2«»з5 (8.65) т= — "; И'„=208(з), (8.66) ) 112 (с бз+2~, бз) г збз.
И збг (8 71) 1 сбз. И 1 сбг з ' " з А я)1об И' ™об . (8.67) Ряс. 8.26 181 188 С учетом этого по формулам (8.15) и (8.10) получим В этих формулах индекс (з) означает «замкнутое» кольцо. Результаты, полученные для замкнутого кольцевого сечения, можно обобщить для любого замкнутого тонкостенного профиля (рис. 8.25). В частности, формула для касательных напряжений при этом примет вид где й — площадь области, ограниченная средней линией сечения, а 8 (з) — в общем случае переменная толщина стенки сечениЯ. Заметим, что длЯ кРУгового кольца й=кЯо ги б=сопзг, и в этом случае из (8.66) получается формула (8.64).
Очевидно, что наибольшие касательные напряжения будут в той зоне замкнутого профиля, где толщина стенки наименьшая. Стержни открытого профиля. Для определения наибольших касательных напряжений и относительных углов закручивания тонкостенных стержней открытого профиля следует пользоваться формулами (8.61) и (8.60). При этом момент инерции .з, и момент сопротивления И'„, входящие в эти формулы, в зависимости от формы поперечного сечения вычисляются по разному. Для тонкого листа, поперечное сечение которого представляет собой узкий прямоугольник, как следует из формул (8.59) и (8.62) Тогда формула для наибольших касательных напряжений в тонком листе может быть записана в виде Характер распределения касательных напряжений в поперечном сечении тонкого листа показан на рис.
8.20. Равенство (8.68) может использоваться и для вычисления напряжений в стержнях, состоящих из нескольких листов и прокатных профилей, При этом момент инерции вычисляется по формуле а каждое слагаемое, входящее в эту формулу, также определяет- ся как сумма Здесь Ьь 8; — размеры отдельных элементов сечения, коэффициент, зависящий от формы сечения.
Для двутавра з1=1,2, для швеллера — 1,12, для уголка и листа — 1,00. Увеличение моментов инерции 1,„сечений прокатных профилей по сравнению с моментами инерции сечений, состоящих из прямоугольников, обусловлено наличием утолщений в местах стыковки отдельных элементов профиля. Покажем на примере вычисление момента инерции У„для швеллера. где 6„8, и ܄܄— соответственно длина и толщина стенки и полки швеллера. Если сечение имеет криволинейное очертание с длиной контура по средней линии, равной з, то з„ и И; можно вычислить по формулам (8.67) для тонкого прямоугольника, заменив в них Ь на з. В результате получим Воспользуемся этими формулами для вычисления 7, и И~„сечения в виде кругового кольца с разрезом (рис.
8.26). Учитывая, что длина з средней линии сечения равна 2яЯо, получим По формулам (8.61) и (8.60) вычислим наибольшие напряжения и относительный угол закручивания: зм„, зм„ (о) гк)) у 9(о) г(:(()) Здесь индекс (о) означает «открытый» профиль. Сравним полученные значения с соответствующими величинами для замкнутого кольца (8.64) и (8.65), вычислив их отношения як' Из этих соотношений видно, что при Я()>)б напряжения в стержне открытого профиля существенно больше, чем в стержнях, имеющих замкнутый профиль. Еще более существенно отличие в углах закручивания. Если, например, Яо)'8=10, то напряжения в стержне открытого профиля в тридцать раз, а относительный угол закручивания — в триста раз больше, чем в стержне замкнутого профиля.
Эти эффекты связаны с существенно различным характером распределения напряжений в двух рассматриваемых типах сечений (рис. 8.24 и 8.26). ЧАСТЬ ВТОРАЯ ГЛАВА 9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ 9 9.1. Общие положения Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При прямом изгибе ось балки превращается в плоскую кривую, расположенную в плоскости действия поперечных нагрузок.
При этом точки оси получают поперечные перемещения или прогибы и, а поперечные сечения поворачиваются относительно своих нейтральных осей (рис. 9.1). Углы поворота поперечных сечений принимаются равными углам наклона (р касательной к изогнутой оси балки. Прогибы и углы поворота в балках часто называются линейными и угловыми перемещениями. Отметим, что при изгибе балки точки ее оси получают также осевые перемещения и.
Однако в большинстве случаев они значительно меньше прогибов и ими можно пренебречь. Исключение составляют так называемые гибкие стержни, допускающие значительное искривление оси (рис. 9.2). В реальных конструкциях прогибы балок значительно меныпе длины пролета. Отношение наибольшего прогиба (стрелы прогиба) г к длине пролета 1 устанавливается нормами проектирования строительных конструкций в следующих пределах: ) Г гоо ' (ооо' Рнс. 9Л Ряс. 9.2 Будем считать прогибы положительными, если поперечные перемещения точек оси происходят в положительном направлении оси Оу (на рис. 9.1 — вниз). Углы поворота считаются положительными, если касательная к изогнутой оси поворачивается от осн Ох к оси Оу, то есть по ходу часовой стрелки. Прогибы балок измеряются в сантиметрах или миллиметрах, а углы поворота — в градусах или радианах.
Прогибы и углы поворота в балках являются переменными величинами, то есть функциями координаты х. Их определение необходимо для расчета балок на жесткость, а также при решении статически неопределимых задач. При этом можно либо определять законы изменения функций и(х) и 1р(х) по длине балки, либо вычислять значения этих величин в конкретных сечениях. Существуют различные методы определения линейных и угловых перемещений в балках и стержневых системах. й 9.2. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки В 8 7.5 было получено дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, связывающее ее прогибы с изгибающими моментами М,: «12 ««М «1х~ Е,Г (9.1) где У,— момент инерции поперечного сечения балки относительно его нейтральной оси; Š— модуль упругости материала балки. Произведение Е.У, называется жесткостью балки при изгибе (изгибной жесткостью).
Чаще всего она бывает постоянной или ступенчато постоянной по длине. Уравнение (9.1) получено для случая чистого изгиба балки, когда изгибающий момент имеет постоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако, это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равносильно пренебрежению искривлением поперечных сечений балки за счет сдвигов в соответствии с гипотезой плоских сечений. Левая часть уравнения (9.!) представляет собой приближенное выражение для кривизны изогнутой оси балки 1 сРи р «1х (9.2) 184 где р — радиус кривизны изогнутой оси (рис. 9.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
