2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В точке А согласно эпюрам о„и т,„на рис. 7.30 и 7.34 о=о„„= — о„т=О. Так как при этом о1=0, то первая из формул (7.42) превращается в неопределенность, а вторая дает аг =О. Аналогично в точке С о = о„с = сз „, т = О, и первая из формул (7.42) дает а,=О. В точке В имеем: о=О, т=т„с. В этом случае из формул (7.41) получим 18 а 1 = 1; 18 аг = — 1; а 1 = 45', а г = — 45'.
Таким образом„при поперечном изгибе в точках нейтрального слоя возникает напряженное состояние чистого сдвига, а в верхних и нижних волокнах — одноосное напряженное состояние. Если в различных точках известны направления главных напряжений, то можно построить траектории главных напряжений, то есть линии, в каждой точке которых касательная совпадает с направлением главного напряжения в этой точке.
На рис. 7.45 для балки, заделанной Т одним концом и нагруженной силой Р, сплошными линиями показаны траектории главных растягивающих о,, Рис. 7.45 а пунктирными — главных сжимающих о, напряжений. Траектории главных напряжений о, и о, пересекаются между собой под углом 90, а ось балки они все пересекают под углом 45'. По траекториям о, можно судить о возможном месте и направлении трещин в балках из хрупких материалов. При армировании железобетонных балок арматуру необходимо располагать в зонах растяжения и по возможности по направлению главных напряжений.
Эта задача решается с помощью траекторий главных напряжений. В случае поперечных сечений с резко меняющейся шириной (например двутавр) могут возникнуть большие главные напряжения. Рассмотрим числовой пример. Пример 7.8. Для балки, изображенной на рис. 7.21 и имеющей сечение 130а, определим главные напряжения. По таблице сортамента находим момент сопротивления И', = 518 см з, момент инерции 1, = 7780 см н статический момент половины сечения В,"'=292 см'.
Основные размеры сечения показаны на рис. 7.46 в сантиметрах. ®„, 0 Рис. 7.46 Определим статический момент полки относительно нейтральной оси Ь',"=14„5 1,07~ 15,0 — ' ~=224 смз. 1,07 ! 148 Точки, в которых нужно определить главные напряжения, находим в следующем порядке: сначала отметим те сечения, в которых изгибающий момент и поперечная сила имеют одновременно большие значения, и построим для этих сечений эпюры напряжений а и т. Затем для каждого из этих сечений по эпюрам нормальных и касательных напряжений отметим те точки, в которых эти напряжения одновременно будут большими. Для найденных таким образом точек определим главные напряжения. Эпюры Д, и М, приведены на рис.
7.21. Опасным является сечение В, где поперечная сила и изгибающий момент имеют значения Д = — 70 кН; М,= — 100 кНм. Построим эпюры нормальных и касательных напряжений для опасного сечения. Нормальные напряжения в верхних волокнах равны М, !ОО 1О кН сг= — — * =- =19,3 —, =193 МПа. Н', 5!8 см2 На уровне примыкания полок к стенке (у= — 13,93 см) М, 100.10' 13,93 кН о = — *у = — ' — = 17,9 —, = 179 МПа. У, 7780 см2 Касательные напряжения на уровне нейтральной оси 12 Я "2 70 292 кН вЂ” — — = — 4,0 —, = — 40 МПа. 2 а' 7780 0,65 см2 Касательные напряжения в стенке на уровне сопряжения с полкой Я,5", 70 224 кН т= ' '= — — = — 3,1 —,= — 31 МПа.
У,а' 7780 0,65 см2 По найденным значениям о и т нос~росны эпюры нормальных и касательных напряжений (рис. 7.46). Из этих эпюр видно, что в стенке в местах сопряжения с полками балки напряжения о и т имеют одновременно большие значения.
В этих местах определим главные напряжения. Для верхней части сечения имеем 179 179' о,= — + +31~=89,5+94,7=184,2 МПа; 2 4 о,=89,5 — 94,7= — 5,2 МПа. Таким образом, в рассматриваемом примере главные напряжения в опасных точках не превосходят нормальных напряжений в крайних волокнах. 149 8 7.8. Расчет балок на прочность ири изгибе во втором ~ю( [~] (7.44) В таком виде записываются условия прочности для балок из пластичного материала (например, строительных сталей), одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию.
Для хрупких материалов (например, чугуна), которые работают на растяжение значительно хуже, чем на сжатие, расчетное сопротивление и допускаемые напряжения при растяжении Я, и [о„] существенно меньше, чем при сжатии Я, и [о,]. В этом случае необходимо выполнение условий прочности по наибольшим растягивающим о"„~ и наибольшим сжимающим о,"в напряжениям (7.45) или ор'< [о„]; о,"'< [о,]. (7.46) В дальнейшем мы будем главным образом пользоваться методом расчета по первой группе предельных состояний.
Для балок из пластичного материала, одинаково хорошо сопротивляющегося растяжению и сжатию, выгодно применять симметричные относительно нейтральной оси сечения. В этом случае условие прочности (7.43) с учетом формулы (7.22) записывается в виде М„ ~-"нб= ус'~1 (7.47) Иногда по конструктивным соображениям применяются несимметричные сечения типа тавра, разнополочного двутавра !50 При расчете изгибаемых элементов конструкций на прочность используются методы, рассмотренные в 0 3.7. При расчете строительных конструкций применяется метод расчета по первой группе предельных состояний; в машиностроении— метод допускаемых напряжений. В подавляющем большинстве случаев решающее значение на прочность элементов конструкций оказывают нормальные напряжения, действующие в крайних волокнах балок и лишь в некоторых случаях касательные напряжения, а также главные напряжения в наклонных сечениях.
Во всех случаях наибольшие напряжения, возникающие в балке, не должны превышать некоторой допустимой для данного материала величины. При расчете по первой группе предельных состояний эта величина принимается равной расчетному сопротивлению Я, умноженному на коэффициент условий работы у, < 1; при расчете по методу допускаемых напряжений— допускаемому напряжению [о]. В первом случае условие прочности записывается в виде о„,<у,А, (7.43) и т. п. В этих случаях условие прочности (7.43) с учетом (7.20) записывается в виде (7.48) ш„„ В формулах (7.47) и (7.48) И' и И'„„— моменты сопротивления сечения относительно нейтральной оси Ог (индекс г в дальнейшем опускаем); М„в — 'наибольший по абсолютной величине изгибающий момен~ от действия расчетных нагрузок, определяемых по формуле (3.41).
Сечение балки, в котором действует наибольший по абсолютной величине изгибающий момент, называется опасным сечением. При расчете элементов конструкций, работающих на. изгиб, с использованием условий прочности решаются следующие задачи: проверка прочности балки; подбор сечения; определение несущей способности (грузоподьемности) балки, то есть значений нагрузок, при которых наибольшие напряжения в опасном сечении балки равны у,А или [о]. Решение первой задачи сводится к проверке выполнения условий прочное~и при заданных нагрузках, форме, размерах сечения и свойствах материала.
Решение второй задачи сводится к определению размеров сечения заданной формы при заданных нагрузках и свойствах материала. Вначале из условий прочности (7.47) или (7.48) определяется величина требуемого момента сопротивления нб Мс И'> "' или И'„„> — "', у,Я у,Я (7.49) 151 а затем устанавливаются размеры сечения. Наиболее просто эта задача решается для балок прямоугольного, круглого сечения и прокатных балок. Для прямоугольного сечения (рис. 7.30) с заданным соотношением сторон Ь(Ь=)с из (7.23) и (7.49) можно найти ~~И И Г6~М Ь И = — = — Ь=з — "' Ь=— 6 бй уЯ й Для круглого сечения вгЗ' 532М„, Иг=; Д=з (7.5 1) 32 ву,Я Для прокатных профилей (двутавры, швеллеры) по величине требуемого из условий прочности (7.47) момента сопротивления подбор сечения производится по сортаменту.
Подбор сечения более сложной формы выполняется методом последовательных приближений. При каждом приближении задаются размерами сечения и затем проверяют выполнение (7. 52) Мнб ус Я И нм. о /аь ~о ьг ~ = — + — +~' <7,Я. 2 ч' 4 (7. 54) 3ь„ та= — «~у Я. 2Е (7.55) т„в<у,Я,, (7.53) ь ч!ип и -~ нв 4 20ьвч Ряс. 7.47 Рне.
7.48 153 !52 условий прочности (7.47) или (7.48) до тех пор, пока напряжения о.„в станут равны 7, Я или будут немного меныпе этой величины. При решении третьей задачи по определению грузоподъемности балки вначале по формуле (7.47) или (7.48) из условия равенства наибольших напряжений в опасном сечении величине у,Я находится величина наибольшего изгибающего момента Затем этот момент выражается через приложенные к балке нагрузки и из полученного выражения определяются соответствующие величины нагрузок.
Например, для стальной двутавровой балки 2 30, изображенной на рис. 7.47, при Я=210 МПа, 7, = 0,9, И'= 472 смз М„,=у,Я И'=0,9.210 472 10 =89,2 кНм. По эпюре изгибающих моментов находим Р( 4 89,2 М„,= — =89,2 кНм; Р= ' =118,3 кН. 4 3 Рассмотрим случаи, когда проверка прочности (7.47), (7.48) по наибольшим нормальным напряжениям, действующим в поперечных сечениях балки, оказывается недостаточной. В коротких балках (117! ( 5), а также в балках обычной длины, но нагруженных большими по величине сосредоточенными силами, близко расположенными к опорам (рис. 7.48), изгибающий момент М„в може~ оказаться сравнительно небольшим, а поперечная сила Д„, по абсолютной величине значительна.
В этих случаях необходимо производи~ь проверку по наибольшим касательным напряжениям т„„которые возникают в сечении балки, где действует Д„ь. Условие прочности по наибольшим касательным напряжениям можно записать в виде где Я,— расчетное сопротивление материала балки при сдвиге. Для металлов Я,-0,6Я, например для сажали марки ВСтЗ при Я=210 МПа, Я,=130 МПа. Касательные напряжения могут достигать значительной величины в стенке двутавровых балок, особенно в тонких стенках сварных балок.
Кроме того в стенке такой балки в местах перехода к полке главные напряжения, возникающие на наклонных площадках, могут оказаться по абсолютной величине больше, чем наибольшие напряжения в поперечных сечениях. В таких случаях необходимо проверять условие прочности по наибольшим главным напряжениям для тех сечений балки, в которых М и О одновременно велики по абсолютной величине Следует отмети~ь, что проверка прочности по формулам (7.53) и (7.54) производится после проверки прочности или подбора сечения по формулам (7.47), (7.48), (7.49) и имеет цель при необходимости уточнить некоторые размеры сечения, например, увеличить толщину стенки двутавра. Расчет на прочность по касательным напряжениям может иметь решающее значение для деревянных балок, так как дерево плохо сопротивляется скалыванию вдоль волокон.
Так например, для сосны расчетное сопротивление растяжению и сжатию при изгибе Я=13 МПа. а при скалывании вдоль волокон Я,=2,4 МПа. Условие прочности по касательным напряжениям для деревянной балки прямоугольного сечения с учетом формулы (7.30) можно записать в виде 8 7.9. Рациональные типы сечений балок Как видно из формулы (7.52), несущая способность балки пропорциональна моменту сопротивления И'„„, а расход материала — площади Г поперечного сечения балки. Поэтому рациональными с точки зрения расхода материала являются такие типы сечений, у которых отношение И'/Г имеет возможно большее значение. Момент сопротивления пропорционален моменту инерции. Для симметричных сечений И"=.7/0,5п. Момент инерции тем больше, чем дальше расположен материал от нейтральной оси Ог сечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
