2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 21
Текст из файла (страница 21)
7.14). Поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть рассматриваемую часть балки по ходу часовой стрелки (рис. 7.15). Для определения внутренних усилий используется метод сечений. Рассекая балку в сечении улп на произвольном расстоянии х от левого конца плоскостью, перпендикулярной к ее оси (рис. 7.16, а), мы можем рассмотреть равновесие левой или правой ее частей. Составляя уравнение равновесия у. У=О для части балки, находящейся слева от рассматриваемого сечения (рис. 7.16,6), получим л:у ~л Р1' В общем случае это выражение можно записать в виде О ~ улев (7.2) В правой части этого равенства стоит сумма проекций на нормаль к оси балки всех сил, приложенных к ее левой части. Из уравнения моментов относительно центра тяжести сечения 2.Мс=О для левой части балки получим М, = Я, х — Р, (х — а)+ М.
В общем случае М ~ М лев (7.3) В правой части этого равенства стоит сумма моментов относительно центра тяжести сечения всех сил, расположенных слева от этого сечения. У.>0 свевуыв вв»акнв 1с1>0 Ряс. 7.15 Ряс. 7.14 12О Рассматривая равновесие правой части балки (рис. 7.16,4), можно получить аналогичные выражения: Щ ЫМ, — '= Оу. 4х дх (7.6) Рис. 7.17 121 Д,=Р,— Яв; А М» = Ав 1» — х) — Р» (» — х — с), или в общем случае Д =2.
Ул' (7.4) М» = Х М с'. (7.5) Чтобы правильно определить знак того или иного слагаемого в правых частях равенств (7.2) и (7.4) следует мысленно закрепить рассматриваемую (левую или правую) часть балки в сечении тл (рис. 7.16,б,в). Тогда в соответствии с правилом знаков для Д, если силовой фактор (в данном примере это Я„и Р,) стремится повернуть балку по ходу часовой Рис. 7.16 стрелки, то соответствующее слагаемое берется с положительным знаком.
При определении знаков слагаемых в выражениях (7.3) и (7.5) следует пользоваться правилом знаков для изгибающего момента. В рассматриваемом примере силовые факторы Рс„, М, Яв, вызывающие растяжение нижних волокон балки, взяты со знаком плюс, а силы Р, и Р„вызывающие растяжение верхних волокон,— со знаком минус. Для нахождения зависимостей между изгибающим моментом М„поперечной силой Д, и распределенной нагрузкой д(х) вырежем из балки элемент длйной Их (рис. 7.17). В силу малости длины элемента Ых распределенную в его пределах нагрузку д(х) примем постоянной.
Рассматривая уравнения равновесия этого элемента, получим Е У= у с7х — О + Ц, + Щ = О; У2 У У)2 Пренебрегая слагаемым ИД пх, име- у я ющим более высокий порядок малости по сравнению с остальными, получим И2М ах (7.7) Рис. 7.18 Ри 11в =— ~ Мв = Яв1 Рь ( ~ Мв = пл1+1 и = О; Рис. 7.19 РЬ РЬ., Д =Я„= —; М,=Я„х, = — ''. 1гг 1гз Из этих двух зависимостей следует третья Формулы (7.6) и (7.7) используются при построении и проверке эпюр Ду и М, в балках при изгибе.
8 7.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов Для того, чтобы произвести расчет балки на прочность при изгибе, необходимо знать наибольшие значения поперечной силы Ду и изгибающего момента М, и положение сечений, в которых они действуют. В связи с этим возникает необходимость определить закон изменения Ду и М, по длине балки. Для этой цели обычно строят эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, которые представляю~ собой графическое изображение функций Ду и М,. При построении эпюр Д и М, обычно вычисляют значения этих внутренних усилий в характерных сечениях балки, а полученные ординаты соединяют соответствующими линиями, учитывая зависимости (7.6), (7.7) и вид нагрузки.
В дальнейшем условимся положительное направление оси Оу выбирать сверху вниз, на эпюре Ду положительные ординаты откладывать вниз„отрицательные — вверх, а ординаты эпюры М, откладывать со стороны растянутых волокон балки. Согласно этому правилу для балок положительные значения изгибающих моментов откладываются вниз, так как эти моменты вызывают растяжение нижних волокон. С учетом этих условий и формул (7.6) и (7.7) можно сделать ряд выводов, полезных при построении и проверке правильности эпюр Ду и М,.
Прежде чем сформулировать эти выводы рассмотрим примеры построения эпюр Ду и М,. Пример 7.1. Построим эпюры Ду и М, для шарнирно опертой балки, показанной на рис. 7.18. Из уравнений статики найдем опорные реакции: Вычислим Ду и М, для участков АС и СВ балки. На участке АС (0<х, <а) На участке СВ (а<х2<1) Ра Ра Оу 11В ~™л 11В (1 х2) (1 х2)' Из полученных выражений видно, что поперечная сила на участках АС и СВ постоянна, а в точке С имеет скачок, равный Р, а изгибающие моменты изменяются по линейным законам, при этом М,"=Ми=О, Мс=М,'"= —.
Эпюры Ду и М, показаны на рис. 7,18. Пример 7.2. Построим эпюры Ду и М, для балки, нагруженной сосредоточенным моментом М (рис. 7.19). Независимо от места приложения момента опорные реакции будут равны по величине и противоположны по направлению. На участке АС имеем М Мх~ Ду Яв М Явх~ 1 На участке СВ м 1е = Вв= М,=В (1 — х )=т(/ — х,). м Из полученных выражений видно, что поперечная сила на обоих участках имеет одно и тоже постоянное значение, равное — М/1, а изгибающие моменты изменяются по линейным законам, при этом Мв=Мв=О В точке С изгибающий момент имеет различные значения слева и справа при этом на эпюре М, имеется скачок, равный величине приложенного момента М. Эпюры Д„и М, показаны на рис.
7.19. Пример 7.3. Построим эпюры Я, и М, для балки, показанной на рис. 7.20. Иивв Е .$ Рис. 7.20 124 Ввиду симметрии опорные реакции равны между собой ф Вв=Вв=— г' Выражения для поперечной силы и изгибающего момента в произвольном сечении х балки имеют следующий вид: Д, = ߄— дх=-(/ — 2х); М, = Я„х — дх- = — (/ — х). х дх 2 2 Таким образом, поперечная сила изменяется по длине балки по линейному закону, а изгибающий момент — по закону квадратной параболы. На опорах балки В середине пролета х=//2. 2 21 2/ 8 Эпюры Д, и М„построенные по найденным ординатам в точках А, В и в середине пролета, показаны на рис. 7.20.
Теперь приведем общие выводы, которые можно сделать на основе рассмотренных выше простейших примеров 7.1 — 7.3. 1. На участках балки, где 9=0 (участкн АС и СВ на рис. 7.18 и 7.19), поперечная сила Ц, постоянна, а изгибающий момент М, изменяется по линейному закону. 2, На участках балки, где приложена равномерно распределенная нагрузка д (рис. 7.20), поперечная сила Д, изменяется по линейному закону, а изгибающий момент М, по закону квадратной параболы, обращенной выпуклостью в сторону действия нагрузки д. 3.
В сечениях, где эпюра Д, пересекает ось балки (рис. 7.20), изгибающий момент М, имеет экстремум (максимум илн минимум). 4. В точке приложения сосредоточенной силы (рис. 7.18), эпюра Д, имеет скачок, равный по величине приложенной силе, а эпюра М, имеет излом в сторону действия силы. 5. В точке приложения сосредоточенного момента (рис. 7.19) эпюра М, имеет скачок, равный по величине приложенному моменту. 6. На участках балки, где Д имеет одно и тоже постоянное значение (рис. 7.19), эпюра М, ограничена параллельными прямыми. Пользуясь приведенными выводами построим эпюры Д, и М, для следующих примеров. 125 Пример 7.4. Построим эпюры Ду и М, для балки на двух шарнирных опорах с консолью (рйс. 7.21).
51нн 18 Рнс. 7.21 Из уравнений равновесия найдем опорные реакции Яя и Ян ХМн = — ЯА '4+ 20 ' 2 ' 3+ 80 ' 2+ 20 — 50 ' 2 = 0' Ях = — — — 50 кН; 4 ХМ„=Ян 4 — 20 2.1 — 80 2+20 — 50 6=0; Ян= — =120 кН. 480 4 Для проверки спроектируем все силы на вертикальную ось Х АМ=20 2+80+50 — 50 — 120=0. Следовательно, опорные реакции Я„и Ян найдены верно. Вычислим Д, и М, в характерных сечениях, начиная с сечения А. Сечение А: Ду=Я4=50 кН: М,=О. Сечение С: Д„""=50 — 20 2=10 кН; Д"'=50 — 20.2-80= — 70 кН; ЛХ, = 50 2 — 20 2 . 1 = бО кНм. Теперь более удобно делать вычисления начиная с сечения Е. Сечение Е: Ду = 50 кН; М,= О. Сечение В: Д"У=50 кН; Д,""=50 — 120= — 70 кН; Лн, = — 50 2 = — 100 к Нм.
Сечение Ю: Д =50 — 120= — 70 кН; Лйун= — 50(2+1)+120 1= — 30 кНм; М;"= — 50(2+1)+120 1+20= — 10 кНм. На участке А С действует равномерно распределенная нагрузка д, поэтому Ду изменяется по линейному закону, убывая от значения 50 кН в сечении А до значения 1О кН в сечении С слева, М, изменяется по закону квадратной параболы с выпуклостью вниз.
На участке СВ отсутствует распределенная нагрузка, поэто- 126 му поперечная сила Ду постоянна ( — 70 кН), а эпюра М, ограничена прямыми линиями, одинаково наклоненными к горизонтали. В точке 27 на эпюре М, имеется скачок„равный по величине приложенному моменту М=20 кНм. На участке ВЕ отсутствует распределенная нагрузка д, поэтому поперечная сила Ду постоянна, а М, меняется по линейному закону, Эпюры Ду и М, показаны на рис. 7.21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
