2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 18
Текст из файла (страница 18)
При этом длина отрезка еЬ изменяется и становится равной вЬ„ »» проекции которого на оси коорвх динат равны е(х+ Ыи, а!у+ Й>, ! г(г+ в!и . х Поскольку прн переходе от точки А к точке В изменяютРнс. 5.6 ся все три координаты, то приращения перемещений точки В следует принять равными их полным дифференциалам Ы = — е!х+ —.Ыу+ — Жг; дх ду дг Ы =д— Ых+ — е(у+ — Дг; дх ду дг е!!о = —.
Ых+ — !!у+ — !1г . ох ду дг (5.12) Определим деформацию а, отрезка в!в. Для этого поступим следующим образом. Найдем квадраты длин !Ь и еЬ,: Ьг ххе!хг+ 1уг+е1гг ' оЬ', = (йх+ !1и)г+(йу+ е!о)г+ (е(г+ е!!у)' = ,1хг + е!уг +,1гг + 2 (,1х,!и+,!у е1о+ е1г,1!у) + 11иг +,!ог + <11ог Пренебрегая в этом выражении тремя последними слагаемыми, как величинами второго порядка малости, получим оЬ гг = !1хг 1 дуг+,Ы+ 2(а1х,й+ а!у е!о+ а!г,й~).
С учетом этого получим следующее равенство: !Ь', !Ьг = 2(!1х!1и+ !1уг(о 1. е!г~Ьд) . (5.1 3) С другой стороны, по аналогии с равенствами (5.2) найдем ! г (1+е )г(г (!+2 + г)1г Из этого равенства, пренебрегая величиной ег, получим !в1 — ~Ь'=2в, Ь' (5.!4) Приравняв правые части равенств (5.13) и (5.14), найдем деформацию отрезка аЬ !!х йг ' !!у й! !!г Йк ~» + + » 1 а! а1; тп -У;, (г',1=х,У,г,х!,1г), 2 (5.17) Отмеченная аналогия имеется также и между другими формулами напряженного и деформированного состояний. й 5.3, Теизор деформаций По аналогии с тензором напряжений (4.11) введем понятие тензора деформаций 1 2 7»» 1 2 1 2 7»У 1 2 1 2 !»» (5.1 8) 1 2 7»У Тензор деформаций так же,как и тензор напряжений можно представить в виде суммы Т,= Т;+27„ где Т; — шаровой тепзор деформаций (5.19) 1О1 С помощью соотношений (5.11) и (5.12) это выражение преобразуется к виду /й! й! й! ! ! й! й! й! ! !!!!х й» йу с„= 1( — 1+ — т+ — п1 + т — 1+ — т+ — п(+ п~ — 1+ — т+ — и).
(,!!х Ыу !2» г) (,!2» !!у !2г г) 1!!х ду !2» ( После замены частных производных от перемещений деформациями по формулам Коши (5.8) получим окончательное выражение для линейной деформации по произвольному направлению г в виде е„» ак!г+а тг+ьхп + ! 1т+уу»тп+7»»п!. (5.15) Можно также показать, что выражение для угловой деформации у„„определяющей изменение прямого угла между направлейнями»г н р, имеет вид 7„„=2(с»11г+е тт, +схппг)+уху(1т!+1,т)+ !'„,(тп!+ +т,п)+7,„(п1, + и, 1), (5.16) где 1„т„и,— направляющие косинусы вектора и, перпендикулярного к вектору ч. Сравнивая формулы (5.15) и (5.16) с формулами (4.6) и (4.7) для напряжений на наклонной площадке, замечаем, что они имеют аналогичную структуру н могут быть получены одни из других с помощью следующих формальных замен: о о 0 ар 0 0 0 ер Т;= (5.20) Р,— девиатор деформаций 1 27»У 1 27 ' 1 2 7 у» с„— со 1 27У 1 2 7»» (5.21) ау ао ~1 ~»+~у+~»! 1 2 У»У 1 7 — е е + ! (.
2+. з+. г ). 4 (5.25) мированного состояний совпадают. Это утверждение справедливо и в общем случае, то есть направления напряжения о„и деформации а„также совпадают. Величины трех главных деформаций е1>сг)аз находятся из кубического уравнения, аналогичного уравнению (4.18) — +ггс — 13 =О, (5.24) коэффициенты которого называются инвариантами тензора деформаций. Выражения для этих инвариантов могут быть записаны по аналогии с (4.19): Величина ср называется средней деформацией и равна 1 со 1а»+ау+с») .
(5.22) Если просуммировать компоненты шарового тензора деформаций, то с учетом (5.10) получим а»+ еу+ с» — 3 ар = О. Таким образом, девиатор деформаций характеризует изменение формы элементарного параллелепипеда без изменения его объема. 9 5.4. Главные деформация В каждой точке деформированного тела существуют три взаимно перпендикулярных направления„сдвиги между которыми равны нулю.
Прямые, проведенные из данной точки по этим направлениям, называются главными осями деформированного состояния в этой точке. Линейные деформации по направлениям главных осей называются главными деформациями. Можно показать, что в изотропном теле, свойства которого не зависят от направлений, главные оси напряженного и дефор1О2 е=Зао. (5.23) Так как при этом относительные деформации всех трех ребер элементарного параллелепипеда одинаковы, то отсюда следует, что шаровой тензор деформаций определяет объемную деформацию параллелепипеда без изменения его формы.
Если сложить компоненты девиатора деформаций, стоящие на его главной диагонали, то получим 1 2 2 2 ~3 а»еуе»+ 7»ууу»7»» !а»уу»+ау 1»»+е» 1»У) 4 4 Так как главные оси напряженного и деформированного состояний совпадают, то их направления можно найти либо из системы (4.17) с использованием (4.1), либо с помощью аналогичной системы, записанной для деформаций с использованием замен (5.17). Величина наибольшей угловой деформации определяется по аналогии с наибольшим касательным напряжением по формуле унб е1 аз ' (5.26) й 5.5.
Частные случаи деформированного состояния Аналогично трем видам напряженного состояния 6 4.4) рассмотрим три основных вида деформированного состояния: трехосное, при котором все три главные деформации аг, е„аз не равны нулю, двухосное, при котором одна нз главных деформаций равна нулю и одноосное, при котором равны нулю две главные деформации. Характерным признаком двухосной деформации является равенство нулю третьего инварианта тензора деформаций (23 — — 0), так как только при этом условии один из корней уравнения (5.24) будет равен нулю. Если принять, что ось 02 является главной осью деформированного (а, следовательно, и напряженного) состояния, то наряду с равенством е,=О в плоскостях, проходящих через эту ось, должны отсутствовать деформации сдвига 7„, и 7„(а в плоскостях, нормальных к этой оси, равны нулю и касательньге напряжения т», и т„).
При этом, как видно из (5.25), будет выполняться равенство 13=0. 103 1 а, = а„яп2 а+ а„соз~ а — -у„, яп 2а; 2 у,„= — ( а, — е,) яп 2а+ у„сох 2а. (5.28) Я Наиболее просто можно представить двухосную деформацию, если сжимать упругую пластину, поме- 0 щенную между двумя абсолютно жесткими и гладкими плитами, равномерно распределенными нагрузкаРвс. 5.7 ми, приложенными к торцам (рис. 5.7). Очевидно, что при неизменном расстоянии между плитами и отсутствии трения по плоскостям контакта пластины с плитами будут выполнены условия е,=7„,=7„=0; т„,=т„=О.
(5.27) Используя формулы (5.15) и (5.16) и аналогию между напряженным и деформированным состояниями, приведем основные зависимости между деформациями для двухосного деформированного состояния (рис. 5.8). Эти зависимости используются при экспериментальных исследованиях элементов конструкций, так как по найденным из эксперимента величинам деформаций можно с использованием закона Гука определить напряжения. На основании аналогии с помощью замен (5.17) из формул (4,25), (4.26) получим выражения для линейных деформаций по произвольным взаимно перпендикулярным направлениям т1 и 1 (рис.
5.8,в) и для деформации сдвига между этими направлениями (рис. 5.8,г) 1 а„= а„соз2 а+ а . яп2 а+-у„яп 2а; 2 (5.29) 18 111 1 тК а2 2(с,— с ) 2(с2 — с,) Запишем также по аналогии с (4.31) формулы для наибольшей угловой дефор- мации усс — 01 (5.30) и главных деформаций при чистом сдвиге 1 01 2 + уху' (5.3 1) Пример одноосного деформированного состояния показан на рис. 5.9, где изображен упругий стержень, помещенный в абсолютно жесткую обойму и нагруженный сжимающими силами, равномерно распределенными по торцам. В этом случае сз М О, е1 = 02 = О, так как жесткая обойма препятствует расширению стержня в поперечном направлении.
Величины главных деформаций и направления главных осей деформации (рис. 5.8,д) определяются по аналогии с (4.27) и (4.28) с помощью формул: Рис. 5.8 ГЛАВА Е Рис. 6.2 с = — ' е =е = — ус = — у— Е~ о' и е = —; е =с = — уе = — у — ' Е ' Е 1е О2 ю с! сР а с = — с =а = — уа — у— х у с Е 106 СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ й 6.1. Обобщенный закон Гука Рассмотренные в двух предыдущих главах статические и геометрические соотношения механики деформируемого твердого тела (уравнения равновесия Навье и соотношения Коши) не зависят от свойств материала и его поведения при деформировании (упругость, пластичность, ползучесть).
Для получения полной системы уравнений, описывающих напряженное и деформированное состояния тела, необходимо иметь равенства, связывающие между собой напряжения и деформации. В эти равенства должны входить параметры, характеризующие физические свойства материала. В общем случае трехосного напряженного состояния на всех гранях элементарного параллелепипед 5~,- да, выделенного в окрестности произвольной точки тела, действуют нормальные и касательные напряжения (на рис. 6.1 показаны напряжения только на видимых гранях).
Ж~ бс1 ~1 Будем предполагать, что напряже— — — — ния и деформации связаны между собой линейными зависимостями х~в 1 б д~фр~и, и временным действием нескольких наРяс. 6Л пряжений, на основании принципа не- зависимости действия сил может быть найдена как сумма деформаций от действия каждого из напряжений по отдельности. В изотропном теле нормальные напряжения вызывают только линейные деформации удлинения или укорочения ребер элементарного параллелепипеда и не вызывают угловых деформаций.
Касательные напряжения вызывают только угловые деформации и не вызывают линейных деформаций. На рнс. 6.2,а,б показано деформированное состояние элементарного параллелепипеда от действия нормального напряжения о„и касательного напряжения т„,. Элемент, изображенный на рис. 6.2, а, испытывает одноосное напряженное состояние. Под действием напряжения о„возникают деформации удлинения с'„ребер параллелепипеда, параллельных оси Ох и деформации укорочения е,' и с', ребер, параллельных осям Оу н Оз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
