2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Формулы для напряжений на наклонных пло- О'1 щадках (см. в 3.2) можно получить из формул (4.30) для двухосного напряженного состояния, если положить в них а,=О: о, а„= а, сов' а; т „= — — 51п 2и. В этих формулах и — угол между нормалью ч к наклонной площадке и направлением действия напряжения о, (рис. 4.13). й 4.6. Определение напряжений с помощью круга Мора Между формулами (4.25), 14.26) для напряжений на наклонных площадках при двухосном напряженном состоянии и формулами 12.7) для моментов инерции относительно повернутых осей существует очевидная аналогия.
Переход от одних формул к другим может быть осуществлен с помощью следующих замен: 1„'+а„, 1„"~а~, У~++ — т„~~У„~ — т,„), (4,33) Поэтому графический способ определения моментов инерции с помощью круга Мора может быть также использован для исследования напряжений при двухосном напряженном состоянии. Исторически этот графический метод был применен раньше именно для определения напряжений. Круг Мора для напряжений (рис. 4.15) строится аналогично кругу Мора для моментов инерции 1рис.
2.21) с той лишь разницей, что при выбранном на рис. 4.14 направлении осей координат Ох и Оу положительные значения касательных напряжений откладываются вниз от горизонтальной оси. Заметим также, что в отличие от осевых моментов инерции 7„, 1, нормальные напряжения а„а, могут быть как положительными, так и отрицательными велйчинами. Поэтому центр круга Мора для напряжений может быть расположен как справа, так и слева от вертикальной оси. На рис. 4.15 с помощью круга Мора определены главные напряжения а, и ав, действующие на площадках с нормалями, составляющими с осью Ох углы п1 и и, (рис. 4.14, б), а также нормальные и касательные напряжения, действующие на про- 3 из вольных площадках с нормалями ч и 1 (рис.
4.14, в). В качестве простого примера ос определения напряжений с помощью круга Мора рассмотрим задачу о чистом сдвиге, изображенную на рис. 4.12, а. 6 -'с б 'с Поскольку в этом случае 'С~ б„=о;=О, то точка К лежит на оси т„„, а центр круга С Рис. 4лб совпадает с началом координат О (рис. 4.16). Очевидно, что главные напряжения при чистом сдвиге равны +т, а главные площадки расположены под углом 45' к исходным площадкам.
ГЛАВА б ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ $ 5.1. Перемещения и деформации Под действием внешних сил происходит деформирование тела и перемещение его точек в пространстве. При этом возможны перемещения двух видов: перемещение тела как абсолютно твердого без изменения его формы и размеров и перемещения, связанные с деформироваиием тела. Перемещения первого вида изучаются в теоретической механике. Поэтому в дальнейшем рассматриваются только перемещения, связанные с деформированием тела. Пусть в результате деформирования тела точка А переместилась в новое положение А' (рис. 5.1).
Обозначим составляющие вектора полного перемещения АА ' по осям Ох, Оу, Ог соответственно через и, и, и. Перемещения и, и, и считаются положительными, если они происходят в положительном направлении осей координат. яг А' ~ Будем полагать, что перемещения малы по сравнению со всеми характерными размерами тела. Например, прогибы балок, применяемых в строительных конструкциях, обычно малы по сравнению с длиной и размерами поперечного сечения. Рис.
5.1 Перемещения различных точек тела различны и являются непрерывными функциями координат х, у, ж и = и(х, у, г); и = п(х, у, г); и = и (х, у, г). Для исследования деформаций вырежем мысленно вблизи произвольной точки тела элементарный параллелепипед с ребрами ссс, Ыу, Жс. В результате различия перемещений точек параллелепипеда его ребра удлиняются (укорачиваются), а первоначально прямые углы между ребрами искажаются. В соответствии г„, о 0 1 х5. Ц 0 х зя1 х Ряс. 5.4 Ряс. 5.2 Рис. 5.3 Рис. 5.5 с этим (сь~ 5 1,5) различают два основных вида деформаций — линейные и угсовые.
Рассмотрим их по отде лын оста. Лннейнце деформации а„, а„ е представляют собой относительные удлинения ребер Ах, Ыу, ~Й элементарного параллелепипеда (рис. 5.2): а„= — ' а =; а,= —. (5.1) дух), д(ау) с'(5с) вх У Ыу ' ' дс Деформации удлинения считаются положительными, укорочения — отрицательными. Используя соотношения (5.1), можно найти абсолютные удлинения ребер с((Лх), И(Лу), Ы(Лс) и ллины ребер с(х„ду~, Ыг1 после деформации: Ых1 =(1+ а„) с(х; йу1 = (1+ а ~) с1у; Жг, = (1+ а,) Ыг. (5.2) Угловые деформации или деформчции сдвига у,„, у„, у,„ представляют собой искажения прямых углов между ребрами элементарного параллелепипеда (рис.
5,3). При этом индексы указывают, в какой плоскости происходит угловая деформация. Заметим, что напряженное и дефсэрмированное состояния элементарного параллелепипеда для грех случаев„изображенных на рис. 5.4, а, б, в (показаны проекции параллелепипеда на плоскость Оху), одинаковы, так как этги три случая отличаются друг от друга только величинами ж|есткого вращения вокруг оси Ог, не вызывающего дополнительных напряжений. Деформации сдвига так же, как касательные напряжения, обладают свойством взаимности, то есть В дальнейшем будем считать, чгго линейные и угловые деформации по абсолютной величивге существенно малы по сравнению с единицей, то есть ! а; ! « 1; ! уп ! « 1, (1, у'= х, у, г). (5.3) Деформации, связанные с искривлением граней и ребер элементарного параллелепипеда, являются величинами более высокого порядка малости по сравнению с рассмотренными основными деформациями и ими можно пренебречь. Установим связь между перемещениями и деформациями.
На рис. 5.5 сплошными и пунктирными линиями показаны соответственно проекции элементарного параллелепипеда на плоскость Оху в недеформиро ванном и деформированном состояниях. При деформировании ребра АВ и АС удлиняются и поворачиваются на малые углы а„и аг. В соответствии с принятыми обозначениями перемещения точки А по направлениям координатных осей равны и и с, При переходе от точки А к точке В изменяется только координата х на величину Их, поэтому перемещения точки В будут отличаться от перемещений точки А на величины частных приращений Л„и и Л„п, которые можно приближенно заменить частными дифференциалами Ы„и= — их; с(„с= — с(х.
ди дс дх ' " дх В результате перемещения точки В будут равны и+ — Их; о+ — с(х. ди оо дх ' дх Аналогично перемещения точки С равны ди до и+ —.о(у; о+ — „Ыу. ду ' ду Удлинение ребра АВ согласно рис. 5.5 равно А(АВ)= =А'В' — АВ. Вследствие малости угла й, можно принять А'В'=А'В". Тогда получим ЦА В) ж х1„(А В) = йх+ и+ — „с7х — и — йх = —. йх. ох сх С учетом этого найдем линейную деформацию по направлению оси Ох: ди — дх Ы„(АВ) дх ди АВ дх дх (5.4) Аналогично определяются линейные деформации по направлениям осей Оу и Ог д~о оу дг (5.5) Найдем угол поворота ребра АВ в плоскости Оху.
Учитывая малость угла й, и соотношения (5.3), (5.4), получим со оо о+ — дх — о — Ах В'В" дх дх до йг Гя йг — —, А'В" ди дх(1+о„) дх 4х -~- и -~ — Ах — и ох Аналогично можно определить угол поворота ребра АС ди йг=— ду ди до у„у=й,+йг= — + —. ду дх (5.6) Угловые деформации в двух других плоскостях определяются аналогично до ди дч ди (5.7) ду дх ох Угловая деформация в плоскости Оху определяется как сумма углов й, и йг: Формулы (5.4), (5.5), (5.6) и (5.7) дают шесть основных зависимостей линейных и угловых деформаций от перемещений си си до ах 1 ух + ху ох ду дх до до ди я = — „' у = — + — ' ух су дх ду (5.8) ди ди ди а,= —; 7,„= — + —, до дх дх Л', — Л' е= йх' (5.9) где с(1'= ЫхЫуЫг и с(1', = Их, Ыу, Иг, — объемы параллелепипеда до и после деформации.
Учитывая формулы (5.2), найдем й'г — — о1х Иуй(1+ а„) (1+ а,) (1+ ах) = й'(1+ ах+ а, + сх+ а„а, + а,а, + +а,а„+ахауех). Пренебрегая в этом выражении произведениями деформаций, как величинами второго и третьего порядков малости, по формуле (5.9) окончательно получим е=а„+ау+а,. (5.10) Таким образом, объемная деформация равна сумме трех линейных деформаций. й 5.2.
Линейная и угловая деформации в окрестности точки тела. Аналогия между напряженным и деформированным состояниями Выберем внутри тела произвольную точку А(х,у,г) и бесконечно близкую к ней точку В(х+с1х, у+Ну, г+й) (рис. 5.6), Положение отрезка АВ=с6 по произвольному направлению ч до деформации можно охарактеризовать тремя направляющими косинусами вектора ч: их иу иг 1= —; ун= —; и= —, иУ 4х ду (5.1 1) где Ых, с(у, с1г — проекции отрезка сЬ на оси координат. которые называются соотношениями Коши. Кроме линейных и угловых деформаций представляет также интерес объемная деформация, равная относительному изменению объема элементарного параллелепипеда (рис. 5.2) г При деформировании тела точки А и В перемещаются в направлениях осей координат на соответственно величины и, К,! о, и и и+в!и, о+!1о, ив+!!А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
