2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Это правило непосредственно относится к касательным напряжениям, но им также можно пользоваться и для нормальных напряжений, если употреблять обозначения ая. Нормальные напряжения считаются положительными, если они направлены в сторону внешней нормали к площадке„ и наоборот. В соответствии с этим правилом положительные нормальные напряжения считаются растягивающими, а отрицательные — сжимающими. Для касательных напряжений принимается следующее правило знаков. На площадке, внешняя нормаль к которой направлена в положительном (или отрицательном) направлении соответствующей оси, касательное напряжение считается положительным, если оно также направлено в положительном (или отрицательном) направлении оси.
На рис. 4.! показаны положительные напряжения. Проведем вблизи точки О тела произвольную наклонную площадку АВС, площадь которой обозначим через г1Г(рис. 4.2). Положение Рис. 4.2 этой площадки может быть определено углами, которые составляет нормаль ч с осями координат. Как известно из аналитической геометрии, направляющие косинусы нормали 1=сов(г, х); т=соа(н, у); и=сов(гг, я) связаны между собой соотношением 1 +т'+и = ! (4.1) Полное напряжение р„, действующее на этой площадке, можно спроектировать на оси координат. Проекции р„„, р,„, р,„определяются из уравнений равновесия тетраэдра ОАВС.
Составим сумму проекций всех сил, приложенных к граням тетраэдра, на ось Ох (на рис. 4.2 на вертикальных и горизонтальной гранях тетраэдра показаны только те напряжения, которые дают проекции на ось Ох): Р хм г1Г а х г1~ х т.ту г1Гг т хл г1Гх где г1Г„= г1Г 1, г1Г, = г1Г. т, г1Г, = гггГ. п — площади граней тетраэдра, перпендикулярных к осям Ох, Оу, Ог. С учетом этого получим р„„= а„1+ т„,т+ т„,п. Аналогично, проектируя все силы, действующие на тетраэдр, на оси Оу и Ог, можно найти выражения для р„и р„. В итоге получим следующие формулы для составляющих полного напряжения на наклонной и. ю ~ ~ галке: р„„= сг„1+ т„„иг+ т„,и; (4.2) Величину полного напряжения на наклонной площадке можно найти из равенства =р +р .+р.. (4.3) Если наклонная грань элементарного тетраэдра совпадает с внешней поверхностью тела, то равенства (4.2) могут 79 использоваться в качестве граничных условий.
В этом случае рхч, р,ч, р,ч являются составляющими внешней поверхностной нагрузки, параллельными осям координат. Составим уравнение моментов сил относительно оси О,г„параллельной Ог и проходящей через центр тяжести тетраэдра (рис. 4.3) !на рисунке показаны только напряжения, дающие момент относительно этой оси); тх, -ь!хс!з -Ыу — т к -с1уаУг -11х=О. 1 1 1 1 Из этого равенства получим тк,=т,х. Точно так же можно получить еще два аналогичных равенства. Таким образом, будем иметь следующие три соотношения ~ху тух! ~ук ~куч ~кк тккч !4.4) выражающие закон парноети касательных напряжений, согласно которому касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках, направленные перпендикулярно к линии пересечения этих площадок, равны по величине.
В силу закона парности вместо девяти будем иметь шесть компонент напряжения, определяющих напряженное состояние в окрестности точки тела. Полное напряжение рч на наклонной площадке можно разложить на две составляющие по нормали у и по направлению ! в плоскости площадки (рис.
4.4). Если напряжения рч, а, и т,ч действуют в одной плоскости, то они связаны между собой равенством р'=а~+с' (4.5) Величину нормального напряжения а, на наклонной площадке найдем, спроектнровав полное напряжение р, на направление нормали х о ч= Р к к!+ Р учт +Р кч У1. Подставляя в это равенство выражения (4.2) и учитывая !4.4), получим ачкках!'+а,т'+о,п2+2тху1т+2т„тп+2ткхп1.
(4.б) Величину касательного напряжения т„ч по произвольному направлению )! в плоскости наклонной площадки, определяемую направляющими косинусами 1„т „и „найдем, спроектирован полное напряжение р„ на направление !1: т„, =рхч1, +р чт, +р„п, = ах!1, + а,тт, + а,пп, + + тку(1т, + т!,)+ т„!тп, + пт,)+ т,„(п1, + !п,).
- !4.7) При совпадении направления и с направлением ! величину касательного напряжения т„ч=т,ч можно определить также из равенства !4.5). 8 4.2. Дпфференциальные уравнения равновесия Из тела, находящегося под действием внешних сил, вырежем в окрестности точки О элементарный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям (рис. 4.5).
Напряженное состояние в этой точке опре- к деляется напряжениями, которые показаны на невидимых гранях. Поскольку г,„'~ й все напряжения являются функциями координат то- е,» ! - -у ~$ чек тела, то при переходе 1Гк Щ к параллельным граням они получат некоторые малые приращения. Обозначим со штрихами па- в "т верху величины на пряже иия на видимых гранях 1„ параллелепипеда.
При переходе на парал- Рнс. 4.5 лельные грани приращения обусловлены изменением только одной из координат. Например, для а'„ справедливо равенство а'„= ох+ А„а„. Заменяя приближенно в этом выражении частное прираще- ние частным дифференциалом, получим Рнс. 4.3 Рнс. 4.4 ах ох+с!„а„=ах+ — *с!х. да„ х !4.8) ЩХЛ +Пр„„ж=О. Х+ — *+ — ""+ — "* с6'= О.
— "+ — "'+ — "*+ Х= 0; дх ду дх дх ду дг (4.! 0) й 4.3. Теизор напряжений — *"+ — *"+ — '+х,=О, дх ду дх 1'о„т„, т„,'~ Тс= тух Оу ту, тхх тс у (4.1 1) 82 Аналогично определяем и другие напряжения на видимых гранях. Составим суммы проекций всех сил, действующих на параллелепипед, на оси координат. При этом учтем также действие объемных сил. Обозначим отнесенные к единице объема тела проекции этих сил на оси координат через Х, У, л,. Для вычисления равнодействующих объемных сил их нужно умножить на объем параллелепипеда. Суммируя проекции всех сил на ось Ох и приравнивая их к нулю, получим (о'„— о„) ЫуЖ+(т'„„— т„,) с1хНг+(т'„,— т„,) с1хс1у+Хс1хв1усЬ= О.
(4.9) Входящие в зто уравнение напряжения т,', и т'„, определяются с помощью равенств, аналогичных (4.8) для напряжения о',: дс„„, дх„, Подставив эти равенства в (4.9), после приведения подобных членов и деления на с1хЫуЫг, получим "+ — *'+ **+ Х= О. дх ду дг Аналогично можно составить уравнения проекций всех сил на оси Оу и Оз. В итоге получим систему трех уравнений которые называются дифференциальными уравнениями равновесия Навье. Второе и третье уравнения равновесия могут быть также получены из первого путем так называемой круговой перестановки индексов, схематично показанной на рис.
4.6. Дифференциальные уравнения равновесия устанавливают законы изменения напряжений при переходе от точки к точке. С учетом закона парности касательных напряжений (4.4) эти уравнения содержат шесть неизвестных напряжений. Поскольку количество уравнений статики меньше количества неизвестных, то в общем случае задача определения напряжений Ряс. 4.6 является статически неопределимой. Уравнения (4.10) могут быть также получены, если рассмотреть равновесие тела в целом.
Составим уравнение суммы проекций всех сил на ось Ох, в которое войдут проекции объемных сил Х и проекции поверхностной нагрузки р„„: Здесь Л' и ЫЯ вЂ” соответственно элементы объема и поверхности тела. Подставив во второй интеграл первое равенство (4.2), получим ЩХс11 +Ц(о„1+т„,т+т„,п) сБ=О. Из курса высшей математики известна формула Гаусса- Остроградского, которая позволяет преобразовать интеграл по поверхности в интеграл по объему: (Р1+ Ят+ Яп) с1Б= — + — + — с6'.
Используя эту формулу, запишем уравнение равновесия в виде Поскольку это равенство справедливо при любых значениях с1Р; подынтегральное выражение должно быть равно нулю, что дает первое уравнение (4.10), Девять напряжений, действующих на трех взаимно перпендикулярных площадках, могут быть записаны в виде матрицы которая называется тензором напряжений. С учетом закона парности касательных напряжений этот тензор является симметричным, то есть элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой.
Под действием напряжений, приложенных к граням элементарного параллелепипеда, он деформируется, то есть изменяютса его размеры и форма. Под изменением объема будем понимать такой вид деформирования, при котором соотношения между длинами ребер параллелепипеда не изменяются То= О ао О (4.12) соответствующий напряженному состоянию, при котором на трех взаимно перпендикулярных площадках действуют только три одинаковых нормальных напряжения, равных среднему напряжению в данной точке тела 1 ао =-(а + ау+ а.), з (4.1 3) называется шаровым тензором. Вычитая из тензора напряжений (4.11) шаровой тензор (4.12), получим так называемый девиатор напряжений 1'໠— ао т»» 17ю = ~ ту» ау — ао ту» т»» т„а,— ао (4.14) Таким образом, тензор напряжений Т, может быть представлен в виде суммы Т то+ 12 (4.15) Компоненты шарового тензора приводят к изменению объема, а компоненты девиатора напряжений определяют изменение формы параллелепипеда.
Разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор напряжений будет использовано в дальнейшем при рассмотрении физических соотношений в теории упругости и теории пластичности. 8 4.4. Главные площадки и главные напряжения При изменении положения наклонной площадки (рис. 4.2), то есть при изменении углов между нормалью н и осями координат, напряжения а„и т„=т „, как следует из формул (4.6) и (4.7), будут изменяться. Поставим задачу и прямые углы между гранями не искажаются.
Выделим из тензора напряжений те напряжения, которые вызывают только изменение объема параллелепипеда. Очевидно, что изменение только объема будет происходить в том случае, когда ко всем граням параллелепипеда приложены одинаковые нормальные напряжения суо, а касательные напряжения отсутствуют. Во всех остальных случаях будет происходить также изменение формы. Так, например, при одноосном растяжении один размер увеличивается, а два других уменьшаются, то есть форма параллелепипеда изменяется.
Тензор напряжений отыскания таких площадок, на которых касательные напряжения отсутствуют, Такие площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие на них,— главными напряжениями. Полное напряжение р„ на главной площадке направлено по нормали к ней и, следовательно, совпадает по величине и направлению с главным напряжением а (рис. 4.7). Проекции этого напряжения на оси координат будут равны Рис. 4л а„— а т»у т»» ту„су„— о' т„= О. т,„т„а, — а Раскрывая определитель, получим следующее кубическое уравнение относительно главного напряжения: а~ — 1,а2+12а — 12=0, (4.1 8) где 1, =су„+а,+о„ (4.19) Существует доказательство, что все три корня уравнения (4 18) действительны. В дальнейшем величины трех главных напряжений обозначаются через а„ а2, аз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
