2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Таким образом, отрезок Р,Р,=Л!,. Из треугольника РР,Р2 установим связь между удлинениями Каждый из стержней рассматриваемой системы находится под действием постоянной продольной силы. Считая жесткости всех стержней при растяжении одинаковыми и используя формулу (3.11), находим Соотношения (3.16) — (3.18) характеризуют соответственно три стороны задачи: статическую, геометрическую и физическую.
Равенства (3.16) являются уравнениями равновесия или статики, формула (3.17) устанавливает геометрическую связь между удлинениями стержней, а соотношения (3.18) основаны на законе Гука, который определяет физические свойства материала. Подставляя (3.18) в (3.17) и учитывая, что 1я =1, соя и, получим Х„=Касоа~ м. (3.19) Полученное соотношение между Ф~ и Фа совместно с уравнениями (3.1б) позволяет решить задачу.
Из первого равенства (3.16) находим, что Ж, =Фэ, что, впрочем, очевидно из условия симметрии задачи. Второе уравнение равновесия с учетом (3.19) дает 2Л'~ соя' сс+ Х1 — Р= О, откуда находим Р )1»'р —— 1+2сос» и Рсо с и з= 1+2сосза Закрепленный с двух сторон стержень является один раз статически неопределимым. Для решения задачи надо составить дополнительное уравнение исходя из условия, что длина стержня при его деформации не изменяется и, следовательно, Л1=0.
Отбросим мысленно любое из закреплений, например, верхнее, и введем в этом сечении неизвестную силу Х=Я, (рис. 3.10, б). Рассмотрев действие сил Р и Х раздельно Ряс. 3.10 52 В качестве второго примера рассмотрим стержень ступенчато постоянного сечения, закрепленный с двух сторон и находящийся под действием сосредоточенной силы (рис.
3.10„а). В точках закрепления стержня возникают опорные реакции Я, и Яро направленные вдоль его оси. Составим уравнение статики; ХХ=О, Я~+Я»=Р. (3.20) (рис. 3.11,а,б), запишем на основании принципа независимости действия сил условие деформации стержня ~1=~ (р+~ (х = 0. Подставляя в это равенство значения Л1р и Л(х, получим следующее дополнительное уравнение: — —,+ — + — = О. (3.21) ЗЕЕ ЕЕ ЗЕЕ Решая совместно уравнения (3.20) и (3.21), получим р 3 Х=Ж= Яа=~ 4 4 Рис. 3.11 Эпюры Ж и о приведены на рис. 3,10,а,г.
Отметим, что площади эпюры о в пределах верхнего и нижнего участков равны по величине и противоположны по знаку, что в соответствии с формулой (3.10,а) дает и(2а)=Л1= — '=О. Е Величина осевого перемещения сечения, соответствующего границе участков, равна Ра и(а) = — —. 4ЕЕ Эпюра осевых перемещений приведена на рис. 3.10, д. Осевые перемещения изменяются по линейному закону и в закрепленных сечениях равны нулю. Все поперечные сечения перемещаются вниз.
В статически неопределимых системах могут возникать внутренние усилия и напряжения и при отсутствии внешних силовых воздействий. Рассмотрим два характерных примера. Температурные напряжения. Если статически определимый стержень, закрепленный одним концом (рис. 3,12, а), нагреть на температуру Т, то его длина увеличится на величину ~"~ ~Т ~~т» где и — коэффициент линейного температурного расширения материала. При таком свободном расширении напряжения в стержне не возникают. Если же стержень закреплен с двух сторон (рнс.
3.12,6), то закрепления препятствуют свободному удлинению стержня, и в них возникают реактивные усилия Я. Вследствие этого в стержне появляются напряжения. Поскольку в этом случае стержень является статически неопределимым, для решения задачи используем условие Л1=~1 1т+1З 1я = О. Ряс. 3.12 Ряс. 3.13 и(Т вЂ” — = О, А! ЕГ откуда о= — = — — = — ЕиТ.
Л~ Я Г Г (3.22) 55 Подставляя в это равенство соответствующие выражения для удлинений, получим Продольная сила в стержне является сжимающей: Х= — Я. Напряжения в стержне равны Очевидно, что при охлаждении в стержне будут возникать положительные (растягивающие) напряжения. Из формулы (3.22) следует, что чем больше модуль упругости материала стержня Е, тем больше действующие в нем напряжения.
При больших перепадах температур эти напряжения могут быть настолько значительными, что приведут к разрушению элемента конструкции. Чтобы избежать этого во многих инженерных сооружениях используются различные конструктивные приемы, например, температурные швы в зданиях. Монтажные напряжения. При монтаже статически определимых стержневых систем отклонения в размерах стержней не приводят к появлению в них усилий и напряжений. Два стержня длиной 1, и 1з (рис. 3.13, а) могут быть соединены в точке О при любых небольших отклонениях нх размеров. В то же время, если мы хотим усилить конструкцию, например, еще одним стержнем, то его длина должна быть равна величине 1х. На рис. 3.13, а показан стержень, длина которого 1~ меньше требуемого значения 12 на малую величину б (( 1,.
Чтобы закрепить этот стержень в точке 12, его необходимо подвергнуть предварительному растяжению нли нагреву. После монтажа в среднем стержне будет действовать растягивающее усилие Ф2, а в крайних стержнях — сжимающие усилия Ф, и Хз (рис. 3.13,б). Из уравнений равновесия ХХ=О, Х У=О получим Д1,=.Уз' Ф2=2Д11сояа. (3.23) Задача является статически неопределимой.
Для ее решения составим геометрическое соотношение между удлинениями (укорочениями) стержней (рис. 3.13,в). Из рисунка видно, что Д 11 (6 Д 12) соз 'х Выражая входящие в это соотношение величины удлинений (укорочений) через усилия в стержнях, находим (3.24) ЕГ 1 ЕГ/ где 1~и1,=1,сова. Жесткости стержней приняты одинаковыми и равными ЕЕ. Решая уравнение (3.24) совместно с уравнениями равновесия (3.23), после несложных преобразований получим ЬЕГСО5 й 2ЬЕГСО5 я 1 (1+2соьза~» 1 (1+2совза)' Если вычислить напряжения в стержнях, то можно установить, что напряжения пропорциональны модулю упругости материала и относительной погрешности б/1 в изготовлении стержня.
Даже при относительно небольшой погрешности изготовления порядка 1% (о1'1=0,01) в стержнях могут возникнуть большие напряжения. $ 3.5. Механические свойства материалов. Диаграммы растяжения и сжатия Прн расчете элементов конструкций на прочность, жесткость н устойчивость необходимо знание механических характеристик материалов, из которых они изготовлены. Эти характеристики определяются путем испытания стандартных образцов.
Для каждого материала устанавливаются государственным стандартом форма и соотношение размеров образцов для определения в лабораторных условиях их механических свойств. Образцы испытываются в зависимости от материала на растяжение, сжатие„изгиб, кручение, срез. Отечественной и зарубежной промышленностью создано большое количество испытательных машин для различных испытаний, позволяющих получить зависимости между нагрузками и соответствующими деформациями в упругой и неупругой стадиях работы материала. Для таких строительных материалов, как цементный камень и бетон, при испытаниях на сжатие применяют стандартные образцы в виде кубиков (со стороа) ной 70 мм для цементного камня .4 Ф+.
и 200 или 300 мм для бетона). При испытаниях на растяжение применяют образцы в виде «восьмерки», а при испытаниях на изгиб †виде призмы. Основным видом испытаний стали является растя- Р жение стандартных круглых или плоских образцов (рис. 3.14), для которых строятся диаграммы расРис. 3.14 тяжения в координатах сила †аб- солютное удлинение Р=у (Ь1).
Существуют испытательные машины, которые с помощью самопишущих устройств позволяют получить зту зависимость. Чаще всего стандартный круглый образец для испытания стали (рис. 3.!4,а) имеет рабочую длину постоянного диаметра 1о = 1Оа!о с конусными утолщениями на концах для захвата в зажимах машины. Диаметр образцов обычно принимают равным с1«=10 мм, но могут быть и другие размеры.
Диаграмма растяжения стали. Рассмотрим диаграмму растяжения малоуглеродистой стали марки ВСтЗ, обладающей хорошо выраженными пластическими свойствами и широко применяемой в строительстве. Если испытывать образцы разных размеров, то получим различные диаграммы Р=~(Ы). Для определения обобщенных механических характеристик материала диаграммы строят в координатах напряжение— деформация о=/ (е), которые определяются по формулам Р й! ст= —; е= —. Ро !о На рис. 3.15 показана диаграмма растяжения для стали. При нагружении образца до напряжения, соответствующего точке А, зависимость между напряжениями и деформациями является линейной. На участке ОА справедлив закон Гука (3.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
