2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 8
Текст из файла (страница 8)
312 У» — У» 888 — 708 Пример 2.2. Определим моменты инерции поперечного сечения стального стержня, составленного из прокатных профилей — двутавра с40 и швеллера с 30 (рис. 2.19). Выпишем нз сортамента необ- ходимые размеры (они даны на 4 рис. 2.19 в см) н геометрические характеристики: площади сечений Ь» 4 о Г; и моменты инерции У»„Уу» относи- 4 4 тельно собственных главных центе ральных осей. Для 140: Гу =72„6 см2; У, =19062 см; У„=667 см4.
о Для СЗО: Г2=46,5 см; У,=327 см; У„=5810 см4. Площадь всего сечения Г=72,6+46,5=119,1 см2. Сечение имеет вертикальную ось симметрии и центр тяжести О всего Рис. 2.19 сечения лежит на этой оси. Для определения положения центра тяжести выберем в качестве вспомогательной оси ось двутавра О,х,.
Тогда получим Я* Р» У» 46,5 ' 18,13 Уо= — = — = ' ' =7 08 см. Р 119,! Отложим эту величину по оси О,у и проведем ось Ох, которая вместе с осью Оу составляет пару главных центральных осей всего сечения. Найдем координаты центров тяжести двутавра и швеллера в системе координат Оху: Ь,= — 7,08 см Ь2 — — 11,05 см, а, =а2=0 (рис. 2.19).
По формулам (2.6) найдем моменты инерции сечения относительно осей Ох и Оу. У» = Уу + Г1 6 1 + У»2 + Г2 6 2 = 1 9062+ 72,6 ( — 7,08) + + 327+ 46,5 11,05 = 28706 см4; 8 2.8. Определение моментов инерции с помощью круга инерции Формулы (2.13) для случая, когда в качестве исходных приняты главные оси, имеют простую геометрическую интерпретацию. Если ввести обозначения '~1 + '~2, ~1 ~2 а=' —; Я= 2 то указанные формулы примут вид У„= а+ Я сов 2а; Уу — — а — Я соБ 2а; У„„= Я яп 2а. (2.24) Из этих формул видно, что момент инерции У, может быть получен из выражения для У„заменой а на и+90'.
Первая и третья из формул (2.24) представляют собой параметрические уравнения окружности в координатных осях У„, У„, с радиусом Я и центром на оси У„ на расстоянии а от начала координат (рис. 2.20). Абсцисса произвольной точки К, этой окружности равна осевому моменту инерции У„ относительно оси Ох, которая составляет угол а с главной осью 1 (рис. 2.7). Ордината точки К2 равна центробежному моменту инерции У„, относительно осей Ох, Оу. Координаты точки К окружности, называемой полюсом, равны соответственно У„ и У„,.
Впервые данный графический способ был предложен О. Мором для определения напряжений на наклонных площадках (см. 8 4.6) и соответствующий круг называется кругом Мора для напряжений. По аналогии круг, изображенный на рис. 2.20, называется кругом инерции. У,=У„+У„,=667+5810=6477 см4. Рвс. 2.21 Ряс. 2.20 получим г г'~г Рис. 2.22 С помощью крута инерции можно графически определить моменты инерции относительно произвольных осей. Прн этом обычно строят круг инерции по известным моментам инерции У„,,7г, У„„вычисленным относительно произвольных осей Ох и Оу.
Приведем это построение (рис. 2.21). На горизонтальной оси отложим ОР=У„и ОВ=У,. Поделив отрезок ВР пополам, получим центр круга Мора С, причем ОС=11,+1,)/2. Отложив из конца отрезка ОВ=У„величину У„,=ВК со своим знаком, получим полюс К круга Мора. Проводя радиусом СК окружность и далее через полюс К лучи ХЕ и КА, найдем величины главных моментов инерции У, =ОЕ, Уг=ОА и углы наклона иг и иг главных осей 1 и 2 к оси Ох.
С помощью приведенных на рис. 2.21 построений можно получить формулы для величин главных моментов инерции (2.12) и углов наклона главных осей (2.11). Действительно, определив из прямоугольного треугольника ВСК радиус круга Мора к=кс=,/вс'-;.вк*=Д' 'Я Тангенсы углов наклона главных осей 1 и 2 к оси Ох определяются из прямоугольных треугольников ВЕК и ВАХ. вк ,г„„ вк .г„, 1яи,= — — = *"; 1яаг= — = ВЕ У,— 1, А Ä—.Гг Знак минус в первой формуле объясняется тем, что угол и, является отрицательным.
Для определения величин моментов инерции 7 „1„, У„„, относительно произвольных взаимно перпендикулярных осей Ок, и Оу„наклоненных к оси Ох на угол р, необходимо через полюс К провести под углом р' к горизонтали ось Ох„ и перпендикулярно к ней ось Оу, до пересечения этих осей с окружностью в точках М и Ф. Можно показать, что искомые величины моментов инерции соответственно равны Л~~=ММг, )г~=1~11~г, Л ~г~=ММг ° В качестве иллюстрации на рис. 2.22 приведено построение круга Мора для числового примера 2.1, рассмотренного в 2 2.7. откуда Отсюда находим (3.4) (3.3) а) а) Р~ а) в) б сопят Ряс. 3.4 Рве.
ЗЗ 4З 42 Если провести сечение 2 — 2 на верхнем участке, то часть стержня, лежащая выше этого сечения, является более простой для расчета. Однако, на нее действует неизвестная пока реактивная сила Я, что не позволяет сразу найти продольную силу в рассматриваемом сечении. Поэтому рассмотрим нижнюю часть стержня (рис. 3.2, в). Составляя для этой части уравнение равновесия ХХ=О, получим — г" — Рг+~ г+Ч(1г — х)=0, 1~=Рг — Рг+Ч(6 х).
Продольная сила на втором участке изменяется по линейному закону. Подставляя значения х, соответствующие началу и концу верхнего участка с учетом 1г=3 м, найдем значения Ф в этих сечениях: х=О, %=20 — 50+15 3=15 кН, (растяжение); х=3 м, гУ=20 — 50= — 30 кН (сжатие). Опорная реакция в месте закрепления стержня равна значению Х в начальном сечении: Я=15 кН. Эпюра Х для всего стержня показана на рис. 3.2, г. Как было показано в главе 1, продольная сила является интегральной характеристикой, которая связана с нормальными напряжениями, действующими в сечении, соотношением Если известен закон изменения напряжений о по сечению, то это равенство позволяет вычислить силу Ф. Однако, решить обратную задачу, то есть при известном значении Ф найти напряжения, не вводя дополнительных гипотез о характере их распределения, невозможно. 9 3.2. Напряжения в поперечных и наклонных сечениях Чтобы установить закон изменения нормальных напряжений о в поперечном сечении стержня при растяжении и сжатии обратимся к эксперименту.
Если на поверхности растягиваемого стержня (рис. 3.3, а) провести линию а — а перпендикулярно к его оси, то в процессе деформирования эта линия переместится параллельно самой себе на величину и„то есть перемещения всех точек этой линии будут одинаковы. На основании этого опыта швейцарским ученым Я. Бернулли была предложена гипотеза плоских сечений, получившая широкое применение во многих задачах сопротивления материалов. Согласно этой гипотезе сечения, плоские и перпендикулярные к оси стержня до деформации, остаготся плоскими и п'ерпендикулярными к оси после деформации.
Таким образом, при растяжении и сжатии длина всех продольных волокон стержня изменяется на одинаковую величину. Отсюда следует, что нормальные напряжения распределены по сечению равномерно (рис. 3.3, б). Вынося в формуле (3.3) постоянное значение о из-под знака интеграла, получим Полученная формула является одной из основных формул сопротивления материалов. Сделанное выше на основании гипотезы плоских сечений предположение о равномерном распределении нормальных напряжений по сечению, строго говоря, справедливо не во всех сечениях стержня.
В сечениях, близких к местам приложения сосредоточенных сил, характер изменения напряжений о по сечению может быть различным. Вблизи торца распределение напряжений по сечению стержня существенно неравномерно (рис. 3.4, а, б). Однако, при удалении от торца эта неравномерность уменьшается и на некотором расстоянии, достаточно превосходящем размеры торцевого сечения, распределение напряжений становится практически равномерным, что согласуется с принципом Сен-Венана (см.
э" 1.3). Таким образом, для всего стержня за исключением областей вблизи нагруженных торцов напряжения распределены равномерно и для их определения вполне обоснованно может использоваться формула (3.4). Эта формула может также применяться и при расчете стержней с непрерывно изменяющейся по длине площадью поперечного сечения Г, если это изменение незначительно. х С помощью формулы (3.4) ~~~. й ~) при известной эпюре Ф легко 'Ге построить эпюру о.
На М, ~ (5~ рис. 3.2, д показана эпюра Т о для рассмотренного выше примера. % у До сих пор рассматривались нормальные напряжения в поперечных сечениях, то есть в се® чениях, перпендикулярных к оси стержня. Однако, во многих задачах возникает необходимость определения напряжений Р Р в наклонных сечениях. На рис. 3.5, а показано сечение, ноРяе. 3.5 рмаль к которому м составляет угол а с осью Ох.
Очевидно, что для того, чтобы рассматриваемый участок стержня находился в равновесии, к центру тяжести наклонного сечения должна быть приложена сила Ф, равная продольной силе, действующей в поперечном сечении. Проектируя эту силу на направление нормали ч и касательной г к сечению, получим формулы для определения нормального и касательного усилий в наклонном сечении: Ф,=Фсова; Т„= — тяпа.
Величина Ф„является равнодействующей нормальных напряжений о„, действующих в этом сечении (рис. 3.5, б), а ҄— касательных напряжений т„. Предполагая, что напряжения распределены по сечению равномерно и учитывая, что площадь наклонного сечения равна Г„=Рисова, получим формулы для напряжений следует, что продольные слои стержня при растяжении и сжатии не испытывают взаимного давления и взаимного сдвига. Из формулы для касательных напряжений следует, что при и=+45 они достигают наибольших по абсолютной величине значений, равных т„в=о~2. $ 3.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
