2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Деформации и перемещения. Закон Гука При растяжении и сжатии стержня изменяется его длина и размеры поперечного сечения. Если мысленно выделить из стержня в недеформированном состоянии элемент длиной Ых, то после деформации его длина будет Ых1 (рис. 3.6). При этом абсолютное удлинение по направлению оси Ох будет равно Ыи = и'(ггх) = Их, — Ых, а относительная линейная деформация в„определяется равен- ством с1(пх) Ыи 4 дх (3.5) ь,-ь ль в = ь ь' Согласно определению относительные линейные деформации являются безразмерными величинами. Установлено, что поперечные и продольные деформации при центральном растяжении и сжатии стержня связаны между собой зависимостью (3.6) Поскольку ось Ох совпадает с осью стержня, вдоль которой действуют внешние нагрузки, назовем деформацию в, продольной деформацией, у которой в дальнейшем индекс будем опускать.
Деформации в направлениях, перпендикулярных к оси, называются поперечными деформациями. Если обозначить через Ь характерный размер поперечного сечения (рис. 3.6), то поперечная деформация определяется соотношением о„= — '= — сов а=асов а; г г Р, Е т„л . о . т,= — "= — — яппсова= — — яп2п. Єà 2 Полученные соотношения называются формулами для напряжений на наклонных площадках при растяжении и сжатии. Из этих формул видно, что при а=90', о„=т,=0. Отсюда Рис.
3.6 45 Входящая в это равенство величина ч называется козффи14иснтом Пуассона или коэффициентом поперечной деформации. Этот коэффициент является одной из основных постоянных упругости материала и характеризует его способность к поперечным деформациям.
Для каждого материала он определяется из опыта на растяжение или сжатие (см. 8 3.5) н вычисляется по формуле (3.6, а) Как следует из равенства (3.6), при растяжении стержня продольные деформации положительны, а поперечные — отрицательны, то есть при растяжении размеры поперечного сечения уменьшаются. И наоборот — при сжатии размеры сечения увеличиваются. Для различных материалов коэффициент Пуассона различен. Для изотропных материалов он может принимать значения в пределах от 0 до 0,5. Например, для пробкового дерева коэффициент Пуассона близок к нулю, а для резины он близок к 0,5.
Для многих металлов при нормальных температурах величина коэффициента Пуассона находится в пределах 0,25 —: 0,35. Как установлено в многочисленных экспериментах, для большинства конструкционных материалов при малых деформациях между напряжениями и деформациями существует линейная связь (3.7) Впервые этот закон пропорциональности был установлен английским ученым Робертом Гуком и называется законом Гука.
Входящая в закон Гука постоянная Е называется модулем упругости. Модуль упругости является второй основной постоянной упругости материала и характеризует его жесткость. Поскольку деформации являются безразмерными величинами, из (3.7) следует, что модуль упругости имеет размерность напряжения. В таблице 3.1 приведены значения модуля упругости и коэффициента Пуассона для различных материалов. При проектировании и расчетах конструкций наряду с вычислением напряжений необходимо также определять перемещения отдельных точек и узлов конструкций.
Рассмотрим способ вычисления перемещений при центральном растяжении и сжатии стержней. Абсолютное удлинение элемента длиной Их (рис. 3.6) согласно формуле (3.5) равно Ии = И(Лх) = ОИх. Таблица 3.1 Коэффициент Пуассона Модуль упругости, МПа Наименование материала 2,1 10~ 0,72 10з 1,12 10э (1,0 —;1,3) 10' (1,15 —:1,6) 10' 0,24+ 0,30 0,26 —: 0,36 0,31 —: 0,34 0,23 —: 0,27 Сталь углеродистая Сплавы алюминия Сплавы титана Медь Чугун Сосна: вдоль волокон поперек волокон Бетон Гранит Мрамор Кладка из кирпича Стекло Стеклопластик СВАМ Текстолит Резина на каучуке (0,1 —:0,12) !0~ (0,0005 — 0,01) 10~ (0,097 —. 0,408) . 1О' 0,49.
1О 0,56 10' (0,027 — 0,03) 1О' 0,1 10' 0,35 10~ (0,07 —.0,13) 101 8,0 0,16 —: 0,22 0,25 0,43 0,5 чо ~ (3.10) Рис. 3.7 х и(х)=-~ стИх. о 47 Интегрируя это выражение в пределах от 0 до х, получим и(х)=Ах=) еИх+С, о где и(х) — осевое перемещение произвольного сечения (рис. 3,7), а С=и(0) — осевое перемещение начального сечения х=О. Если это сечение закреплено, то и(0)=0 и перемещение произвольного сечения равно и(х) =Лх=) аИх. о Удлинение (укорочение) стержня равно осевому перемещению его свободного торца (рис. 3.7), величину которого получим из (3.8), приняв х=(: ! и(1)=гь1=) аИх. (3.9) о Подставив в формулу (3.8) выражение для.
деформации а из закона Гука (3.7), получим й ч.ъ| и(х) = — Их. ~ с о Для стержня из материала с постоянным модулем упругости Е осевые перемещения определяются по формуле Об Оп получим (3.10, а) +е' гкг Ряс. 3.8 !Ч Р о= — = —. Р Р' Тогда из (3.10) получаем !Ч ~ Хх Рх и1х)= — ~ с1х= — = —. ЕЕ ~ ЕЕ ЕЕ и ~1) = Л1= — = —. (3.1 1) (3.12) сечение х=3 м и (х)= — 1х — — . ч( х~! ЕР1, 2 (' (3.1 3) 49 Входящий в это равенство интеграл можно вычислить двумя способами.
Первый способ заключается в аналитической записи функции о1х) и последующем интегрировании. Второй способ основан на том, что рассматриваемый интеграл представляет собой площадь эпюры о на участке 10, х3. Вводя обозначение х й =) !та1х, о Рассмотрим частные случаи. Для стержня, растягиваемого сосредоточенной силой Р (рис. 3.3, а), продольная сила Ф постоянна по длине н равна Р. Напряжения о согласно (3.4) также постоянны и равны о Из этой формулы следует, что если напряжения на некотором участке стержня постоянны, то перемещения изменяются по линейному закону. Подставляя в последнюю формулу х=1, найдем удлинение стержня Произведение ЕР называется жесткостью стержня при растяжении и сжатии. Чем больше эта величина, тем меньше удлинение (укорочение) стержня.
Рассмотрим стержень, находящийся под действием равномерно распределенной нагрузки (рис. 3.8). Продольная сила в произвольном сечении, отстоящем на расстоянии х от заделки, равна Л'= д11 — х). Разделив Х на Р, получим формулу для напряжений ч 1! — х) о= Е Подставляя это выражение в (3.10) и интегрируя, находим Наибольшее перемещение, равное удлинению всего стержня, получим, подставив в 13,13) х=1: Л1=и11)= ~ (3.14) Из формул (3.12) и (3.13) видно, что если напряжения линейно зависят от х, то перемещения изменяются по закону квадратной параболы.
Эпюры Л', а и и показаны на рис.3.8. Общая дифференциальная зависимость, связывающая функции а(х) и !т(х), может быть получена из соотношения (3.5). Подставляя в это соотношение е из закона Гука (3.7), найдем 13 15) ах е Из этой зависимости следуют, в частности, отмеченные в рассмотренных выше примерах закономерности изменения функции и(х). Кроме того, можно заметить, что если в каком-либо сечении напряжения о обращаются в ноль, то на эпюре и в этом сечении может быть экстремум. В качестве примера построим эпюру и для стержня, изображенного на рис.
3.2, положив Е= 104 МПа. Вычисляя площади эпюры о для различных участков, находим: сечение х=1 м и — — — ' — 0,0375 см; Г1о 1 7,5.10 ' 100 Е 104 10-ь 2 1 / !5.10 ' 200! и= ~37,5 — ) = — 0,112 см; 1О'1О-' 1, 2 сечение х=5 м ,2! 2~Я Рис. 3.9 Л1,= — '"= =0,4 см. Р21, 20.200 ЕР2 !О 1О-' 10 Л 12 — — Л 12 соя а.
(3.17) Л1,= —; !Ч2 !2 ЕГ 2~ 2 !2 Л 12 ЕР (3.18) (3.16) 51 и= ( — 112,5+20 10 ' 200)=0,287 см. 1О'Ю-' На верхнем участке стержня эпюра и представляет собой квадратную параболу (рис. 3.2,е). При этом в сечении х=1 м имеется экстремум. На нижнем участке характер эпюры является линейным. Общее удлинение стержня, которое в данном случае равно Л1=и(5)=0,287 см, можно вычислить, воспользовавшись формулами (3.11) и (3.14). Поскольку нижний участок стержня (рис.
3.2,а) растягивается силой Р„его удлинение согласно (3.11) будет Действие силы Р, передается также и на верхний участок стержня. Кроме того, он сжимается силой Р, и растягивается равномерно распределенной нагрузкой д. В соответствии с этим изменение его длины вычисляется по формуле (Р2 Р2)!2 д!Х 30'300 15 1О 2.9 104 ЕР2 2ЕР2 10 '10 ' '20 2'10 '10 ' 20 Суммируя значения Л1, и Л12, получим тот же результат, что приведен выше. В заключение следует отметить, что, несмотря на малую величину перемещений и удлинений стержней при растяжении и сжатии, пренебрегать ими нельзя. Умение вычислять эти величины важно во многих технологических задачах (например, при монтаже конструкций)„а также для решения статически неопределимых задач.
8 3.4. Статически неопределимые задачи Задача называется статически неопределимой, если из уравнений равновесия нельзя определить опорные реакции и внутренние усилия в стержнях. Например, в стержневой системе, изображенной на рис. 3.9, число неизвестных усилий, действующих в поперечных сечениях стержней, равно трем: Л1„ Л!2, Л2з, а уравнений равновесия для их определения †д (рис. 3.9, б): ХХ=О, — Л22з)псс+Л1,з(па=О; Х У=О, (Л22+Л!з)сов!х+л!2 — Р=О. В общем случае система является и раз статически неопределимой, если число неизвестных на и превышает число независимых уравнений равновесия.
В рассматриваемом примере стержневая система один раз статически неопределима. Для решения данной задачи рассмотрим схему деформации системы при 1,=1, (рис. 3.9,е). Под действием силы Р узел Р в силу симметрии системы относительно оси второго стержня переместится вертикально вниз. При этом стержни получат удлинения Л1, =Л12 и Л12.
В силу малости перемещений точек и удлинений стержней в сравнении с их первоначальными длинами можно пренебречь изменением углов между стержнями после деформации системы. Из рисунка видно, что отрезок РР, =Л 12, а для того, чтобы определить удлинение первого стержня, отложим на его новой длине АР, первоначальную длину, равную АР2. В силу малости перемещений дугу,0.02 можно заменить перпендикуляром, опущенным из точки Р на линию А.02.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
