2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1.25, б). Между напряжениями справедливо соотношение р — 2+22 Таким образом, взаимодействие между частями тела при его нагружении характеризуется наличием напряжений в точках мысленно проведенных сечений. Напряжения имеют размерность силы, отнесенной к единице площади, например, Па(Й/м'), МПа. Распределение напряжений в теле характеризует его напряженное состояние под действием нагрузки, определение которого составляет одну из основных задач механики деформируемого твердого тела.
По величинам напряжений, как правило, судят о прочности элементоя конструкций и машин. Как уже было отмечено, процесс деформирования тела под действием Рас. 1.26 нагрузок сопровождается перемещениями его точек. Различие перемещений соседних точек вызывает появление абсолютных и относительных деформаций. Существуют два типа деформаций в твердых телах — линейные и угловые. Рассмотрим определение линейной н угловой деформаций в точке К дсформнруемого тела (рис.
1,26). Для этого выделим в окрестности этой точки два бесконечно малых взаимно перпендикулярных отрезка ХМ и КФ. В результате деформации тела точка К переместится в положение К, „а отрезки КМ и КФ изменят свою длину и угол между ними исказится. Величина Ы(Лв) = Ь, — сЬ, характеризующая изменение длины отрезка КМ=~Ь, называется абсолютной линейной деформацией. При этом относительная линейная деформация в точке К по направлению в равна Сумма углов искажения между направлениями КМ и КФ называется относительной угловой деформацией (углом сдвига) в плоскости, где расположены эти отрезки: Относительные линейные и угловые деформации являются безразмерными величинами.
й 1.6. Внутренние усилия в поперечных сечениях стержня Рассмотрим стержень, находящийся в равновесии под действием произвольных нагрузок (рис. 1.27, а). Отнесем стержень к декартовой системе координат, направив ось Ох вдоль оси стержня и расположив оси Оу, Ог в плоскости его поперечного сечения. Рассечем мысленно стержень плоскостью, перпендикулярной к оси, перенесем начало отсчета в центр тяжести поперечного сечения и покажем действующие в произвольной его точке напряжения (рис. 1.27, б). Полное напряжение р„ разложим по осям координат на нормальное напряжение сз„ и касательные напряжения т„„ и т,„. Остановимся йа обо- 5') Г значении напряжений на площадке с нормалью, параллельной оси Ох (такая l б б площадка называется коР~ ординатной).
У нормаль- Р ного напряжения индекс показывает направление его действия. У касательных напряжений первый индекс указывает направление действия напряжения, а второй— направление нормали к площадке, на которой оно действует. Напряжения в данной точке связаны между собой со- отношением Ряс. 1.27 11.5) Выделим в окрестности рассматриваемой точки бесконечно малую площадку с1Г и приведем действующие на нее внутренние силы сЫГ, т „ИГ и т,„а1Г к шести равнодействующим: 7ц=Ц 1Г; д,=Цт,„1Г; М„=Цс~га1Г; д,=Цт,„с1Г; (1.6) М,=Ц<туЫГ; М„=Ц(т,„г — т,„у)ЫГ. Интегрирование производится по всей площади поперечного сечения Г. Величины (1.6) называются внутренними усилиями' в поперечных сечениях стержня, соответственно Ж вЂ” продольная (нормальная) сила, М, и М, — изгибающие моменты, Д, и Д,— поперечные сйлы и М„=М,— крутящий момент (рйс.
1.28, а, б). Внутренние усилия в стержне определяются с помощью метода сечений. В общем случае они переменны по длине стержня, то есть являются функциями координаты точек его оси. Графики этих функций, построенные в соответствующем масштабе, называются эпюрами внутренних усилий. Эпюры строятся на оси стержня и заштриховываются перпендикулярными к ней прямыми линиями. Внутри.
каждой эпюры ставится знак внутреннего усилия. В сопротивлении материалов а) расчет стержня обычно начинается Я с определения внутренних усилий я„я и построения их эпюр. При этом можно либо устанавливать законы изменения внутренних усилий по М8 длине стержня, либо вычислять их *х значения в его характерных сечени- о) ях. В последнем случае для по- 0 х строения эпюр внутренних усилий к необходимо знать характер их х ык изменения на участках стержня между его различными сечениями, что устанавливается из дифферен- Ч ци альных соотношений между внутренними усилиями и интенсивностями распределенных нагрузок.
Знание внутренних усилий недостаточно для определения законов изменения напряжений по поперечному сечению стержня, поскольку каждому внутреннему усилию могут соответствовать различные законы распределения напряжений. Для решения этой задачи надо рассмотреть характер деформации стержня и ввести упрощающие гипотезы. При этом оказывается возможным вывести простые расчетные формулы для определения напряжений через внутренние усилия в поперечных сечениях стержня. В сопротивлении материалов изучение характера работы прямого стержня производится раздельно от действия каждого из трех видов внешней нагрузки.
Действие осевых нагрузок (рис. 1.23, а) соответствует центральному растяжению или сжатию стержня. При этом в его поперечных сечениях действует только одно внутреннее усилие — продольная сила Ф. Действие поперечных нагрузок вызывает изгиб стержня. В общем случае изгиба в поперечных сечениях стержня могут действовать два изгибающих момента М, и М, и две поперечные силы Д, и Д,. Скручивающие нагрузки (рис. 1.23, в) вызывают кручение стержня, что' соответствует действию в его поперечных сечениях крутящего момента М„. Совместное действие осевых, поперечных и скручивающих нагрузок вызывает так называемое сложное сопротивление стержня, которое можно разделить на отдельные задачи в зависимости от сочетания нагрузок (например, растяжение с изгибом, изгиб с кручением и т. и.).
20 21 ГЛАВА 2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИС'1'ИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ й 2.1. Статические моменты и моменты инерции В сопротивлении материалов определяются напряжения, деформации н перемещения в стержнях при действии различных нагрузок, вызывающих центральное растяжение (сжатие), изгиб, кручение или одновременно все виды названных деформаций. В формулы для напряжений и перемещений в зависимости 'вс от вида деформирования входят раз- ЭЕ личные геометрические характерис- тики поперечных сечений стержня.
дР Величины этих характеристик зави- сят от формы и размеров поперечс ного сечения. Рассмотрим произс вольную плоскую фигуру (поперечное сечение стержня) площадью Г, отнесенную к прямоугольной сис- О Ж. теме координат Оху (рис. 2.1). Выде- лим в плоскости фигуры элемент Рис. гл площади ДГ с координатами х, у и определим основные геометрические характеристики поперечных сечений стержней, как взятые по всей площади Г суммы произведений элементарных площадей ДГ на их расстояния х и у (в соответствующих степенях) до осей Оу и Ох.
Статические моменты сечения относительно осей Ох и Оу: 5„=ЦуДГ; 5,=ЦхДГ. (21) Осевые моменты инерции: 1„=Цу ДГ, У =Цх ДГ. (2.2) гг Центробежный момент инерции: У,„= Ц хуДГ. (2.3) Лолярный момент инерции: 3 =Цг~ДГ=Ц(х~+у~)ДГ=3„+У„. (2.4) Статические моменты имеют размерность единицы длины в третьей степени (например, см ), а осевые, центробежный и полярный моменты инерции — единицы длины в четвертой степени (см').
Как видно из приведенных формул, статические и центробежный моменты в зависимости от выбора системы координат могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Осевые и полярный моменты инерции всегда положительны. На основании известной из теоретической механики теоремы о моменте равнодействующей можно написать следующие равенства: 5„=ЦуДГ=Гу,; 5,=ЦхДГ=Гх„ где à — площадь всего сечения. Из этих равенств определяются координаты центра тяжести сечения (рис. 2.1): Ю« Я„ х= —" у= — *. ««7 С Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными осями. Из (2.5) следует, что статический момент всего сечения относительно любой центральной оси равен нулю. й 2.2.
Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей Пусть известны моменты инерции У„, Д, У„сечения относительно центральных осей Ох, Оу (рис. 2.2). Определим моменты инерции У„, У„, «17 «17 7*« „относительно осей О, х „О, у „ параллельных осям Ох, Оу. Обозначим через а и Ь координаты точки О в системе координат О,х,у,. В соответствии 7с рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
