2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 6
Текст из файла (страница 6)
2.2 х,=х+а, у1=у+Ь. С учетом этого получим Ц 1 (Г Ц( +ь11ДГ ЦухДГ+2ЬЦуДГ+Ь2ЦДГ=,У +265 + +бгГ' гз (2.8) У„„,= * "ып2и+Х„усоь2и. Մ— Ху 2. Так как ось Ох проходит через центр тяжести сечения, то статический момент 5„=0. Формулы для Ху и У„у выводятся у1 х1уу аналогично. В результате будем иметь следующйе три соотношения, которые называются формулами преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей: У„,=Х„+Ь'Г; У„=У,+а'Г; Х„„,=Х„у+аЬГ. (26) У„, = * '+ " " соь2и — Хху яп2П; Х„+Ху 2 2 У„= " "— " "соь2а+Х„уяп2а; Ух+ Ху Хх — Ху 2 2 $ 2.3.
Изменение моментов инерции при повороте координатных осей х, = ОС= ОЕ+АЮ=хсоь и+у яп и; у, =ВС=ВХХ вЂ” ЕА=усоьа — хяпп. Учитывая эти соотношения, Рис. 2.3 получим У, =Цу1ИГ=Ц(усоьи — хяпа)2с(Г=соь~аЦуус1Г+ +яп~а Цх~Ыà — яп2и Цхум=Х„соь'и+Хуан'п — Уху ып2п. Формулы для Х„и Хх у выводятся аналогично. В резульх1у1 тате будем иметь следующие три соотношения, которые называются формулами преобразования моментов инерции при повороте осей: Х„= Х„соь ' и+ Ху яп ' и — Хху ьт 2 а; У, =Х„ып'а+Х,соь~а+Ххуяп2ух; у1 х ~х ху У„„, = — ""яп2сс+Х„усоь2и. (2.7) Используя формулы соььи=- (1+соь2и), яп'и=-(1 — соь2м), 2 2 можно преобразовать соотношения (2.7) к следующему виду: Пусть известны моменты инерции Х„, У„Уху сечения относительно осей Ох, Оу (рис. 2.3).
Определим моменты инерции У„,, У... Х„,„, относительно осей Ох„Оу„повернутых по отношению к осям Ох, Оу на угол и. Координаты элемента площади у1Г в повернутых и исходных осях связаны между собой следующими соотношениями: Складывая почленно первые две формулы (2.8), получим Х„, +Х„=Х„+Х,=Х,. (2.9) Таким образом, сумма двух осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не изменяется при повороте осей и равна полярному моменту инерции У .
8 2.4. Главные оси и главные моменты инерции Из формул (2.8) видно, что при повороте осей координат моменты инерции в зависимости от угла а изменяются периодически. Поэтому функции Х„,, У,, У„, должны аметь экстремумы. Кроме этого, сумма осевых моментов инерции согласно (2.9) при изменении и остается величиной цостоянной. Следовательно, существует такое значение и, при котоРом одновременно один из осевых моментов инерции достигает своего максимального (Х,„), а другой — минимального (Х;„) значений. Для нахождения экстремальных величин осевых моментов инерции приравняем к нулю производную по х от первого из выражений (2.8): — "'= — 2~ * "яп2п+Х„усоь2п = — 2Х„„=О.
Отсюда находим 182П= — — *" . (2.10) Эта формула дает возможность в интервале — 45 (и<45" получить угол, наклона а к оси Ох одной из двух взаимно перпендикулярных осей, относительно которых один из осевых Моментов инерции равен Х„,„, а другой — У ы. Центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю. Такие две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции сечения. Осевые моменты инерции относительно таких осей имеют экстремальные значения — один У „„, другой У;„,— и называются главными моментами инерции.
В дальнейшем для главных осей инерции используются Инфровые обозначения 1 и 2 и, соответственно, для главных Моментов инерции — обозначения У,=У,„и У2=Х;„. (2.12) У„-У„ Ук,у, з1п я+ У~~ сов я а) ! ! х х, Ряс. 2.4 Ряс. 2.5 Ряс. 2.4 26 В любой точке сечения всегда существует, по крайней мере, одна пара взаимно перпендикулярных главных осей. Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями. Определение положения этих осей имеет наибольшее практическое значение.
Исследуя знак второй производной первого или второго из выражений (2.8), можно доказать следующее правило: если У„>У„„то по (2.10) получается угол и, между осью Ох и осью 1; при У„<ӄ— угол иг между осью Ох и осью 2. При этом положительному углу соответствует поворот против хода часовой стрелки. Формулы для углов, определяющих положение главных осей, удобнее записать с использованием главных моментов инерции У„У2 (приведем эти формулы без вывода): 18а,= *"; 18сс2= ӄ— У, ӄ— У2 (2.1 1) Для определения главных моментов инерции необходимо в (2.8) с помощью известных формул тригонометрии выразить з1п 2и и сох 2сс через 182а с использованием выражения (2.10).
В результате для главных моментов инерции получим формулы $ 2.5. Некоторые свойства моментов инерции и осей инерции 1. При повороте двух взаимно перпендикулярных осей на 90' или при изменении направления одной из осей на противоположное центробежный момент инерции меняет знак. В справедливости первого утверждения убеждаемся, положив в последней из формул (2.8) а=я/2 (рис. 2.4,а): В справедливости второго утверждения убеждаемся, изменив направление оси Ок на противоположное (рис.
2.4, б). При этом знак абсциссы всех точек сечения изменится на противоположный (х,= — х), поэтому У„у — — Ц к,уйГ= О( — х) уйГ= — У„. 2. Ось симметрии сечения и любая ось, ей перпендикулярная, составляют пару главных осей: Пусть, например, сечение (рис. 2.5) симметрично относительно оси Оу. Тогда любому элементу площади с1Г, расположенному справа от оси Оу, соответствует симметрично расположенный элемент площади слева от оси Оу. Так как абсциссы х этих элементов отличаются только знаком, то все элементарные произведения хуЫГ оказываются попарно равны и противоположны по знаку.
Поэтому центробежный момент инерции всего сечения, как предел интегральной суммы, равен нулю У„,=ЦхуЫГ=О, то есть оси Ох и Оу являются главными осями. 3. Главная центральная ось сечения н любая ось, ей перпендикулярная, составляют пару главных осей. Пусть оси Ох и Оу являются главными центральными осями сечения (рис. 2.6). Тогда У„„=О. Осв О,х, перпендикулярна к оси Оу.
Для определения центробежного момента инерции воспользуемся формулами (2.6): У„,=У„,+аЬГ. Так как У„,=О, и из двух координат а и Ь центра тяжести в системе координат О,х,у а=О, то У„,=О. Следовательно, оси О,х, н О,у составляют пару главных осей. 4. Если моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных главных осей, проходящих через некоторую точку сечения, равны по величине, то все оси,проходящие через Рие. 2.7 А!+.~1 У! -У1 У„= — + сои 2и; 2 2 у 21+22 2! 21 — сов 2и; 2 2 (2.1 3) х (у) Ых=хи — х„=Ь(у). х„(у) 6) г) Ри.гл Рис.
2.9 Рие. 2ЛО 29 эту точку, также являются главными и моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы. Пуст!ь 1 и 2 — главные оси, а Ох и Оу— произвольные оси, повернутые по отношению к главным осям на угол а (рис. 2.7). Если в формулах (2.8) за исходные принять главные оси 1 и 2, а х, и у! заменить на х и у, то эти формулы с учетом того, что 2'1х=О, запишутся в виде У! .у = — яп 2!х. Из последней формулы (2.13) видно, что У„, = О при произвольных значениях и только при условии равенства главных моментов инерции (У,=12). Тогда из первых двух формул (2.13) следует, что 5.
Если для множества осей, проходящих через некоторую точку сечения, можно указать более одной пары несовпадающих главных осей, то все оси, проходящие через эту точку, являются главными. Пусть две пары несовпадающих осей 1 и 2 и Ох, Оу для сечения, изображенного на рис.
2.7, являются главными. Тогда на основании последней из формул (2.13) имеем 21 22 У = яп 2е!=О. г Так как яп2иФО, то отсюда следует, что 1! = Ух и на основании свойства 4 все оси, проходящие через точку О, являются главными. Из свойств 2 и 5 следует, что у сечений, имеющих более двух осей симмс грин, все центральные оси являются главными. К таким сечениям относятся, например, изображенные на рис. 2.8 сечения в виде круга, равностороннего треугольника, квадрата, правильного многоугольника.
Осевые моменты инерции у таких сечений относительно всех центральных осей одинаковы. 8 2.б. Моменты инерции простых сечений Для простых сечений статические моменты и моменты инерции находятся по формулам (2.1) — (2.4) с помощью интегрирования. Рассмотрим, например, вычисление осевого момента инерции У„для произвольного сечения, изображенного на рис, 2.9. Принимая во внимание, что в прямоугольной системе координат элемент площади е1Г=ЫхИу, получим у. х (у) У„=Цу И'=) у Ыу ) Ых, у у, х„(у) где х„(у) и хи(у) — координаты точек контура при некотором фиксированном значении у. Выполняя интегрирование по х, найдем Величина Ь(у) представляет собой ширину сечения на уровне у (рис. 2.9), а произведение Ь(у)!ту=!1Š— площадь элементарной полоски, параллельной оси Ох. С учетом этого формула для У„преобразуется к виду у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
