2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Эти деформации согласно закону Гука прн одноосном напряженном состоянии (3.7) и зависимости между поперечными и продольными деформациями (3.6) будут равны Аналогично под действием напряжений о, и о, возникают деформации Полное относительное удлинение ребер параллелепипеда, параллельных оси Ох, находим как сумму удлинений от действия каждого из напряжений Аналогично можно найти относительные удлинения ребер, параллельных осям Оу и Ог. а„= — [а„— ч(ау+а,) 3; ! 1 а!= — у ' сг= — у У з *У (6.4) 1 ау= — [о.,— ч(а,+су„) 3; (6.1) 1 а,= — [а,— ч(а„+а,)3. 1 1 -у„у.= — (т„, + чт„у) .
1 а1 [а1 ч(аг+аз)зу ! вг= — [а,— ч(аз+а!)3; Е (6.5) (6.2) 1 яз — — [аз ч(а1+аг)] ° Š— '"у ууу (6.6) е,= — [а„— ч(су,+а,)3; 1 уу. у а' е,= — [ау — ч(а,+а„) 3; у* ° 1, у уу (6.7) 1 с,= — [а,— ч(а„+ау) 3; у уу Рис. су.з 109 Таким образом, линейные деформации связаны с нормальными напряжениями тремя формулами закона Гука Если вместо произвольных осей Ох, Оу, 02 воспользоваться главными осями напряженно-деформированного состояния, то формулы (6.1) примут вид Элемент, изображенный на рис.
6.2, б, испытывает напряженное состояние, называемое чистым сдвигом (см. 9 4.5). Рассмотрим проекцию элемента на координатную плоскость Оху (рис. 6.3). Главные оси напряженного и деформированного состояний наклонены по отношению к площадкам чистого сдвига под углом 45'. Главные напряжения по абсолютной величине равны касательным напряжениям и имеют противоположные знаки су,=т„,; а,= — т„,.
(6.3) Для нахождения величин главных деформаций е1 и е„ которые в рассматриваемом случае представляют собой соответственно относительное удлинение диагонали А С и от- носительное укорочение диагонали ВР, воспользуемся аналогией между формулами напряженного и деформированного состояний 6 5.2).
Заменяя в формулах (6.3) аз, а,, туу на в„ег, у„у,12, получим Чистый сдвиг представляет собой частный случай двухосного напряженного состояния. Поэтому положим в первой из формул (6.2)аз =О и подставим вместо а, и а, их выражения из (6.3), а вместо аг — выражение из первой формулы (6.4). Тем самым мы свяжем деформации сдвига с касательными напряжениями: Вводя в этом выражении обозначение Е О= 2(1~-ч) получим одну из формул закона Гука при сдвиге Аналогично можно получить еще две формулы, связывающие деформации сдвига у„и у,„с касательными напряжениями ту* и туу т „ у = — у УХ о ХУ Величина б называется модулем сдвига.
Выражение (6.5) устанавливает связь между тремя постоянными упругости для изотропного материала: модулем упругости Е, модулем сдвига б и коэффициентом Пуассона ч. Из (6.5) следует, что независимыми являются только любые две из этих постоянных. Таким образом, в общем случае трехмерной задачи теории упругости имеем шесть формул, устанавливающих связь между напряжениями и деформациями в окрестности точки тела, которые называются обобщенным законом Гука.
1 — 2ч е„+еу+е,= — (о„+оу+гг,). (6.8) (6.14) К= З(1 — 2ч) (6.10) у»уо у»у» — — ео= — =— ЗК К' 9К ЗК (6.1 1) с „= - (а „вЂ” чо у ); 1 Е 1 ау= — (о.,— чо,); о„=21!а„+Хе; о =211еу+Хе; о,=21!а,+Хе; т«у = Ру«у ' ту» = Руу»1 1" 7»« (6.16) (6.12) 1 2(1+у) l«у ~ «у е «у по й 6.2 Различные формы записи обобщенного закона Гука Сложим почленно первые три формулы (6.7) Используем обозначения для объемной деформации е, средней деформации св, суммы нормальных напряжений з и среднего напряжения ов Р Я е с«+се+с" е' З' з о"+о'+о" о' З и введем понятие модуля объемной деформации Тогда равенство (6.8) можно записать в виде Соотношения (6.11) называют законом уиругого изменения обьема. Как показывают лабораторные исследования, этот закон справедлив и при высоких значениях среднего напряжения ов, значительно превышающих предел упругости материала.
С помощью (6.10) и (6.11) можно показать, что для изотропного материала коэффициент Пуассона не может превышать значения ч=0,5. Пусть ко всем граням элементарного параллелепипеда приложены сжимающие напряжения о„, о, о,. Если при этом предположить, что ч> 0,5, то из (6.10) и (6.11) следует, что К~О и е>0, то есть при всестороннем сжатии объем параллелепипеда увеличивается, что противоречит физическому смыслу. Как видно из (6.10) и (6.11), при ч- 0,5, К-у оэ„е-»0 изменение объема не происходит.
Материал, обладающий этим свойством, называется несжимаемым. Условие несжимаемости используется в теории пластичности. Равенства (6.7) часто называют прямой формой закона Гука. Если их решить относительно напряжений, то получим обратную форму закона Гука Входящие в эти формулы величины )з и Х называются постоянными Ляме. Они связаны с постоянными Е, 6, и ч с помощью формул Вычтем из левых и правых частей первых трех равенств (6.12) среднее напряжение сув. После несложных преобразований правых частей с помощью соотношений (6.11) и (6.13) получим соотношения, которые называются законом изменения формы о„— ов=26(с„— ев); т«у=26(-у„у); 1 сУу — ов =26(еу — ев); т„=26(-7„); о,— по=26(е,— ев); т,„=26(-7,„). 1 В левых частях этих равенств стоят компоненты девиатора напряжений 6 4.3), а в правых — компоненты девиатора деформаций 6 5.3), умноженные на один и тот же коэффициент пропорциональности 26.
Следовательно, девиатор напряжений пропорционален девиатору деформаций, и равенства (6.14) можно записать более компактно в тензорной форме Р =26Р,. (6.15) Равенства (6.14) характеризуют изменение формы, а (6.11)— изменение объема в окрестности точки тела. Поэтому в совокупности они эквивалентны полной системе равенств обобщенного закона Гука. й 6.3 Закон Гука для двухосного напряженного состояния В случае двухосного напряженного состояния 6 4.5) в формулах (6.7) необходимо положить о,=т„=т,„=О. В результате получим Деформация ах может быть найдена из третьего равенства (6.7) ч а,= — — (о„+о,). (6.1 7) Деформации сдвига у„,=у,»=0.
Таким образом, при двухосном напряженном состоянии имеем три формулы (6.16) обобщенного закона Гука. В главных осях деформации сдвига отсутствуют, а формулы (6.16) имеют вид 1 с, = — (а1 — ча2); е2= — (о2 чо1), Е (6.1 8) Если равенства (6.16) решить относительно напряжений, то получим Е ах =, (Ех+ Ча,); 1 — ч1 Е ~у (е у.+ че х )! 2 Е тх,=бух,= 2 (1+ ч) 7»п (6.19) й бг4 Связь между напряжениями и деформациями для анизотропного тела В анйзйтроппом теле постоянные упругости, характеризующие свойства материала по различным направлениям, проведенным через рассматриваемую точку, различны. В самом общем случае анизотропии связь между деформациями и напряжениями для линейно-упругого тела записывается в виде следующих шести соотношений: е„=й„15,+Й12 сгх+а13 с1,+Й,42»„+а!5 тч,+а!6 тхх; а~=й21 О»+Й22 о~+Й23 Ох+ Й24 7»2+Й25 т~~+Й26 тх» 1 Й31 о~+ Й32 оу+ЙЗЗ 1-1»+ Й34 тху+Й35 т~~+ЙЗЬ т~~ ! у~у Й41 о~+Й42 оч+Й43 о~+Й44 2»ч+Й45 ту +Й462»» ! 1у~ Й51 О»+Й52 Оч+ЙЗЗ О~+Й54 т»3+Й55 т~~+Й56 тх» 7»» = йб1 о~+ Й62 с!~+ йбз о~+ Й64 тхч+ Й65 т~~+ йбб т~~ (6.20) Можно показать, что постоянные ац, характеризующие свойства материала, обладают свойством взаимности аг=ал.
Поэтому из 36 постоянных, входящих в равенства (6.20), независимыми будут 21. Как видно из (6.20), в общем случае Г12 анизотропии линейные и угловые деформации зависят от всех шести напряжений. Если предположить, что оси Ох, Оу, Ог являются главными осями напряженного состояния, то касательные напряжения т„,=т„=тх»=0. При этом, как видно нз последних трех равенств (6.20), угловые деформации 7„,, 7„, 7,» в нуль не обращаются. Следовательно, оси Ох, Оу, Ог йе являются главными осями деформированного состояния.
Отсюда можно сделать вывод, что в общем случае анизотропии главные оси напряженного и деформированного состояний не совпадают между собой. В частных случаях аннзотропин число независимых постоянных ап сокращается. Так, например, если в каждой точке тела имеется одна плоскосп2а упругой симметрии, обладающая тем свойством, что любые два направления, симметричные относительно этой плоскости, 'эквивалентны в отношении упругих свойств, то можно показать, что в этом случае число независимых постоянных сокращается до 13. Направления, нормальные к плоскостям упругой симметрии, называются главными направлениями упругости.
Тело, в каждой точке которого имеется три взаимно перпендикулярных плоскости упругой симметрии, называется орп2отроп11ы45. К ортотропным материалам относят, например, натуральную древесину„фанеру, а также так называемые композитные материалы на полимерной основе, армированные в трех ортогональных направлениях волокнами из высокопрочного материала. У натуральной древесины одна плоскость упругой симметрии нормальна к волокнам, вторая параллельна годичным слоям н третья ортогональна к первым двум. Если координатные оси Ох, Оу, Ог совместить с главными направлениями упругости, то равенства (6.20) для ортотропного материала можно представить в виде ! ч„ч„, 1 е = — а — — "а — — "*о; У у = — т х Е х Е у Е х ху 6 »у~ » *» (6.21) » У. ч, 1 1 = — — *"о — — 'о + — о; у 2 х Е х Е х Е»' у»х П»х' » В этих равенствах Ех, Е, Е,— модули упругости в направлении осей Ох, Оу, Ог; О„„д„, 6,» — модули сдвига в плоскостях ОХу, Оуг, ОЗХ; Ч„„Ч,», Ч„, Ч„, Ч,х, Чх, — КОЭффнцнситЫ Пуассона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
