2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Если Оу и Ог являются главными центральными осями поперечного сечения (рис. 7.28), то 5„=5,=1„=0, и из системы (7.12) находим М„ , М, Еуу ЕУ, Подставляя эти величины в (7.10), получим су„= — *У+ — "2. (7.13) У, У„ Отметим, что ицдекс у нормального напряжения в поперечном сечении балки обычно опускается.
Если силовая плоскость совпадает с главной плоскостью Оху, то М,=О, и формула (7.13) для напряжения о принимает окончательный вид М, су = — *у. у. (7.14) Таким образом, при чистом изгибе стержня моментами М„ действующими в главной плоскости инерции Оху, нормальные напряжения о в поперечном сечении стержня изменяются по линейному закону. Прн этом переменная у отсчитывается от главной осн Оас которая является нулевой линией. Используя первую гипотезу и соотношение Коши для угловой деформации у„„получим ди ди у„,= — + — =О. ду дх Дифференцируя это равенство по пременной х, и учитывая (7.10), получим дси д /ди1 1 до дхс ду~ дху) Е дУ Отсюда с учетом (7.14) получим уравнение относительно перемещений о(х, у) любой точки поперечного сечения балки 2ЗЗ при чистом изгибе йфн М (7.15) дхн ЕЗ, (7.1б) М, о в=— Ин м ~ (7.20) И',= о,я' (7.21) М,Ь„М,Ь, н Г ~ н (7.17) М, М, ст= *; ст= — — * *н М, М, Ст внн — *; О и нм (7.
18) (7. 22) где )йв В Фн МнО м ° Ф Рнс. 7ЗО ~ к нвн Рнс. 7Д9 1зв Для точек оси балки у=О, и уравнение (7.15) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение относительно поперечных перемещений точек оси балки, или прогибов о(х); а'ь нн' Ен', Это уравнение называется дифференциальным уравнением изогнутой оси балки. Оно может быть использовано для определения ее прогибов. По формуле (7.14) определяются нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки при прямом изгибе в плоскости Оху. Из нее видно, что напряжения а изменяются по высоте сечения по линейному закону.
В точках нейтральной оси напряжения и равны нулю, а наибольшее и наименьшее значения принимают в нижних ( у = и„) и в верхних (у= — й,) волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 7.29 и 7.30): Эти формулы удобно представить в виде И',н = — *; И'„= — '. ,У, 1, (7.19) Величины И;„и И~„называются моментами 'сопротивления сечения относительно нейтральной оси Ог для нижних и верхних волокон.
Они являются положительными величинами. Отметим, что знак напряжения в формуле (7.14) определяется знаками изгибающего момента М, и ординаты у, а в формулах (7.18) — по физическому смыслу задачи в зависимости от того, растянуты или сжаты рассматриваемые волокна балки. В последнем случае М, берется по абсолютной величине. На рис. 7.29 изображен характер эпюр нормальных напряжений для несимметричных сечений: таврового при М, > 0 и треугольного при М;<О. Из приведенных на рис.
7.29 эпюр видно, что в балках с несимметричным сечением наибольшие по абсолютной величине напряжения возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси и могут быть определены по формуле где И'"," — меньший из моментов сопротивления И;и или И;,. Для сечений, симметричных относительно нейтральной оси, Ь„=Ь,=Ь(2, и момент сопротивления определяется по формуле Напряжения в крайних волокнах в этом случае равны по величине и отличаются знаками: На рис. 7.30 изображен характер эпюры о для симметричных сечений: прямоугольного, круглого, двутаврового при М,>0. ~в~О Моменты инерции н моменты сопротивления прямоугольного, круглого сплошного и трубчатого сечений находятся по следующим формулам: для прямоугольного сечения У,=; И;= — '= —, М' .1, ЬЬ' 12 ' 0,56 6 (7.23) для сплошного круглого сечения (7.24) ,7,= —; И;= — *= —, 4 Д 4 для трубчатого сечения с внутренним и внешним радиусами Я,и1с2 с«~ сЧ«1 к(«1 Д4) 4 4 Я2 4А« (7.25) Для двутавровых, швеллерных и других прокатных профилей величины 1, и И; приведены в сортаменте.
й 7.6. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе Д, = Ц т„„с1г". Р .7.З1 Рассмотрим балку, находящуюся в условиях плоского прямого изгиба под действием произвольных поперечных нагрузок в главной плоскости Оху (рис. 7.31,а). Рассечем балку на расстоянии х от ее левого конца и рассмотрим равновесие левой части.
Влияние правой части в этом случае нужно заменить действием изгибающего момента М, и поперечной силы Д, в проведенном сечении (рис. 7.31, б). Изгибающий момент М, в этом случае не является постоянным по величине, как это имело место при чистом изгибе, а изменяется по длине балки. Так как изгибающий момент М, согласно (7.14) связан с нормальными напряжениями о =о„, то нормальные напряже- ния в продольных волокт(х) нах также будут изменяться по длине балки. Следовательно, в случае поперечного изгиба нормальные напряжения являются функциями переменных х и у: о„=о„(х, у). При поперечном изгибе в сечении балки действуют не только нормальные, но и касательные напряжения к т,„(рнс.
7.31, в)„равнодейн ствующей которых являет- ся поперечная сила Д,: Наличие касательных напряжений т «сопровождается появлением угловых деформаций 7„. Касательные напряжения, как и нормальные, распределены по сечению неравномерно. Следовательно неравномерно будут распределены и угловые деформации, связанные с ними законом Гука при сдвиге. Это означает, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба сечения балки не остаются плоскими (нарушается гипотеза Я. Бернулли).
Искривление поперечных сечений можно наглядно продемонстрировать на примере изгиба консольной балки прямоугольного сечения из резины, вызванного приложенной на конце сосредоточенной силой (рис. 7.32). Если предварительно на боковых гранях нанести прямые линии, перпендикулярные к оси балки, то после изгиба эти линии не остаются прямыми. При этом они искрнвляются так, что наибольший сдви~ имеет место около нейтрального слоя. Р Более точными исследованиями установлено, что влияние искажения поперечных сечений на величину нормальных напряжений незначительно. Оно зависит от отношения высоты сечения Ь к длине балки 1 и при Ь/! < 1/5 является несущественным.
Рис. 7.32 Поэтому для определения нормальных напряжений о„при поперечном изгибе обычно используется формула (7.14), выведенная для случая чистого изгиба. Второй особенностью поперечного изгиба является наличие нормальных напряжений сз„, действующих в продольных сечениях балки и характеризующих взаимное давление между продольными слоями. Эти напряжения возникают на учасзках, где имеется распределенная нагрузка д и в местах приложения сосредоточенных сил. Обычно эти напряжения имеют весьма малую величину по сравнению с нормальными напряжениями о,.
Несколько особый случай представляет собой действие сосредоточенной силы, в области приложения которой могут возникнуть значительные местные напряжения о,. Таким образом, бесконечно малый элемент в плоскости Оху в случае поперечного изгиба находится в условиях двухосного 3 напряженного состояния (рис. 7.33). Напряжения т,„и сг, так же, как и нап- 13'. ряжение ст„, в общем случае являются сч функциями координат х и у. Они должны удовлетворять дифференциальным уравне- «М ниям равновесия, которые для двухосного Ф напряженного состояния (о,=т„=т,«=0) при отсутствии объемных сил имеют Р .7ЗЗ 137 следующий вид: — "+ "'=О„' дх ду (7.26) дг Эти уравнения могут быть использованы для определения касательных напряжений т, = т,„и нормальных напряжений о„, Наиболее просто это сделать для балки прямоугольного поперечного сечения.
В этом случае при определении т,„принимается предположение об их равномерном распределении по ширине сечения (рис. 7.34). Это предположение было сделано известным русским ученым— мостостроителем Д. И. Журавским. Исследования показывают, что это предположение практически точно соответствует действительному характеру распределения касательных напряжений при изгибе для достаточно узких и высоких балок (Ь « Ь).
Воспользовавшись первым из дифференциальных уравнений (7.26) и формулой (7.14) для нормальных напряжений о., получим дт „де„дМ У В ду дх Ых У, У* (7.27) Интегрируя это уравнение по переменной у, находим т,„— — — у +~(х), 0~ 2 (7.28) где у(х) †произвольн функция, для определения которой используется условие отсутствия касательных напряжений на нижней грани балки у=-, т,„=О. Ь С учетом этого граничного условия из (7.28) находим Окончательно выражение для касательных напряжений, действующих в поперечных сечениях балки, принимает следующий вид: т,„= —" — — у~ . (7.29) Рис.
7.34 В силу закона парности касательных напряжений возникают также касательные напряжения т„,=т,„ в продольных сечениях балки, параллельных нейтральному слою. Из формулы (7.29) видно, что касательные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения балки по закону квадратной параболы. Наибольшее значение касательные напряжения имеют в точках на уровне нейтральной оси при у=О, а в крайних волокнах балки при у= +Ь/2 они равны нулю. Используя формулу (7.23) для момента инерции прямоугольного сечения, получим Д,Ь с 312„ ~щОх ХГ 2Г (7.30) Рис. 7.35 где Г=ЬЬ вЂ” площадь поперечного сечения балки.
Эпюра т,„приведена на рис. 7.34. В случае балок непрямоугольного поперечного сечения (рис. 7.35) определение касательных напряжений т„из уравнения равновесия (7.27) затруднительно, так как граничное условие для т„ не во всех точках контура поперечного сечения известно. Это связано с тем, что в этом случае в поперечном сечении действуют касательные напряжения т, не параллельные поперечной силе Д„. В самом деле, можно показать, что в точках у контура поперечного сечения полное касательное напряжение т направлено по касательной к контуру. Рассмотрим в окрестности произвольной точки контура (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
