2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 24
Текст из файла (страница 24)
7.35) бесконечно малую площадку аТ в плоскости поперечного сечения и перпендикулярную к ней площадку с1Г' на боковой поверхности балки. Если полное напряжение т в точке контура направлено не по касательной, то оно может быть разложено на две составляющие: т„„в направлении нормали х к контуру и т,„ в направлении касательной ~ к контуру. Следовательно, согласно закону парности касательных напряжений на площадке с1Г' должно дейСтвовать касательное напряжение т„„, равное т„,. Если боковая поверхность свободна от касательных нагрузок, то составляющая т,„=т,„=О, т.
е. полное касательное напряжение т должно быть направлено по касательной к контуру поперечного сечения, как это показано, например, в точках А и В контура. Следовательно, касательное напряжение т, как в точках контура, так и в любой точке поперечного у сечения можно разложить на составляющие т „и я+ д~ т *уотс ,7, где (7.31 О а) Г 1 Рис.
7.36 Рис. 7.37 Рис. 7.38 141 140 Для определения составляющих т,„касательного напряжения в балках непрямоугольного поперечного сечения (рис. 7.36,6) предположим, что сечение-имеет вертикальную ось симметрии, и что составляющая т,„полного касательного напряжения т, как и в случае прямоугольного поперечного сечения, равномерно распределена по его ширине. С помощью продольного сечения, параллельного плоскости Охг и проходящего на расстоянии у от нее, и двумя поперечными сечениями х и х+ах вырежем из нижней части балки бесконечно малый элемент длиной Нх (рис.
7.36,в). Предположим, что изгибающий момент М, изменяется в пределах длины Ых рассматриваемого элемента балки, а поперечная сила Д, постоянна. Тогда в поперечных сечениях х и х+с1х балки будут действовать одинаковые по величине касательные напряжения т,„, а нормальные напряжения, возникающие от изгибающих моментов М, и М,+ИМ, будут соответственно равны с7 и о+Ыо. По горизонтальной грани выделенного элемента (на рис. 7.36,в он показан в аксонометрии) согласно закону парности касательных напряжений будут действовать напряжения т„=т,„. Равнодействующие Я и Я+ ЫЯ нормальных напряжений о и о+Й7, приложенных к торцам элемента, с учетом формулы (7.14) равны Я = И с1 ( у1) аг = — у1с1т = — о в.„ ц,г, статический момент отсеченной площади Г„, (на рис. 7.36,6 заштрихована) относительно нейтральной оси Ог; у,— вспомогательная переменная, изменяющаяся в пределах у<у„(Ь„.
Равнодействующая касательных напряжений т„,, приложенных к горизонтальной грани элемента, с учетом введенного предположения о равномерном распределении этих напряжений по ширине Ь(у) может быть найдена по формуле ИТ= т„,Ь (у) Ых. Условие равновесия г.Х=О элемента дает Я+ сИ вЂ” Я вЂ” ЙТ= О. Подставляя значения равнодействующих сил, получим — *5,""' — с„,Ь (у) а1х = О. ото Отсюда, с учетом (7.6), получим формулу для определения касательных напряжений ал" (у) ~,Ь(,) Эта формула в отечественной литературе называется формулой Д. И. Журавского. В соответствии с формулой (7.32) распределение касательных напряжений т,„по высоте сечения зависит от изменения ширины сечения Ь(у) и статического момента отсеченной части сечения уотс ) помощью формулы (7.32) касательные напряжения наиболее просто определяются для рассмотренной выше балки прямоугольного сечения (рис.
7.37). Статический момент отсеченной площади сечения Г„, равен яотс р 1 1 ь у Ь в у ь ь 2 5г 1 ~~ ~ +бг Д 5" т ух Г.„ Отсюда находим т,„= †. * уЫГ Учитывая, что "м =О„о об=5;", Г.„ Рис. 7.39 143 142 Подставив 5;" в (7.32), получим выведенную ранее формулу (7.29). Формула (7.32) может использоваться при определении касательных напряжений в балках со ступенчато постоянной шириной сечения. В пределах каждого участка с постоянной шириной касательные напряжения изменяются по высоте сечения по закону квадратной параболы. В местах скачкообразного изменения ширины сечения касательные напряжения также имеют скачки или разрывы. Характер эпюры т,„для такого сечения приведен на рис.
7.38. Рассмотрим распределение касательных напряжений в двутавровом сечении (7.39, а) при изгибе в плоскости Оху. Двутавровое сечение может быть представлено в виде сопряжений трех прямоугольников: двух горизонтальных полок и вертикальной стенки. При вычислении т,„в стенке в формуле (7.32) нужно принять б(у)=Ы. В результате получим (7.33) где 5;" вычисляется как сумма статических моментов относительно оси Ог площади полки Г„и части стенки Г,„ заштрихованных на рнс. 7.39,а 5;" =б„у, +Р,у,. Наибольшее значение касательные напряжения т„„имеют на уровне нейтральной оси при у=О ,2 зп2 ~мах где 5,"~ — статический момент площади половины сечения относительно нейтральной оси Для прокатных двутавров и швеллеров величина статического момента половины сечения приведена в сортаменте. На уровне примыкания стенки к полкам касательные напряжения т,„равны где 5," — статический момент площади сечения полки относительно нейтральной оси 5", = — (б — 1).
Вертикальные касательные напряжения т,„в полках двутавра не могут быть найдены по формуле (7.32), так как вследствие того, что б))О предположение об их равномерном распределении по ширине полки становится неприемлемым. На верхней и нижней гранях полки эти напряжения должны быть равны нулю. Поэтому т,„в полках весьма малы и не представляют практического интереса. Значительно больший интерес представляют горизонтальные касательные напряжения в полках т„, для определения которых рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента, выделенного нз нижней полки (рис.
7.39,б). Согласно закону парности касательных напряжений на продольной грани этого элемента, параллельной плоскости Оху, действует напряжение т„„ равное по величине напряжению т,„, действующему в поперечном сечении. Вследствие малой толщины полки двутавра эти напряжения можно принять равномерно распределенными по толщине полки. С учетом этого из уравнения равновесия 2.Х=О элемента будем иметь Ц (а„+Ис~„)Иà — И о„йР— т„,Их=О. Подставляя в эту формулу выражение для а„из (7:14) и учитывая„что т„, = т,„, получим В соответствии с рис. 7.39,а Рис. 7.41 о = — у — — +,1(х).
Ьз з 8У, 6У, т,„= — "(Ь вЂ” 1) (Ь вЂ” 2г). т-,„=а(Ь- ПЬ-Ы), Ь д Ь у= — —, ст = — —; у=-, о =О. 2 Ь' 2' (7.35) 1'(х) = —— Ьз 241, С учетом этого следующий вид: з 241 Ь зз (7.36) нб Ьз о ь (7.37) 145 где Я;" — статический момент о~сеченной площади полки (на рис. 7.39,а заштрихована дважды) относительно осн Ох, окончательно получим Д,5;" (7.34) где я — переменная, отсчитываемая от оси Оу. С учетом этого формулу (7.34) можно представить в виде Отсюда видно, что горизонтальные касательные напряжения т,„меняются по линейному закону вдоль оси Ог и принимают наибольшее значение при г=б(~2: На рис. 7.40 показаны эпюры касательных напряжений т,„ и т,„, а также направления этих напряжений в полках и стенке™двутавра при действии в сечении балки положительной поперечной силы Д,.
Касательные напряжения образуют в сечении двутавра непрерывный поток, направленный в каждой точке параллельно контуру сечения. Перейдем к определению нор- зб мальных напряжений о; в прос Ц~~ дольных сечениях балки. Рассмотрим участок балки с равномерно распределенной нагрузкой по верхней грани (рис. 7.41). Поперечное сечение балки примем прямоугольным.
Используем для определения ст, второе из дифференциаль'ъъ ных уравнений равновесия (7.26). Подставив в это уравнение формулу (7.32) для касательных напряжений т,„, с учетом (7.6), поРис. 7.40 лучим Выполнив интегрирование по переменной у, находим Здесь 1 (х) — произвольная функция, которая определяется с помощью граничного условия.
По условиям задачи балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой д по верхней грани, а нижняя грань свободна от нагрузок. Тогда соответствующие граничные условия записываются в виде Используя второе из этих условий, получим формула для напряжений ст, примет Из этого выражения видно, что напряжения о.„изменяются по высоте сечения по закону кубической параболы. При этом выполняются оба граничных условия (7.35). Наибольшее значение напряжение о, принимает на верхней поверхности балки при у= — Ь~2 Характер эпюры а, приведен на рис. 7.41. Для оценки величин наибольших напряжений ст„, стз и т„ и соотношений между ними рассмотрим„например, изгиб консольной балки прямоугольного поперечного сечения с размерами Ьх Ь, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, приложенной к верхней грани балки (рис.
7.42). Наибольшие по абсолютной величине напряжения + +т2 — — +т2 ° а »»2=О С= 2 (7.41) су ог=о Рнс. 7.43 (7.42) 18 йг = —,' УУ1 т 18аг= —. уу О1 — — тнб» Ог т»»4 ° Формулы (7.42) дают о,,= " у+ " ' +т„'; (7.38) 2 с»УУ т„„=т= У,Ь М, о =о= — 'у Л» (7.40) Рн . 7.44 о„=О; т„,=т с„=о„ 146 147 возникают в заделке.
В соответ ствии с формулами (7.22), (7.30) и (7.37) эти напряжения равны ® а Так как обычно для балок 1/12»1, то из полученных выражений следует, что напряжения Рнс. 7.42 о„по абсолютной величине превосходят напряжения т,„и, особенно, оу. Так, например, при 1/А=10 получим о„(т„,=20; о„(ау=300. Таким образом, наибольший практический интерес при расчете балок на изгиб представляют напряжения о„, действующие в поперечных сечениях балки. Напряжения о, надавливания продольных слоев балки друг на друга пренебрежимо малы по сравнению с о„. Полученные в этом примере результаты свидетельствуют о том, что введенные в 8 7.5 гипотезы вполне оправданы.
8 7.7. Главные напряжения в балках при изгибе Величины главных напряжений и углы наклона главных площадок в балках при поперечном изгибе можно определить по формулам (4.27) и (4.28) двухосного напряженного состояния: 18 аг = 18 а г = су — уу 1 у уу — су Как уже было установлено, при поперечном изгибе в сечении балки действуют нормальные напряжения о„и оу и касательные напряжения т,„=т„,. Однако, нормальные напряжения оу по сравнению с о„существенно малы и обычно их принимают равными нулю.
Таким образом, будем исходить из того, что при поперечном изгибе в балке возникают напряжения Следовательно, имеет место частный случай двухосного напряженного состояния (рис. 7.43): Тогда формулы (7.38) и (7.39) принимают вид При условии М, > 0 и Ду > 0 рассмотрим в поперечном сечении балки три характерных точки (рис. 7.44): в верхнем сжатом волокне (точка А), в нейтральном слое (точка В) и в нижнем растянутом волокне (точка С).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
