2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Большие углы закручивания особенно опасны при передаче переменного во времени момента, так как при этом возникают опасные для прочности крутильные колебания. Условие жесткости стержня при кручении имеет вид 16,3 1Ог П) з — — —, = 6,94 см. 3,14 45 10 Рис. 8.13 Рис. 8.14 =9,67 см. 1О (8.29) 169 168 Для трубчатого сечения согласно (8.17) При расчете скручиваемого стержня на прочность и жесткость из двух требуемых значений диаметра надо принять большее. Пример 8.3.
Стержень скручивается постоянным по длине моментом М„=З кНм. Дано [13=45 МПа, (ф'3=0,25 град/м, 6=0,8 10' МПа. Требуется определить диаметр круглого стержня. Из условия прочности (8.24) имеем Учитывая, что 0,25 град/м = 0,25 я/180 рад/м = 0,437 х х!0 4 рад/см, из условия жесткости (8.27) находим Из двух найденных значений диаметра принимаем В=97 мм. 8 8.5. Главные напряжения прн кручении стержня круглого сечения Выше было установлено, что при кручении стержня круглого сечения в поперечных сечениях возникают касательные напряжения т„= т, перпендикулярные к радиусу.
Согласно закону парности в радиальных сечениях, проходящих через продольную ось стержня, действуют также касательные напряжения т„=ти, (рис. 8.8). Выделим внутри стержня бесконечно малый элемент с размерами й, г6, г/з (рис. 8.13, а). По боковым граням этого элемента действуют только касательные напряжения т, определяемые по формуле (8.14). Следовательно, элемент находится в условиях чистого сдвига. В 8 4.5 было показано„что главные напряжения при чистом сдвиге равны по величине касательным напряжениям и имеют противоположные знаки (ог — — т, ог= — т), а главные площадки наклонены под углами +45"" к площадкам чистого сдвига (рис.
8.13, б). Экспериментальные исследования свидетельствуют о правильности полученных результатов. Так, например, при скручивании деревянного стержня образуются продольные трещины от действия касательных напряжений в радиальных сечениях вследствие малой прочности древесины при скалывании вдоль волокон (рис. 8.14, а). Стержень из хрупкого материала, например, чугуна, разрушается от действия главных растягивающих напряжений по винтовой поверхности, наклоненной к оси стержня под углом 45' (рис. 8.14, б).
Стержень, изготовленный из пластичной стали, разрушается в виде среза от действия касательных напряжений в поперечном сечении, так как растягивающие напряжения для такого стержня менее опасны, чем касательные. 8 8.6. Статически неопределимые задачи при кручении Задачи кручения стержней являются статически неопределимыми, если крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях стержня, не могут быть определены с помощью одних только уравнений равновесия. Для решения таких задач необходимо также рассматривать деформированное состояние скручиваемого стержня. В качестве примера рассмотрим заделанный на концах круглый стержень, нагруженный скручивающим моментом М, приложенным на расстоянии а от левого конца (рис.
8.15, а). Для определения двух опорных моментов М„и Ме имеем лишь одно уравнение статики Для составления уравнения деформаций отбросим правую опору (рис. 8.15, б). Найдем угол закручивания фв сечения В образованного таким образом статически определимого стержня и приравняем его к нулю: Му1 Мв срв = — + — = О. Из этого равенства получим а М,=М-.
Г Из уравнения равновесия (8.29) найдем Ь МА М МВ е) м ав Й;8 При известных величинах + М„и Мв можно определить крутящий момент М„и угол закручивания <р в произвольном сеРяс. 8.18 чении стержня. Соответствующие эпюры М„и <р приведены на рис. 8.15, в, г. в) О 8 8.7, Кручение стержней с некруглым поперечным сечением. Задача Сен-Венина Как показывают эксперименты, при кручении стержней некруглого поперечного сечения гипотезы, принятые в 8 8.2, оказываются несправедливыми. Основным отличием является то, что поперечные сечения в таких стержнях при кручении не остаются плоскими, а искривляются (рис. 8.16).
Это явление называется депланаиией. При этом в в зависимости от условий закрепления стержня депланация по длине стержня может быть различна. Так, например, если один торец стержня закреплен (рис. 8.16), то депланация в заделке отсутствует, а на свободном торце она наибольшая. При этом, очевидно, некоторые продольные волокна стержня удлиняются, ~l а другие укорачиваются. Это возможно лишь за счет появления нормальных напряжений о„которые на первый взгляд должны отсутствовать, поскольку внутренние усилия (Л, М„, М,), являюшиеся равнодействующими этих напряжений, Рис.
8.16 при кручении равны нулю. и = — <р'ус; о = <р'хг. (8.30) 2. Величина депланации пропорциональна относительному углу закручивания ср', то есть (8.3 1) = р'Ф(х, у) Здесь следует отметить, что если в рассматриваемой задаче (рис. 8.17) считать, что сечение =0 не поворачивается, то углы закручивания у изменяются по длине стержня по линейному закону (рис.
8.11) и яу'=- — =сопвг. йр 6Ь Из соотношений Коши (5.8) с учетом (8.30) и (8.31) найдем деформации с Яу Я У~у:01 7„,=<Р' — У+ —; уу,=<Р' х+— (8.32) С помощью закона Гука (6.12) получим т„, = 67„, = 6(р' ~ — — у); т„= 6уу, = 6(р' ~ — + х, (8.33) х У а остальные напряжения равны нулю. Из этих соотношений видно, что в стержне возникает напряженное состояние чистого сдвига. Подставив выражения Кручение стержня, при котором депланация сечения по длине стержня изменяется, называется супесненным кручением. 11 ! В этом параграфе рассмот- ' ',1 рим такое кручение, при котором депланация по длине стержня постоянна и ее можно 'характеризовать величиной перемещения Ряс.
8.17 уе=и (х, у) в осевом направлении. Такое кручение стержня называется свободным кручением. Свободное кручение имеет место, например, когда стержень постоянного по всей длине сечения нагружен по торцам двумя крутящими моментами (рис. 8.17). Решение задачи свободного кручения стержней некруглого поперечного сечения получено Сен-Венаном. В основу решения положены следующие допущения. 1.
Перемещения и и о в плоскости Оху описываются теми же соотношениями, что и при кручении круглых стержней (формулы (8.22)). 17В 171 о„1+ т„,уп+ т„, и = р„„; ту„(+ о,!и+ т„п =р,„; т,„(+т„т+ о,п =р,„. М, = (т„х — т„,у) а!г = (8.39) = бф' х'+ух+ — х — — у ЫГ. (8.34) г„= х~+у2+дчх — дчу у, (8.35) Рис. 8.18 (8.36) М „= б.у'„ф'. — — у — — — +х — =О.
(8.42) дФ дФ т = — т д ' !' д у » (8.43) дг~ д» ду (8.38) 173 для т„, и т„в формулу (8.8), вычислим величину крутящего момента Входящий в это равенство интеграл назовем моментом инерции сечения при кручении. В случае круглого сечения, когда депланация отсутствует (81=0), эта величина совпадает с полярным моментом инерции У =Ц(х'+у') аГ. Поде~валяя (8.35) в (8.34), получим Эта формула совпадает по форме с (8.8). Отличными в этих формулах являются только геометрические характеристики УриУ„.
Произведение бУ, называется жесткостью стержня при свободном кручении. Таким образом, для решения задачи о свободном кручении стержней некруглого поперечного сечения необходимо найти функцию ч! (х, у). Тогда из (8.36) с учетом (8.35) можно определить относительный угол закручивания ф', а с помощью (8.33) и (8.32) — вычислить напряжения и деформации. Подставив выражения для напряжений т„, и т„из (8.33) в третье уравнение равновесия Навье (4.10) при отсутствии объемных сил, получим Уд2!у д!ф'~ (8.37) д» ду д»* ду2 Отсюда следует, что функция ф(х, у) должна удовлетворять уравнению Лапласа Рассмотрим теперь граничные условия На боковой поверхности стержня, которая свободна от внешних сил и имеет нормаль ч, перпендикулярную к оси Ох, имеем р„,=р,„=р,„=О; п=соа(ч, г)=0.
С учетом этих равенств третье граничное условие (839), дает у т,„7+ т„т — О. (8.40) Преобразуем это условие, рассмотрев бесконечно малый элемент АВС у границы поперечного сечения (рис. 8.18). Направление касательной ! выберем так, как показано на этом рисунке. Тогда ду 1= сов !т = сов и ! = —; (8.41) !!» т = сов)3 = — сов ~3 ! = — —. К! Подставляя эти значения в (8.40), получим Таким образом, задача о кручении стержня с произвольным поперечным сечением сводится к решению дифференциального уравнения (8.38) с граничным условием (8.42).
Граничное условие (8.42) имеет сложный вид и не очень удобно для решения задач. Поэтому рассмотрим другой подход, приводящий к более простому граничному условию. Уравнению (8.37) можно удовлетворить, приняв где Ф = Ф (х, у ) называется функцией напряжений. Из равенств (8.33) и (8.43) получим — =бф' — — у; — — =бф' — +х М„= — — х+ — у с1г. Дважды интегрируя это выражение по частям и используя граничное условие (8.46), можно получить следующее равенство: М,=21)ФсЖ г (8.47) 8 8.8. Примеры решения задач кручения стержней с некруглым поперечным сечением Кручение стержня эллиптического поперечного сечения.
Пусть поперечное сечение стержня ограничено эллипсом с полуосями а и Ь (рнс. 8.19). Уравнение эллипса имеет вид Исключим функцию ф. Для этого продифференцируем первое равенство по у, второе — по к, и вычтем из первого равенства второе: д2Ф д2Ф У дз4, д14, — —,+ ., = 6ср'~ — 1 — — 1 = — 2бср', ду' сх ~,дхду дхду Таким образом, функция Ф удовлетворяет уравнению Пуассона д'Ф дсФ д +д (8.44) Граничное условие (8.40) с учетом (8.41) и (8.43) принимает вид дФ Ыу дФ дх ЫФ вЂ” — + — „— = — =О. ду Й дх дс Й Отсюда следует, что на границе Ф = сопзг.
(8.45) В случае односвязных, то есть сплошных сечений эту постоянную можно принять равной нулю. Тогда получим, что на границе Ф= О. (8.46) Таким образом, задача определения напряжений в скручива- емом стержне некруглого поперечного сечения сводится к оты- сканию функции Ф, которая удовлетворяет уравнению Пуассона (8.44) и граничному условию (8.46). Выразим крутящий момент М, через функцию напряжений Ф. Г1одставив (8.43) в (8.34), получим Если функцию напряжений взять в виде Ф = А —, + —,— 1, (8.48) то граничное условие (8.46) будет удовлетворяться. Подставляя (8.48) в уравнение (8.44), получим А —,+ —, = — 20<р'.
Отсюда найдем Рис. 8.19 М„= —,,6<р' —, х'дд~ —, у'с1г" — а1Г . (8.51) х Здесь первый и второй интегралы представляют собой осевые моменты инерции эллипса относительно осей Оу н Ох, а третий — площадь эллипса (см. 8 2.6): У,= к ЙГ= —; .1 = у сгг='; Г= ЙГ=яаЬ. Подставляя эти выражения в (8.51), получим С другой стороны, согласно (8.36) М„= 6.У„~р'.
Поэтому для эллиптического сечения ,)"„= —,— (8.54) С учетом (8.52) для функции напряжений Ф имеем следующее окончательное выражение: с2Ь2 (8.49) Подставляя (8.49) в (8.48), получим а2Ьл, Ух2 ус (8.50) Для того, чтобы относительный угол закручивания ср' выразить через заданный крутящий момент М„, воспользуемся формулой (8.47). Подставив в эту формулу значение Ф из (8.50), получим 174 175 дФ 2М„дФ 2М„ ау кадз ' л дх ззазЬ т.б = ( т = (+ Ь) ~ = (8.55) где ззаЬ 2 (8.56) 1Ьбз 3 (8.59) М„ЗМ„ Сзьд з (8.60) 2М„6М„ т,= "х= "х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
