2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Выражение (9.2) можно использовать при весьма малой кривизне изогнутой оси, что всегда имеет место в реальных строительных конструкциях. В силу изложенного уравнение е) Ом — >О, М(Π— (О, М>0 Ряс. 9.3 «Ь «р гя «р = — = и' (х). Ых (9.4) Из этой формулы следует, что прогиб балки может иметь экстремальное значение (максимум или минимум) в сечении, где угол поворота равен нулю. Таких сечений может быть несколько. 185 (9.1) можно считать приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси балки, справедливым при малых прогибах.
Если прогибы балки не малы по сравнению с ее длиной, то в левой части уравнения (9.1) надо использовать точное выражение для кривизны изогнутой оси « ' ~"(:-:Л' При этом дифференциальное уравнение изогнутой оси балки становится нелинейным, что существенно усложняет его интегрирование. В дальнейшем будем использовать только приближенное уравнение (9.1), поскольку оно позволяет получать практически точные решения для большинства задач изгиба балок. Знак минус в уравнении (9.1) соответствует принятому положительному направлению оси Оу (вннз) и правилу знаков для изгибающих моментов.
Прн этом кривизна изогнутой оси балки и изгибающий момент имеют разные знаки (рис. 9. 3, а«б). Введем еще' одно упрощение, связанное с углами поворота поперечных сечений. Если изогнутая ось балки является очень пологой кривой, то углы поворота можно с достаточной степенью точности принимать равными первой производной от прогиба (9.5) «>з 24' ,«зз 6 прогибов и углов этих величин на Р )Ф !3, 141 + х-'; 24 6 24~ «(> „)з,фз~ 6 6 > Г »(х) = — ~ е.г( >р(х) = — ~ 1Г »е=»(1)= —; >р~=>р(1)= —.
«>з фз 8ЕУ' ба Р»с. 9.4 Рис. 9,5 й 9.3. Метод непосредственного интегрирования Этот метод сводится к интегрированию дифференциального уравнения изогнутой оси балки (9.1) при известном законе изменения изгибающих моментов М,(х). Считая жесткость балки при изгибе постоянной (Е>' =сопзГ) и последовательно интегрируя уравнение (9.1), получим Е3»" = — М(х); Е3»'= Е3>р(х) = — ) М(х) >1х+ С>, ЕЯи(х) = — ) с(х ) М(х) >1х+ С,х+ Сз. В выражениях (9.5) и в дальнейшем для упрощения записи опущены индексы у моментов инерции и изгибающих моментов.
Выражения (9.5) позволяют получить аналитические законы изменения прогибов и углов поворота в балке. Входящие в (9.5) постоянные интегрирования С, и С, подлежат определению из кинематических (геометрических) граничных условий и условий сопряжения участков балки.
Кинематические граничные условия отражают характер закрепления (опирания) балки и ставятся относительно прогибов и углов поворота. Например, для шарнирно опертой балки (рис. 9.4) граничные условия характеризуют отсутствие прогибов на опорах: х=О, х=1, ц=О. Для консольной балки (рис. 9.5) граничные условия характеризуют равенство нулю прогиба и угла поворота в жесткой заделке: х=О, »=О; >р=О. Условия сопряжения ставятся на границах участков с различными законами изменения изгибающих моментов. При отсутствии промежуточных шарниров и так называемых параллелограмных механизмов (ползунов) условия сопряжения заключаются в равенстве прогибов и у~лов поворота в сечениях слева и справа от границы участков, то есть они характеризую~ непрерывность и гладкость изогнутой оси балки.
Например, для балки на рис. 9.4 можно записать: х=а, »„,=»,„; >р„,=>р„„. При наличии л участков с различными законами изменения изгибающих моментов выражения (9.5) будут содержать 2л постоянных интегрирования. Используя граничные условия и условия сопряжения участков, Ч можно получить систему 2л линей- В ных алгебраических уравнений относительно этих постоянных. После х В-х определения всех постоянных интегрирования будут установлены законы изменения»(х) и >р,(х) в пре- Ч делах каждого участка балки.
Рассмотрим примеры определения 91( ) прогибов и углов поворота в бал- Ом ках с помощью метода непосредственного интегрирования. Пример 9.1. Определим аналитические выражения для »(х) и >р(х) в консольной балке, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 9.6), и вычислим значения этих величин на свободном конце. Изгибающий момент в балке на всем ее протяжении изменяется по закону квадратной параболы М(х) = — ( г Подставим это выражение в решение (9.5) и проинтегрируем его: Е>»" (х)= ( 2 р )з Е3» (х) = ЕЯр(х)= — «+ С,„' (>- )' Е,)"» (х) = » + С, х+ Сз. 24 Использовав граничные условия, определим постоянные интегрирования: х=О, Е)'»(О)=» +Сз=О, Сз= ЕЛр(О) = — — + С, = О, С, «Р 6 Запишем окончательные выражения для поворота в балке и определим значения свободном конце: р С альное уравнение изогнутой оси Первый участок (0<х<2а): Пример 9.2.
Для шарнирно опертой балки, нагруженной на конце сосредоточенной силой (рис. 9.7), найдем выражения для и (х) и 1р(х) и вычислим значения этих величин в характерных сечениях. Эпюра М приведена на рис. 9.7. Изгибающие моменты имеют различные законы изменения на первом и втором участках балки. Интегрируем дифференцив пределах каждого участка. М (х) = — Ахх = — —; ЕЛи" (х) = —; Рх л Рх г' ' г' рх2 Рх2 ЕЛР (х) = — + Сд, ЕЛ и (х) = + С, х+ С,. 4 ' 12 Второй участок (2а<х<За): М (х) = — Я,х+ Яя (х — 2а) = — — + Р.х 3Р(х — 2а) 2 2 Рх ЗР(х — 2а) 2 2 Ыр( )= — — +Р„. Рх' ЗР(х — 2а)2 4 4 Е.Ь (х) = — — + Р2 к+ Р,. Рхв ЗР(х — 2а)' !2 !2 Для определения четырех постоянных интегрирования С„ Са, Р, и Р, ставим граничные условия и условия сопряжения участков: х=О, х=2а, и=О. илр = илвв2 1Рпр = алев.
Из условия сопряжения участков получаем равенство постоянных интегрирования на первом и втором участках С,=Р2, Са=.Р,. Использовав граничные условия, находим значения постоянных: Ра2 С! — —.Р, = — — '„С1 = Рг — — О. 3 х' а'х ~ 3(х — 2а)' ~ ) !г 3 !г Г'---~-""'И Р и(х)=— Е,У 1Р(х)=— Р В этих выражениях вертикальная черта с цифрой внизу соответствует границе каждого участка. В пределах первого участка и и !р определяются слагаемыми, стоящими до вертикальной черты с цифрой 1, а в пределах второго участка — до вертикальной черты с цифрой 2, то есть всеми слагаемыми.
Вычислим и и !р в характерных сечениях балки: х = О, и„= и (0) = 0; ср4 = !р (0) =— Ра 3ЕЗ Р Г(2а)2 а21! 2Ра2 х=2а,,=О; р,= — ~ — — — ~= —; Е.У~ 4 31 ЗЕЛ Р Г(За) а (За) Зав ) Ра х=За, ис= — ~ ЕЗ1 12 3 121 ЕЮ Р ( (За)2 а За2~( 7Ра2 ЕЛ( 4 3 4 ~ 6Е/ В пределах первого участка знак угла поворота изменяется. Установим положение сечения, где угол поворота обращается в нуль: !Р(х)вв — ~ — — — 1=0; х=ха= — =1,155а.
,73 В сечении х=ха прогиб балки имеет экстремум. Вычисляем его значение: ' Р Г(1,155а) а 1,155а) Рав и (хо) ~ — ~ = — 0,257 — —. Е.! ~ 12 3 ~ ЕЗ Для сравнения определим величину прогиба балки в середине пролета: 11 — (' ' ') '- 0,25 Можно отметить„что экстремальный прогиб весьма незначительно (на 2,6%) отличается от прогиба в середине пролета. 189 запишем окончательные выражения для и(х) и 1р(х) в пределах каждого участка: Выполним числовой расчет при Р = 20 кН и а = 1,6 м.
Подберем сечение балки в виде стального прокатного двутавра, приняв коэффициент надежности по нагрузке уев - 1,2, коэффициент условий работы 7,= 1, расчетное сопротивление материала Я = 210 МПа = 21 кН7смг и модуль упругости стали Е=2,1. 104 кН~смг. Р„,„=20.1,2=24 кН; М„,„=24.1,6=38,4 кНм; Ят, 21 !О Принимаем 120, Ю;=184 см', У,=1840 см4. Вычислим наибольшие значения угла поворота и прогиба в балке. Согласно СНиП расчет производим на действие нормативных нагрузок. 7сдз 20 !00з оно=!!с= =, — — 2,12 см; нз с Е7 2 ! 10с 1840 7Раг 7,20,160г !рн,=!рс н — =, =0,0155 рад=О'53'. н с ЬЕ2 Ь 2 ! !04 1040 Из рассмотренного примера видно, что при наличии в балке нескольких участков с различными законами изменения изгибающих моментов метод непосредственного интегрирования становится громоздким и неудобным.
й 9.4. Метод начальных параметров Продифференцировав два раза уравнение (9.1) при ЕУ=сопзг и использовав дифференциальные зависимости (7.6) при изгибе, получим ЕЛ!с(х) = — М(х); Е30"' (х) = — М'(х) = — Д (х); Е70гч(х) ~ (х) 9(х) (9.6) Последнее выражение является дифференциальным уравнением изогнутой оси балки четвертого порядка ЕЛ!!У(х) = г7(х), (9.7) устанавливающим дифференциальную зависимость между прогибом и распределенной поперечной нагрузкой. При отсутствии последней уравнение (9.7) становится однородным ЕЛ ' (х)=0, (9.8) Проинтегрируем уравнение (9.8). С учетом выражений (9.6) получим ЕЛ~!~(х) =О; ЕЛ!"' (х) = — Д (х) = С,; Е)сг" (х) = — М (х) = С! х+ Сг,' хг Е30' (х) = ЕЛр (х) = С, — + Сг х+ Сз, .хз хг ЕЛ!(х) = С, — + Сг — + Сз х+ С4.
3! 2! (9.9) Введем в начальном сечении балки при х=О следующие четыре величины: 0(0)н по! !р(0)=!ро, М(0)=Мо', Д(0)=До. (9.10) Эти величины представляют собой значения прогиба, угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы в начальном 5 сечении балки (рис. 9.8), причем по И гРо НаЗЫВаЮтСЯ КиНЕМатиЧЕ- 0 скими начальными параметрами, 6 'х. а Мо и До — статическими начальными параметрами. — 1!(х) Выразим постоянные интегрирования С„Сг, С, и С4 в решениях у (9.9) через начальные параметры. Положив в этих выражениях х = О, Рнс.
9.8 получим Сг = 0о! Сг = Мо', Сз = ЕЛРо! С4 — — Е70о (9.11) Подставив постоянные в последнее выражение из (9.9), получим решение однородного дифференциального уравнения изогнутой оси балки (9.8) в форме метода начальных параметров 0(х)=..+Рох- "-а". (9.12) 2!ЕУ 3!ЕУ Продифференцировав уравнение (9.12), получим выражения для угла поворота и внутренних усилий в балке Мнх !2 х р( )='( )= р.— — — — ' ЕХ 2!ЕУ М (х) = — Е70 и (х) = Мо+ Я~х; (9.13) Д (х) = М' (х) = До. Отметим, что внутренние усилия М и Д не зависят от кинематических начальных паРаметРов оо и !Ро. Выражения (9.12) и (9.13) полностью определяют напряженное и деформированное состояния балки в том случае, когда 191 $= сппь1 »Г1Г, 6вр = У лев Рис.
9.9 Рис. 9.10 Рис. 9.12 Рис. 9ЛЗ 192 7 3923 193 распределенная поперечная нагрузка отсутствует', а функции и(х), ~р (х), М(х) и Д(х) являются непрерывными. Рассмотрим случаи, когда эти функции имеют разрывы, и покажем, как учесть их влияние. Внутренние усилия Д и М имеют скачки (разрывы) в сечениях, где приложены сосредоточенные силы и моменты. У кинематических величин <р и и разрывы отражают наличие промежуточных шарниров и так называемых параллелограмных механизмов. В промежуточном шарнире изогнутая ось балки може~ иметь излом, что характеризует взаимный поворот Л ~р поперечных сечений (рис.
9.9). Следовательно, можно записать: х=и, Впр Влев1 'Рпр 'Рлев+ ~ л' Параллелограмный механизм допускает взаимное поперечное смещение Ли (рис. 9.10), а углы поворота сечений остаются одинаковыми. Это позволяет записать: х = а, епр = и „+ Л и; 1Рпр = »Реев. Если в каком-либо сечении балки х=а имеет место разрыв одной из четырех величин и, 91, М и Д, то он может оказать влияние на эти величины в сечениях х>а. Для учета влияния разрывов можно воспользоваться методом наложения, вытекающим из принципа независимости действия сил. При этом к выражению (9.!2) надо добавить член, равный произведению величины разрыва на функцию при соответствующем начальном параметре, вычисляемую для разности х — а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
