2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Согласно формуле (10.14) результат «перемножения» двух эпюр равен произведению площади нелинейной эпюры на ординату под ее центром тяжести в линейной эпюре. Если обе эпюры на рассматриваемом участке являются линейными, то при «перемножении» можно брать площадь любой из них. Результат «перемножения» однозначных эпюр является положительным, а разнозначных — отрицательным. При использовании правила А. К. Верещагина сложные эпюры надо разбить на простые фигуры, у которых известны площадь и положение центра тяжести.
Чаше всего элементами разбиения являются треугольники и квадратные параболы (в случае действия равномерно распределенных нагрузок), Примеры разбиения эпюр приведены на рис. 10.11. Однозначные или разнозначные трапеции можно разбить на два треугольника (рис. 10.11, а). Квадратная парабола с ординатами а и Ь в начале и конце участка разбивается на два однозначных или разнозначных треугольника и квадратную параболу с нулевыми начальным и конечным значениями (рис. 10.11,б). Сведения о площадях и координатах центра тяжести простых эпюр (фигур) даны в таблице 10.1. Результат «перемножения» двух трапеций (рис.
10.12) можно представить в виде следующей формулы: Л = — (2ас+ 2Ы+ ад+ Ьс). 6 (10.15) Правило А. К. Верещагина нельзя применять в случае, когда обе эпюры являются нелинейными (например, для стержней ш а) г) С 11 В С В Рис. 10.15 ы г 1з з ! геА1г з 12 г 1 ы ыг з з 1 гы12 1г у ы' Вертикальное перемещение сечения .0 происходит в направлении„противоположном направлению действия единичной силы, то есть вверх. Направления других перемещений совпадают с направлениями действия соответствующих единичных нагрузок. й 10.5.
Понятие о расчете статически неопределимых балок методом сил Как было отмечено, статически неопределимая балка или стержневая система имею~ избыточные или «лишние» связи. При расчете таких конструкций с помощью метода сил надо отбросить «лишние» связи и образовать так называемую 216 основную гнете»Ау, которая а) должна быть статически определимой и кинематически неизменяемой. Основных систем мо- М жет быть несколько; выбирает- йв ся наиболее удобная для Я) Р М расчета. В В основной системе надо приложить по направлению ре- Х акций в отброшенных «лишних» В) связях неизвестные силы или х;-м„ М моменты Х„Х„...,Х„. Поставив условие, что основная сис- А тема должна деформироваться как заданная, надо приравнять г) Х,М, М к нулю линейные и угловые А с ~ В перемещения по направлению реакций в отброшенных связях от совместного действия нагрузки и всех неизвестных.
ТаРис. 10.16 ким образом, можно составить дополнительные уравнения (уравнения перемещений), которые позволяют определить все неизвестные метода сил, то есть раскрыть статическую неопределимость заданной системы. В качестве примера рассмотрим балку на рис. 10.16, а. Поскольку на эту балку наложено четыре связи, ее степень статической неопределимости равна единице (н=4 — 3=1). Отбрасывая «лишнюю» связь, образуем основные системы и составим соответствующие дополнительные уравнения. Для образования первой основной системы (рис. 10.16,б) отброшена шарнирная опора В.
Дополнительное уравнение должно выражать отсутствие прогиба в сечении В от совместного действия заданной нагрузки и неизвестной силы Х, =ЯВ. На основании принципа независимости действия сил представим это уравнение в следующем виде: В 1 В ПВ ВВР+ ВВХ~ где иВР— прогиб балки в сечении В от действия заданной нагрузки и ив»,— прогиб балки в том же сечении от действия неизвестной силы Х,. Для образования второй основной системы (рис. 10.16,в) жесткая заделка в сечении А заменена шарнирно неподвижной опорой. В качестве неизвестного принят реактивный момент в заделке.
Дополнительное уравнение должно выражать отсутствие угла поворота в сечении А от совместного действия нагрузок и неизвестного момента Х, =МА: АгА ~РАР+РА»1 217 а) Для образования тре- гьей основной системы Н» / 5 с (рис. 10.16,г) в сечении — С введен промежуточный / А и шарнир. Дополнительное в Вв уравнение составим из усло- 5) Х'-М„ Р вня равенства углов поворо- В та в заданной балке слева и справа от сечения С (равенство нулю взаимного уги= и ла поворота сечений) 6)— ) Х;-1 Р. (~РСР+~Рсх~)иев — с =1лР се+ лРсх )пв и Неизвестный момент Х, = Мс, прикладываемый 8),8„ в основной системе слева А — — — 1 — — — — — е и справа от шарнира С, называется групповым 1парХ=1 ным) неизвестным, Дополнительные уравне- ~) Р ния удобно записать в спе- % А В циальнои, так паз ываемои канонической форме метода л сил.
Рассмотрим, например, зр гхг балку„ приведенную на рис. 10.17,а. Степень ее стаРие. 10.17 тической неопределимости равна п = 5 — 3 = 2. Для образования основной системы введем в сечении А вместо жесткой заделки шарнирно неподвижную опору и отбросим опору В. По направлению реакций в отброшенных связях приложим неизвестный момент Х,=-М„и неизвестную силу Хг=Яв (рис. 10.17,б). Для того, чтобы поставить деформацию основной системы в соответствие с деформацией заданной балки, необходимо в основной системе приравнять к нулю угол поворота на опоре А и прогиб в сечении В, то есть составить дополнительные уравнения.
Запишем их в следующем виде: 'РА=1г +~ г+~ ге=О', и в = А г г + Л г г + гг г в = О. В этих уравнениях Л „, Л „, Л„и Лгг — перемещения в основной системе по направлению реакций в отброшенных связях от действия неизвестных Х, и Х,. Их можно представить в следующем виде: 11гг=бггХг; 1~гг =5ггХг~ 1~гг =5ггХг 2Г8 где 5гг, б,г„бг, и 5гг — перемещения в основной системе по направлению отброшенных связей от действия единичных нагрузок Х,=1 и Х,=1 (рис. 10.17,в,г). На основании теоремы Максвелла величины 5„и 5„численно равны между собой: 5„=5г,.
Величины Л,е и Лге представляют собой перемещения в основной системе по направлению реакций в отброшенных связях от действия заданной нагрузки лрис. 10.17,д). Таким образом, дополнительные уравнения примут следующий вид: 5ггХг+5ггХг+Лгг=О; 5ггХг+5ггХг+ А г =О.
Обобщая рассмотренную форму записи, можно составить и канонических уравнений для л раз статически неопределимой балки или стержневой системы. Для определения коэффициентов 5в, и свободных (грузовых) членов Л;„(1=1,2, ...,л) системы канонических уравнений обычно используется формула Мора. После решения канонических уравнений можно произвести расчет основной системы на совместное действие найденных неизвестных и заданной нагрузки, что позволит построить эпюры внутренних усилий. Для кинематической проверки правильности решения надо убедиться в том, что перемещения в основной системе по направлению отброшенных связей действительно равны нулю, что соответствует деформации заданной системы.
Определение линейных и угловых перемещений в ста- в~ни тически неопределимой систе- с ме, работающей преимущест- А --- ---- в венно на изгиб, производится Мл с помощью окончательной л ~в эпюры М и любой основной системы. Для этого необходи- о1 мо «перемножить» эпюру . 1™н М с соответствующей единичной эпюрой М„в основной системе.
/ 30 ю в В заключение отметим, что расчет статически неопредели- 8 мых систем с помощью мето- ® да сил имеет ряд особенно- 8) стей, которые подробно рас- сматриваются в курсе строительной механики. Пример 10.4. Для балки, показанной на рис. 10.18, а, построим эпюры Д и М и определим прогиб в сечении С. Рис. 10.18 219 ® (кН) 16,56 767 6) О~ (кНн) Рис. 10.19 220 Данная балка один раз статически неопределима. Для образования основной системы отбросим шарнирную опору В и приложим в этом сечении неизвестную силу Х, = Я„ (рис.
10.18,б). Запишем каноническое уравнение метода сил: 8|1Х, + Л,„=О. Для определения коэффициента и грузового члена этого уравнения строим грузовую и единичную эпюры изгибающих моментов (рис. 10.18,в,г) и производим их «перемножение» по правилу А. К. Верещагина: ~ММ> 1 1 2 9 8„=~ ' 'гlх= —.—.3 3 — 3= —; ЕУ Е2 2 3 Е2 о, Л>в — — — ' — 'о1х= — — — 1 1.6+-(2 30-3+2 6.1+ Е2 Е.7~ 2 о 12 2 (3+1) ~ 67 12 2 ~ Ек Решаем каноническое уравнение и определяем величину силы Х,: 9 67 — Х,— —,=0; Х,=Во=7,44 кН. ЕУ ЕУ Произведем расчет основной системы на совместное действие заданных нагрузок и найденной силы Х, (рис. 10.19,а).
Эпюры поперечных снл и изгибающих моментов в заданной балке «) приведены на рис. 10.19,б,в. 12« бкям Произведем кинематическую проверку правильности реше- А ния. Для этого «перемножим» 744«и эпюру М с единичной эпюрой ям М„т. е. определим прогиб ос- ",4'1 нонной системы в сечении В, | 1М,М |>в= ) Е2 о — -( — 2 3 7,67+ 2 1 .
1,44— Е21 6 — 7,67.1+1,44 3)+ — 1 . 6) = — (16,0 — 16,0) = О. Прогиб в сечении В основной системы равен нулю, что соответствует условию ее деформации. Следовательно, задача решена правильно. Для определения прогиба заданной балки в сечении С используем принятую ранее основную систему и произведем ее расчет на действие единичной силы, приложенной по направлению искомого прогиба.
Соответствующая единичная эпюра изгибающих моментов М, приведена на рис. 10.19, в. «Перемножив>> эпюры М2 и М, получим 1>г.= — -(2'7*67'2 — 1 44'2) — — — ' — '2 Е7~ 6 12 2 ) Е.| Прогиб балки в сечении С происходит вниз. Таблица 11.1 lг, Н/см з Материал основания 1чв п.п Песок свеженасыпанный Глина мокрая, размягченная 1 —:5 Песок слежавшийся Гравий насыпной Глина влажная 5 — 50 Песок и гравий, плотно слежавшийся Щебень Глина малой влажности 50 ге 100 100-200 200 — ' 1000 Известняк, песчаник, мерзлота 1000- 15000 Твердая скала Рис. 11.1 222 223 ГЛАВА 11 РАСЧЕТ БАЛОК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ й 11.1. Понятие о сплошном упругом основании.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
