2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 36
Текст из файла (страница 36)
гй~ Для определения постоянных интегрирования Сз и Са используем статические граничные условия на нагруженном О"" конце балки: «=О, М=О; Д= — Р. Рис. 11Л Определив постоянные интегрирования, получим после несложных преобразований следующие выражения: ~(«)=,е «соя«; <р(«)= —,е «(соя«+яп«); (11.14) М(«)= — — е "яп«„ х Д(«)= — Ре «(соя« — яп«).
Характер эпюр внутренних усилий показан на рис. 11.7. Решения, аналогичные (11.12) и (11.14), можно получить также для бесконечно длинных и полубесконечных ба- Р % лок при нагруженин их сосредоточенным моментом. / В полученных выше решениях величины и, ср, М и Д быстро уменьшают- 8 е ся при удалении от области приложения нагрузки и при Ряс. 11.8 «=1,5п их можно считать практически отсутствующими. Это обстоятельство позволяет установить минимально необходимое расстояние 19 от нагрузки до концов балки.
С помощью формулы (11.5) получим 1,5х 4ЕЛсс 4= — '=1,5~~ —. 2. ' ~)( ~Ь Таким образом, балку можно отнести к категории бесконечно длинных или полубесконечных балок, если расстояния от нагрузки до концов балки (например, 1, и 1г на рис. 11.8) превышают 1с. 8 11.4. Расчет балок конечной длины При расчете достаточно коротких балок на упругом основании в общем решении (11.9) надо удержать и затухающие и возрастающие его частные решения. При этом удобно перейти от показательных функций к гиперболическим по формулам е« вЂ” е е«-~-е зЬ«=; сЬ«= (11.15) 2 ' 2 С учетом (11.15) решение однородного дифференциального уравнения (11.8) можно представить в следующем виде о(«)=С, зЬ«яп«+СгзЬ«соя«+СзсЬ«яп«+СесЬ«сов«.
(11.16) 229 Академик А. Н. Крылов предложил записать это решение в следующем виде: 12 (Г) = Сг 1' 1 (о) + С г )гг (1) + Сз 1 з (ь) + Са )га (~), (1 1. 17) где г „, 1 г, г'з, г'4 — функции, являющиеся линейными комбинациями частных решений в (11.16). Они определяются по формулам Уг(г,)=сЬЦсозс; )гг(Р)=-(сЬ~яп Р+зЬссозр); (11.18) 1'з(с)=-зЬР,з(п Р; га (з) (сЬ з з1п з ьЬ з соя з) Удобство введения этих функций заключается в том, что они с точностью до знака и постоянного коэффициента повторяются при дифференцировании: ог~'г сг) з 414,' =1 1,' = 1 г,' = 1 з. (11.19) Кроме того, функции А. Н. Крылова удовлетворяют условию ср (~) = зо ( — 4 С 1 ага + С г гг1 + С з ггг + С4 г з); М(~)= — ЕУХ ( — 4С, Уз — 4СгУ4+Сзг 1+Со)'г)' Д(Р) = — Е77 з( — 4С, Уг — 4Сг1 з 4Сз 14+ Са У1) (11.2!) Применим для расчета балок конечной длины метод начальных параметров и введем в сечении с =О четыре начальных параметра (рис.
11.9): и(0) — ~о, ср(0) — ~о, м(о)=м,;,О(о)=о,. ) Построение решения данной задачи по методу начальных параметров будем производить так, как это было сделано в 9 9.4 для балки на жестких опорах. Выра- Рис. 11.9 Уг(0) = 1; уг (0) = уз (0) = уа (0) = О. (11 20) Использовав формулы (11.10) и (11.19), запишем выражения для углов поворота и внутренних усилий в балке: зим в формулах (11.17) и (11.21) постоянные интегрирования С,, Сг, Сз и С4 чеРез начальные паРаметРы. ДлЯ этого положим в этих формулах с=О и с уче~ом (11.20) получим и (0) = со = Сг г <Р (0) = сР о = Х С 2; М(0) = Мо = — ЕГ~.
г С з' Д (О) = 0 о = — ЕХ) Са. Найдя отсюда постоянные интегрирования оро Мо . Ро С1 — — со Сг — —, Сз = — —, С4— гггг' Ег з и подставив их в (1!.17) и (11.21), получим выражения для и, ср, М и Д в форме метода начальных параметров '2(з) 220 ~гг+ 1 2 1 3 1 41 ззо Мо 0о Егг г Еогз з сР(~) = — 4Хсо У +сРо У вЂ”, ' У вЂ” .', Уз,' е.гх е.гх' (11.23) М(~~) = 4Егззг 12о ) 3+ 4ЕУ 7 1Ро 1 а+ Мо 1 1+ . зггз ' х Д(Р) =4Е77 ~со Уг+4ЕУ) <Ро Уз — 4ХМо Уа+ До)гг. Выражения (11.23) справедливы при отсутствии распределенной поперечной нагрузки о)(~) и сосредоточенных воздействий в пределах длины балки.
При этом функции и("), ор(Р), М(~) и Д(с) будут непрерывными на всем протяжении балки. С по- Р мощью формул (1!.23) можно решать задачи расчета балок на ги Ф упругом основании с нагрузками на концах (рис. 11.10). Для учета влияния сосредо- Рис. 11.10 точенных воздействий на балку в пределах ее длины можно использовать метод наложения, как это было сделано в 9 9.4 для балки на жестких опорах. При этом для сечений за точкой разрыва к решениям (11.23) надо добавить дополнительный член, равный произведению величины разрыва на функцию при соответствующем начальном параметре.
Учет влияния распределенной нагрузки можно произвести с помощью интегрирования в пределах участка ее распределения. Дополнительные члены, добавляемые к выражению для прогиба балки и(Я~ и учитывающие влияние наиболее распространенных воздеиствий, приведены в таблице 11.2. Запишем с помощью данных ~аблицы 11.2 выражение для прогиба балки в пределах ее участков, приведенных на рис. 11.11. 231 Таблица 112 Рис. 11.11 +Лст1 (г — (х1) + + — „ ~ г(1 О~г) — г 1 з(1 О~з) ,зцр М 4 Р + —, У4Ц вЂ” (с,) + <11.24) ц(с) — со» г(1)+ — гг(г), тз(1) —, га(с) +4 41 — 11(1 5)1 — 11 — У1(1 6)1)' В начале расчета всегда известны два начальных параметра.
Два неизвестных начальных параметра, а также скачки Ли и А<р, подлежат определению из граничных условий, которые ставятся так же, как и для балки на жестких опорах. В качестве примера приведем граничные условия для балки на рис. 11.12. Начальные параметры: Г=О, Ма=О; Дц= — Р,.
Граничные условия: х=!(~=а,), и=О; М,= — М. Использовав граничные условия, можно получить систему уравнений относительно всех неизвестных величин. После их определения задача расчета балки на упругом основании сводится к вычислению значений и, р, М и Д в различных сечениях балки и построению соответствующих эпюр. Р„ Задача расчета балок конечной длины на упругом основании существенно упроща- (ф ется, если балку считать достаточно жесткой и при Е- с) определении реактивного отпора основания не учитывать искривление ее оси. Такие балки могут встретиться в инженерной практике в качестве элементов массивных железобетонных фундаментных конструкций.
Кроме того, такой расчет коротких балок на упругом основании иногда производится в качестве первого приближения. При построении расчетной схемы жестая балка на упругом основании может рассматриваться как плоский штамп. При этом реактивный отпор упругого основания, соответствующего модели Винклера, изменяется по линейному закону, и в общем случае его эпюра представляет собой трапецию (рис.
11.13). Если нагрузка и условия ее опирания симметричны относительно середины балки, то реактивный отпор является постоянным по длине (рис. 11.14). й 12.1. Общие понятии Рис. 11.13 Рис. 11.14 1( — =1,241 1Д Яй Х ~ И 235 Величины реактивного отпора по краям балки д„и с1в могут быть определены из уравнений статики ХМ„=О, ХМв=О. Прн симметричной нагрузке величина реактивного отпора свободно лежащей балки определяется нз уравнения равновесия Х У=О. После определения реактивного отпора основания расчет жесткой балки (построение эпюр Д и М, определение напряжений, подбор сечения и т.
п.) может быть произведен с помощью известных методов сопротивления материалов. Осадка жесткой балки, расположенной на основании Винклера, определяется по формуле и=д„~(Ь. Расчеты показывают, что балку можно отнести к категории жестких, если ее длина 1 удовлетворяет следующему условию; ГЛАВА 1г СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ В предыдущих главах были подробно рассмотрены простейшие виды деформировання стержней: растяжение и сжатие, кручение, плоский прямой изгиб. Настоящая глава посвящена решению задач о сложном сопротивлении стержней, представляющим собой комбинации простейших видов деформирования. Примерами сложного сопротивления являются растяжение с изгибом, изгиб в двух плоскостях, изгиб с кручением и т.
д. При сложном сопротивлении в поперечном сечении стержня могут возникать несколько внутренних усилий, в наиболее общем случае все шесть: ЛУ, М„, М„М„Д„Д,. В дальнейшем во всех задачах сложного сопротивления оси Оу и Ог будем совмещать с главными центральными осями инерции поперечных сечений стержня. В качестве примера определим внутренние усилия в сечении, отстоящем на расстоянии х от заделки в стержне„показанном на рис. 12.1: Л О~ Ду Р~ Д О~ М„=Р-„Му=О; М,= — Р(1 — х). Таким образом, балка испытывает деформации изгиба и кручения.
Рассмотренный пример показывает, что даже при относительно простых нагрузках (одна сосредоточенная сила) может иметь место сложное сопротивление. При решении задач сложного сопротивления необходимо ввести правила знаков для внутренних усилий. Изгибающий момент считается положительным, если он вызывает растяжение в части сечения, относящейся к первой четверти системы координат в плоскости сечения (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
