2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Положение точек 3 и 4 определяется из условий симметрии. Таким образом, ядро сечения для прямоугольника представляет собой ромб с диагоналями Ь/3 и /6/3. Чтобы построить ядро сечения для круга, достаточно провести одну касательную (рис. 12.22). При этом а,=А: а,= со. Учитывая, что для круга 1~=2/Г=Я /4, из (12.15) по- лучим Таким образом, ядро сечения для круга представляет собой круг с радиусом Я/4. Риа 12.23 На рис. 12.23„а,б показаны ядра сечения для двутавра и швеллера. Наличие четырех угловых точек ядра сечения в каждом из этих примеров обусловлено тем, что огибающая контура и у двутавра и у швеллера является прямоугольником.
8 12.4. Растяжение и сжатие с изгибом На практике часто встречаются случаи, когда на стержень действуют одновременно поперечные и продольные нагрузки, причем последние могут быть приложены внецентренно. На рис. 12.24 показан именно такой случай. Вычислим внутренние усилия в сечении в заделке. 16 Ь Ь ,У=Р; М,=д- — Р-; М,=+Р-. Нормальные напряжения в таких задачах вычисляются по'формуле (!2.1) а уравнение нулевой линии получается из условия о=О и имеет вид Отрезки, которые отсекает нулевая линия на осях координат, могут быть найдены из (12.18), если положить последовательно уо=О и го=О. Тогда найдем ч .1„ И„Р' ' И, Г Дальнейшее решение задачи строится по аналогии с внецентренным сжатием.
Определяя координаты наиболее удаленных от нулевой линии точек сечения, по формуле (12.17) находим наибольшие напряжения .в зонах растяжения и сжатия, Пример 12.5. Построим эпюру нормальных напряжений в опасном сечении балки Т 30 (Г=4б,5 см', )4;=472 см ), показанной на рис. 12.25. Приложенные поперечные нагрузки Р, и Рх вызывают изгибающий момент, а внецентренно приложенная сила Р,— продольную силу Х=Р, и момент М=Рзе. На рис.
12.25, а показаны эпюры Х и М,. Опасным является сечение в заделке. Напряжения в этом сечении вычисляются по формуле (12.!7) при М =0 М 6 о=сгн+пи= — + ' у. Г /, Наибольшие напряжения в сечении возникают в крайних волокнах. При этом в верхних волокнах напряжения суммируются % М"б 200 1Ол 58 10г кН ст- + * — + — 16,6 — = 166 МПа, :Г И; 46.5 472 см~ а в нижних — вычитаю1ся У М б о= — — * = — 80 МПа. Р И', На рис. 12,25, б показаны эпюры напряжений от продольной силы и изгибающего момента по отдельности, р 1р а также суммарная эпюра.
Заметим, что во всех предыдущих решениях мы пользовались принципом независимости действия сил, определяя внутренние усилия для недеформированного состояния стержня. Строго иб говоря, это возможно лишь при малых деформа- ,1 циях. В тех случаях, когда деформации велики, принцип независимости действия сил неприменим. Так, например, на рис. 12.26 показан гибкий стержень, прогибы которого от поперечной нагрузки достаточно велики, и сила Р создает в заделке дополнительный момент, равный Ри„,. Ряс.12.20 Таким образом, момент, создаваемый силой Р, зависит от величины поперечной нагрузки д, влияющей на величину прогиба.
Подобные задачи будут рассмотрены в главе 13. й 12.5. Теории прочности Одной из основных задач сопротивления материалов и теории упругости является оценка прочности конструкций и их элементов. Для решения этой задачи необходимо знать напряженное состояние в каждой точке тела, которое, как известно (гл. 4), может быть сведено к трем главным напряжениям о„ст„о, (рис. 12.27). При этом обычно ПРИНИМаЕтСЯ а,>О~>1тз. Простейшие экспериментальные исследования материалов, проводимые в лабораториях, дают возможность определить опасные (предельные) напряжения при одноосном растяжении аь или сжатии ас.
Напомним, что длЯ пластичных матеРиалов 252 опасным напряжением считается предел текучести о„ а для хрупких †пред прочности о,. Если вблизи некоторой точки тела отличным от нуля является только одно главное напряжение, то опасное состояние в данной точке наступит при выполнении равенства (12.19) о,=о Р или 1~ ! ~с (12.20) р с. 1г.гт Первая из этих формул соответствует случаю одноосного растяжения, вторая — одноосного сжатия. Значительно более сложной является оценка прочности, когда два или три главных напряжения отличны от нуля.
Поскольку соотношений между главными напряжениями может быть бесчисленное множество, не представляется возможным проведение соответствующих экспериментов, а многие опыты просто технически невозможно осуществить. Суть любой теории прочности заключается в построении равенства Г( а„ст„сбз ) = сбо (12.21) соответствующего наступлению опасного состояния.
В (12.21) функция Г(о„ст„о з) представляет собой некоторую комбинацию главных напряжений, а опасное напряжение ас определяется из опытов на одн ооон ое растяжение или сжатие. В различных теориях прочности вид функции Р устанавливается на основе тех или иных физических гипотез о причинах разрушения.
Формулы (12.19) — (12.21) дают условие разрушения для хрупких материалов или условие появления пластических деформаций для пластичных материалов. При расчетах на прочность 8 3.7) для обеспечения запаса прочности сравнение действующих в теле напряжений проводится не с опасными напряжениями ас, а с некоторыми напряжениями, меньшими ос. В соответствии с методом расчета по допускаемым напряжениям это — (о), а по предельным состояниям — у,Я.
Таким образом, при расчетах на прочность вместо формулы (12.21) пользуются условиями прочности. Р( о1 о2 оз ) ~~ ~о] (12.22) или Г( о,, о,, стз ) < у, Я. (12.23) Для проверки разрабатываемых теорий проводят ограниченное количество опытов, в которых имеется возможность изменять соотношения между главными напряжениями. 253 р Одним из распространенных опы- И тов, при котором осуществляется и) сложное напряженное состояние, является испытание тонких цилиндрических трубок при одно6) временном действии внутреннего !.- давления, растяжения (сжатия) и кручения (рис. 12.28, а).
Изме! -2 !! ч Р ~! ф няя значения давления р, силы „Ц -4 ! б, р и крутящего момента М, можно добиться изменения па,й- пРЯжений О„О, и т,ь (Рис. 12.28, б). Здесь используется цилиндрическая система координат Р, В, 2. Поскольку, как показывают расчеты и непосредственные Р измеРениЯ, напРЯжениЯ О„« Оы О„можно считать, что в данном опыте материал находится в условиях двухосного напряженного состояния. Таким образом, увеличивая внешние нагрузки, можно добиться разрушения при различных соотношениях между величинами главных напряжений. Проверку теорий прочности для многих строительных материалов (камень, кирпич, бетон) осуществляют при двухосном или трехосном сжатии образцов кубической формы.
В настоящее время имеется большое число различных теорий прочности, каждая из которых применима к определенным материалам (или группам материалов) при определенных условиях их работы. Ниже рассматриваются некоторые классические теории прочности. Первая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений).
В основу данной теории положена гипотеза о том, что разрушение (или переход в пластическое состояние) происходит при достижении наибольшим из главных напряжений опасного значениЯ Оы Если матеРиал имеет Различные предельные напряжения на растяжение и сжатие„то опасное состояние будет, ко~да (12.24) О1=О~ь; ~Оз~=оь. Условия прочности по этой теории имеют вид О,<у,Я,; (О,~<у,Я,, (12.25) где Я и Я.— расчетные сопротивления материала при растяжении й сжатии, у,— коэффициент условий работы.
Очевидным недостатком первой теории прочности является то, что она учитывает влияние на прочность только одного из 254 трех главных напряжений. Эта теория подтверждается экспериментально только для хрупких материалов н при условии, что одно из главных напряжений значительно превосходит по абсолютной величине два других главных напряжения. Вторая теория прочности (теория наибольших линейных деформаций).
Эта теория основана на предположении„что опасное состояние наступает, когда наибольшая деформация растяжения или сжатия достигает предельного значения аР или в~, определенного из опытов на простое растяжение (сжатие). Этой гипотезе соответствуют условия в1=ао ~аз~=во. (12.26) Предположив, что вплоть до наступления опасного состояния (О=О' или !О~=О'„) справедлив закон Гука, величины предельных деформаций при одноосном растяжении и сжатии можно определить по формулам ер=О')Е и а' =О„')Е.
Приравняв эти величины главным деформациям а, й ~аз~ из закона Гука (6.2) при трехосном напряженном состоянии, можно записать условия (12.26) в развернутом виде. В соответствии с этим условия прочности по второй теории будут иметь вид О,— Ч(О,+О,)<У Яр ~О3 Ч(О1+О7)~<У,Я,. В отличие от первой теории здесь учитывается влияние на прочность всех главных напряжений. Эта теория прочности подтверждается экспериментально при трехосном напряженном состоянии только для хрупких материалов, когда все три главных напряжения являются сжимающими.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
